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3.7 圆锥的体积
例1：一个圆锥的高缩小到原来的，底面半径扩大到原来的3倍，则体积（ ）。
A．不变 B．扩大到原来的3倍
C．缩小到原来的 D．扩大到原来的9倍
答案：B
分析：根据圆锥的体积公式V＝πr2h，以及积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几”可知：
一个圆锥的高缩小到原来的，则体积除以3；底面半径扩大到原来的3倍，即底面积扩大到原来的3×3＝9倍，则体积乘9；最终圆锥的体积÷3×9，体积扩大到原来的3倍，据此举例说明。
详解：设原来圆锥的底面半径是1，高是3；
原来圆锥的体积：×π×12×3＝π
现在圆锥的底面半径是：1×3＝3
现在圆锥的高是：3÷3＝1
现在圆锥的体积：
×π×32×1
＝×π×9×1
＝3π
3π÷π＝3
即体积扩大到原来的3倍。
故答案为：B
例2：一根体积为120立方分米的圆柱体木料，要把它削成最大的圆锥，需要削去（ ）立方分米的木料。
A．40 B．60 C．80
答案：C
分析：削成最大的圆锥的体积应是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，削去的部分是圆柱体积的（），要求需要削去多少立方分米，也就是求120的（）是多少，用120乘（）计算，据此解答。
详解：
（立方分米）
因此要削成最大的圆锥，需要削去80立方分米的木料。
故答案为：C
例3：如图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，且水面半径也正好是圆锥底面半径的一半，则这个容器还能装水( )升。
答案：35
分析：圆锥体积＝ ，当装有5升水时，高度是，水面形成圆的半径是，此时水的体积＝，用圆锥体积÷水的体积×5升，得到的结果再减去5升即可。据此解答。
详解：
＝
＝
＝
（）÷（）×5
＝（）÷（）÷×5
＝1÷×5
＝1×8×5
＝40（升）
圆锥体总共能装40升水。
40－5＝35（升）
即，这个容器还能装35升水。
例4：如图，一个立体图形从正面看到的图形是A，从上面看到的图形是B，这个立体图形的体积是( )立方厘米；如果用一个长方体盒子包装它，这个盒子的容积至少是( )立方厘米。
答案： 12.56 48
分析：（1）根据图片分析，此物体是圆锥体，它的底面是半径为2厘米的圆，高为3厘米。根据圆锥体积＝，代入数据计算即可。
（2）长方体体积＝长×宽×高，要用一个长方体盒子包装它，圆锥竖直放的时候长方体的长宽跟圆的直径长度一样为2×2＝4厘米，高度为圆锥的高度3厘米，求出此时长方体体积即可。
详解：（1）
＝
＝3.14×
＝3.14×4
＝12.56（立方厘米）
（2）长方体体积；
（2×2）×（2×2）×3
＝4×4×3
＝16×3
＝48（立方厘米）
长方体体积48立方厘米，则它的容积为48立方厘米。
即，一个立体图形从正面看到的图形是A，从上面看到的图形是B，这个立体图形的体积是12.56立方厘米；如果用一个长方体盒子包装它，这个盒子的容积至少是48立方厘米。
基础过关练
一、选择题
1．一个四柱形杯子的容积为36升，盛满水后，把一个与它等底等高的实心圆锥倒放入杯中，杯中还有（ ）升水。
A．12 B．18 C．24 D．30
2．一个圆锥和一个圆柱的体积比是，底面积比是，如果圆锥的高是18厘米，那么圆柱的高是（ ）厘米。
A．20 B．15 C．10 D．5
3．36个铁圆锥，可以熔铸成等底等高的圆柱的个数是（ ）。
A．18个 B．12个 C．48个 D．108个
4．一个圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，它的体积就扩大到原来的（ ）倍。
A．3 B．6 C．9 D．12
5．如图，瓶子的底面积和圆锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入圆锥形杯子中，能倒满（ ）杯。
A．6 B．4 C．3 D．2
二、填空题
6．把一块底面积是6.28平方厘米，高是12厘米的圆锥形钢坯，铸造成一块圆柱形钢坯，铸造成的圆柱形钢坯的底面半径是2厘米，则它的高是( )厘米。
7．下图的下边为轴，旋转一周，形成的图形是( )，新图形的体积是( )。
8．一个直角三角形，两条直角边分别是5厘米和6厘米，将该直角三角形以较短的直角边为轴旋转一周，可以得到一个( )体，它的体积是( )立方厘米。
9．一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等，若圆锥的高是72厘米，则圆柱的高为( )厘米；若圆柱的高是72厘米，则圆锥的高是( )厘米。
