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3.6 圆锥的认识
这些物体的形状都是圆锥体，简称圆锥。
圆锥的底面是个圆，侧面是一个曲面。
从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
圆锥底面圆周上任一点与顶点之间的距离都相等。
圆锥只有一个底面，底面是个圆。
圆锥的侧面是一个曲面，展开后为扇形。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，圆锥有且只有一条高。
例1：在如图中，以直线为轴旋转，可以得出圆柱体的是（ ）。
A． B． C． D．
答案：B
分析：以长方形或正方形的一边所在的直线为轴旋转一周，由于长方形或正方形的特点，它的上、下两个面是以长方形或正方形的另一条边为半径的两个完全一样的圆，与轴平行的一边通过旋转形成一个曲面，这样就得到一个圆柱。
详解：A．直角梯形以直线为轴旋转，可以得出圆台；
B．正方形以直线为轴旋转，可以得出圆柱体；
C．直角三角形以直线为轴旋转，可以得出圆锥体；
D．半圆以直线为轴旋转，可以得出球体。
故答案为：B
例2：在下列我们学过的图形分类关系图中，错误的是（ ）。
A． B．
C． D．
答案：A
分析：由不在同一直线的三条边首尾相连围成的图形叫做三角形；有2条边相等的三角形叫做等腰三角形；有3条边相等的三角形叫做等边三角形；等腰三角形和等边三角形都属于三角形；等边三角形属于特殊的等腰三角形；两组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形；四边形的对边平行且相等，且4个角都是直角，则这个四边形是长方形；如果长方形的四条边都相等，则这个四边形是正方形；长方形和正方形都属于平行四边形，正方形属于长方形的一种；长方体、圆柱、圆锥都属于立体图形，且立体图形不止这三种；四边形包括平行四边形和梯形，且不止这两种。
详解：根据分析可知，
分类错误，将等腰三角形和等边三角形交换位置即可；、和分类正确。
故答案为：A
例3：一个长方形A4纸，以长边为轴旋转360°后得到的图形是( )。以一个直角三角形的一条直角边为轴旋转360°后得到的图形是( )。
答案： 圆柱 圆锥
详解：根据对图形的认识可知：

一个长方形A4纸，以长边为轴旋转360°后得到的图形是圆柱。以一个直角三角形的一条直角边为轴旋转360°后得到的图形是圆锥。
例4：一个圆锥有( )条高，它的侧面展开图是( )形。
答案： 1/一 扇
详解：
圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高，一个圆锥只有1条高；
圆锥的侧面：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长。
基础过关练
一、选择题
1．将如图的图形以虚线为轴快速旋转后会形成（ ）。
A． B． C．
2．把下面各图形分别以小棒为轴快速旋转一周，所形成的几何体的底面半径是5的是（ ）。
A． B． C．
3．以（ ）为轴，旋转一周可以得到一个圆锥。
A．正方形的一条边 B．直角三角形的斜边
C．直角三角形的一条直角边 D．扇形的一条边
4．圆锥的侧面沿一条直线展开后是一个（ ）。
A．三角形 B．圆形 C．扇形
5．下列每组中左边图形绕轴旋转一周后一定能形成右边立体图形是（ ）。
A． B． C． D．
二、填空题
6．一个圆锥，底面半径是4厘米，高是12厘米，从圆锥的顶点沿着高将它切成相同的两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了( )平方厘米。
7．粽子是由粽叶包裹糯米蒸制而成的食品，是中华民族传统节庆食物之一。如图所示是外形类似圆锥的粽子，该粽子有( )条高，高是( )厘米，底面周长是( )厘米。
8．将一个底面直径是26厘米、高是6厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了( )平方厘米。
9．一个圆锥的高不变，底面半径扩大到原来的2倍，底面积扩大到原来的( )倍。
10．小明在一张正方形卡纸上剪下一个圆形和一个扇形，圆的周长恰好和扇形曲线部分的长度相等，这样刚好围成一个圆锥体模型（如图）。如果圆的半径为r，扇形半径为R，那么r∶R＝( )∶( )。
三、判断题
11．用直角三角形绕一条直角边旋转一周得到的图形是圆柱。( )
12．将圆锥沿底面直径垂直于底面切开，得到的截面是一个等腰三角形。( )
13．绕轴旋转后可以得到圆锥。( )
14．一个圆柱体有无数条高，一个圆锥体只有一条高。( )
15．以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周，转出的几何体是圆锥。( )
培优提升练
四、解答题
16．如今自带帐篷旅游越来越受人们欢迎。如图，一种近似圆锥形帐篷的底面直径是5米，高是2.4米。这种圆锥形帐篷占地面积是多少？
17．学校梦想画社要举行斗笠彩绘比赛，青青妈妈给青青网购了一顶底面半径20厘米，高25厘米的圆锥形斗笠。商家用一个长方体纸盒包装起来快递，这个盒子至少需要多大面积的纸板？
18．将一个底面直径18厘米，高是8厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？
19．将一个底面直径是、高是的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？
20．将下图中的直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，圆锥的底面直径和高分别是多少？
1．B
分析：根据圆柱和圆锥的特征进行判断即可。
详解：如图左边是一个直角梯形，可以分成一个直角三角形和长方形，圆锥可由一个直角三角形沿其一条直角边旋转一周得到。圆柱可由一个长方形沿其一条边旋转一周得到。所以该图旋转后上方是一个圆锥，下方是一个圆柱。
故答案为：B
分析：本题考查圆柱和圆锥的特征，明确它们的特征是解题的关键。
2．C
分析：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
详解：A．旋转成的圆锥底面半径是2，排除；
B．旋转而成的图形是两个底面拼到一起的圆锥组成的立体图形，排除；
C．旋转成的圆锥底面半径是5，符合。
故答案为：C
分析：关键是具有一定的空间想象能力，熟悉圆锥特征。
3．C
分析：根据圆锥的认识：以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周，旋转后是圆锥的高，另一条直角边是旋转后的圆锥的底面半径；进而得出结论。
详解：由分析可知：
以直角三角形的一条直角边为轴，旋转一周可以得到一个圆锥。
故答案为：C
分析：此题应根据圆锥的特征进行解答即可。
4．C
分析：根据圆锥的特征：圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面为一圆形，侧面展开图是扇形，是曲面。据此解答。
详解：根据分析得，圆锥的侧面沿一条直线展开后是一个扇形。
故答案为：C
分析：此题的解题关键是理解掌握圆锥的特征