10．一个圆锥的体积是6.28m3，底面半径是2m，它的高是( )dm。
三、判断题
11．一个圆锥的底面半径和高都是3cm，它的体积是28.26cm3。( )
12．一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm，4cm，分别以两条直角边为轴将这个三角形旋转一周，得到的两个圆锥的体积相等。( )
13．一个圆柱与一个圆锥的高相等，若底面积的比是2∶3，则体积的比也是2∶3。( )
14．若圆锥的体积等于圆柱体积的，则圆锥和圆柱一定等底等高。( )
15．把一段圆柱形的木材削成一个最大的圆锥，削掉的部分是18dm，圆柱形木材的体积是27dm。( )
培优提升练
四、计算题
16．求下面立体图形的体积。（单位：cm）
（1） （2）
五、解答题
17．修一条8米宽的公路，要铺15厘米厚的碎石作为路基。一个圆锥形的碎石堆，底面周长是18.84米，高2米，能铺多少米长的路基？
18．一堆煤呈圆锥形，高3米，底面周长为12.56米，已知每立方米的煤约重1.5吨，这堆煤大约重多少吨？
19．一个圆锥形沙堆，其底面积是9平方米，高2米。将这堆沙铺在长30米宽4米的路面上，能铺几厘米厚？
20．一堆煤堆成圆锥形，底面半径是4.2米，高是5米，如果每立方米的煤的质量约为1.4吨，这堆煤约有多少吨？（结果保留整数）
21．小芳家收获的稻谷堆成了圆锥形，高约为1.5米，底面直径约为4米。她通过“百度一下”查得每立方米稻谷大约重650千克，她家这堆稻谷大约重多少千克？
22．在一个直径是30厘米的圆柱形容器里，放入一个底面半径为6厘米的圆锥形铁块，全部浸没在水中，这时水面上升0.4厘米（无水溢出）。圆锥形铁块的高是多少厘米？
1．C
分析：由条件“一个与它等底等高的圆锥”可知，圆锥的体积是圆柱体积的，也就是36升的；把圆锥倒放入水中后会排出与它等体积的水，所以杯中剩下的水的体积就是圆柱体积的（1－），也就是36升的（1－），可用乘法列式求得。
详解：36×（1－）
＝36×
＝24（升）
则杯中还有24升水。
故答案为：C
2．D
分析：由题意可知，一个圆锥和一个圆柱的体积比是，底面积比是，则假设圆锥的体积为4，底面积为2；圆柱的体积为5，底面积为3，根据圆柱的体积公式：V＝Sh，圆锥的体积公式：V＝Sh，据此求出圆柱和圆锥的高，进而求出圆锥和圆柱的高的比，又因为圆锥的高是18厘米，据此求出1份表示的长度，进而求出圆柱的高。
详解：圆锥的高：
3×4÷2
＝12÷2
＝6
圆柱的高：
5÷3＝
6∶
＝（6×3）∶（×3）
＝18∶5
18÷18×5
＝1×5
＝5（厘米）
则圆柱的高是5厘米。
故答案为：D
3．B
分析：圆柱的体积是与它等底等高的圆锥的体积的3倍，即要3个这样的圆锥才能熔铸成1个等底等高的圆柱，故36里面有几个3就有几个这样的圆柱，据此得解。
详解：36÷3＝12（个）
故答案为：B
4．C
分析：圆锥体积=，其中r表示底面半径，h表示圆锥的高；它的底面半径扩大3倍，高不变，体积就扩大半径的9倍，据此可得出答案。
详解：圆锥体积=，底面半径扩大到原来的3倍，高不变，体积变为：，即它的体积扩大到原来的9倍。
故答案为：C
5．A
分析：根据题意知道瓶底的面积和锥形杯口的面积相等，设瓶底的面积为S，瓶子内水的高度为2h，则锥形杯子的高度为h，先根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出圆柱形瓶内水的体积，再根据圆锥的体积公式V＝Sh，算出圆锥形杯子的体积，最后用除法解答即可得出答案。
详解：圆柱形瓶内水的体积：S×2h＝2Sh
圆锥形杯子的体积：Sh
倒满杯子的杯数：2Sh÷Sh＝6（杯）
即瓶子的底面积和圆锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入圆锥形杯子中，能倒满6杯。
故答案为：A
6．2
分析：由题意可知：把圆锥形钢坯锻造成圆柱形零件体积不变，首先根据圆锥的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式求出钢坯的体积，然后根据圆柱的底面积S＝πr2，求出圆柱的底面积，最后用钢坯的体积除以圆柱的底面积即可求出圆柱的高。
详解：6.28×12×
＝75.36×
＝25.12（立方厘米）
3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方厘米）
25.12÷12.56＝2（厘米）
圆柱的高是2厘米。
7． 圆锥 18.84cm3/18.84立方厘米
分析：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。下边为轴，圆锥的底面半径3cm，高2cm，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式计算即可。
详解：3.14×32×2÷3
＝3.14×9×2÷3
＝18.84（cm3）
形成的图形是圆锥，新图形的体积是18.84cm3。
8． 圆锥 188.4
分析：由题意可知，以直角三角形较短的直角边为轴旋转一周，可以得到一个底面半径为6厘米，高为5厘米的圆锥体，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算即可。
详解：一个直角三角形，两条直角边分别是5厘米和6厘米，将该直角三角形以较短的直角边为轴旋转一周，可以得到一个圆柱体；
×3.14×62×5
＝×3.14×36×5
＝×36×3.14×5
＝12×3.14×5
＝37.68×5
＝188.4（立方厘米）
则它的体积是188.4立方厘米。
9． 24 216
分析：圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，等体积等底面积的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱高的3倍，直接用圆锥的高÷3＝圆柱的高；圆柱的高×3＝圆锥的高，据此列式计算。
详解：72÷3＝24（厘米）
72×3＝216（厘米）
一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等，若圆锥的高是72厘米，则圆柱的高为24厘米；若圆柱的高是72厘米，则圆锥的高是216厘米。
10．15
分析：由圆锥的体积公式可知：。把圆锥的体积、底面半径的数值代入计算即可求出圆锥的高是1.5m，再把1.5m换算成15dm。
详解：6.28÷÷（3.14×22）
＝6.28×3÷（3.14×4）
＝18.84÷12.56
＝1.5（m）
1.5m＝15dm
所以，它的高是15dm。
11．√
分析：根据公式：圆锥的体积＝πr2h，将数据代入公式，计算出圆锥的体积再判断。
详解：3×3×3.14×3×
＝3×3×3.14×（3×）
＝9×3.14
＝28.26（cm3）
一个圆锥的底面半径和高都是3cm，它的体积是28.26cm3；原题说法正确。
故答案为：√
分析：此题考查了圆锥的体积计算，关键熟记公式。
12．×
分析：若以3cm的直角边为轴旋转一周，则形成一个底面半径为4cm，高为3cm的圆锥；若以4cm的直角边为轴旋转一周，则形成一个底面半径为3cm，高为4cm的圆锥，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算求出两个圆锥的体积，再进行对比即可。
详解：若以3cm的直角边为轴旋转一周，则形成一个底面半径为4cm，高为3cm的圆锥。
×3.14×42×3
＝×3.14×16×3
＝×3×3.14×16
＝1×3.14×16
＝3.14×16
＝50.24（cm3）
若以4cm的直角边为轴旋转一周，则形成一个底面半径为3cm，高为4cm的圆锥。
×3.14×32×4
＝×3.14×9×4
＝×9×3.14×4
＝3×3.14×4
＝9.42×4
＝37.68（cm3）
则分别以两条直角边为轴将这个三角形旋转一周，得到的两个圆锥的体积不相等。原题干说法错误。
故答案为：×
分析：本题考查圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。
13．×
分析：已知圆柱和圆锥的高相等，它们的底面积比为2∶3，假设圆柱的和圆锥的高都为1，圆柱的底面积是2，圆锥的底面积是3；根据圆柱的体积计算公式“V＝Sh”、圆锥的体积计算公式“V＝Sh”，代入数据求解圆柱和圆锥的体积，再写出它们的比即可。
详解：假设圆柱的和圆锥的高都为1，圆柱的底面积是2，圆锥的底面积是3；
圆柱的体积：1×2＝2
圆锥的体积：1×3×＝1
则圆柱和圆锥的体积比是2∶1，原题干说法错误。
故答案为：×
分析：本题主要考查了圆柱、圆锥的体积公式以及比的应用。
14．×
分析：假设圆锥的底面半径是1厘米，高9厘米；圆柱的底面半径是3厘米，高是1厘米，根据圆锥和圆柱的体积公式，分别算出圆锥的体积：3.14×12×9×＝9.42（立方厘米），圆柱的体积：3.14×32×1＝28.26（立方厘米），9.42÷28.26＝，即可得出圆锥的体积等于圆柱体积的，但是圆锥和圆柱不一定等底等高，据此判断。
详解：假设圆锥的底面半径是1厘米，高9厘米；圆柱的底面半径是3厘米，高是1厘米，则：
圆锥的体积：3.14×12×9×
＝3.14×9×
＝28.26×
＝9.42（立方厘米）
圆柱的体积：3.14×32×1
＝3.14×9
＝28.26（立方厘米）
9.42÷28.26＝
因此圆锥的体积等于圆柱体积的，则圆锥和圆柱不一定等底等高。
故答案为：×
分析：理解并掌握等底等高圆柱与圆锥体之间的关系是解题的关键。
15．√
分析：把一个圆柱体木料削成一个最大的圆锥体，也就是削成的圆锥与圆柱等底等高，根据等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，得出削去部分的体积是圆柱的（1－），则对应的数量是18 dm，由此利用分数除法的意义即可解答。
详解：
＝27（dm）
所以，圆柱形木材的体积是27 dm。原题说法正确。
故答案为：√
分析：解答此题的关键是知道把一段圆柱体切削成一个最大的圆锥，得出削成的圆锥与圆柱的关系，进而得出削去部分的体积与圆柱的关系。
16．（1）100.48cm3；（2）235.5cm3
分析：（1）根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求解；
（2）组合图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。
详解：（1）×3.14×（8÷2）2×6
＝×3.14×16×6
＝100.48（cm3）
圆锥的体积是100.48cm3。
（2）3.14×（6÷2）2×6＋×3.14×（6÷2）2×7
＝3.14×9×6＋×3.14×9×7
＝169.56＋65.94
＝235.5（cm3）
图形的体积是235.5cm3。
17．15.7米
分析：已知圆锥形碎石堆的底面周长是18.84米，根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆锥的底面半径；再根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出碎石堆的体积；
要把这个碎石堆铺在一条宽8米、厚15厘米的公路上，那么碎石堆的体积不变；根据长方体的体积＝长×宽×高可知，长方体的长＝体积÷宽÷高，据此求出能铺路基的长度。注意单位的换算：1米＝100厘米。
详解：15厘米＝0.15米
圆锥的底面半径：
18.84÷3.14÷2
＝6÷2
＝3（米）
碎石堆的体积：
×3.14×32×2
＝×3.14×9×2
＝18.84（立方米）
路基的长度：
18.84÷8÷0.15
＝2.355÷0.15
＝15.7（米）
答：能铺15.7米长的路基。
18．18.84吨
分析：此题需要先利用圆的周长公式求出这堆煤的底面半径，再利用圆锥的体积V＝Sh，求出这堆煤的体积，进而用这堆煤的体积乘每立方米的煤的重量，就是这堆煤的总重量。
详解：12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（米）
3.14×22×3××1.5
＝3.14×4×3××1.5
＝12.56×3××1.5
＝37.68××1.5
＝12.56×1.5
＝18.84（吨）
答：这堆煤大约重18.84吨。
19．5厘米
分析：根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆柱形沙堆的体积，路面的体积是一个长方体，由于体积不变，圆柱形沙堆的体积等于长方体的体积；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；高＝体积÷（长×宽），代入数据，即可解答。
详解：9×2×÷（30×4）
＝18×÷120
＝6÷120
＝0.05（米）
0.05米＝5厘米
答：能铺5厘米厚。
20．129吨
分析：圆锥的体积等于乘底面积乘高，用圆锥的体积乘每立方米的煤的质量，就可以求出这堆煤的质量。
详解：
（吨）
答：这堆煤约有129吨。
21．4082千克
分析：圆锥的体积＝底面积×高×＝πr2h，据此求出圆锥形稻谷堆的体积，再乘每立方米稻谷的质量，即可求出她家这堆稻谷大约重多少千克。
详解：
＝3.14×4×0.5×650
＝6.28×650
＝4082（千克）
答：她家这堆稻谷大约重4082千克。
22．7.5厘米
分析：圆锥形铁块全部浸没在水中时，水面上升部分的体积，就是圆锥形铁块的体积。水面上升部分的体积用圆柱的体积公式计算：体积＝底面积×高。再根据圆锥的体积＝×底面积×高，即可求出圆锥形铁块的高。
详解：（30÷2）2×3.14×0.4
＝152×3.14×0.4
＝225×3.14×0.4
＝706.5×0.4
＝282.6（立方厘米）
282.6÷（3.14×62×）
＝282.6÷（3.14×36×）
＝282.6÷（113.04×）
＝282.6÷37.68
＝7.5（厘米）
答：圆锥形铁块的高是7.5厘米。

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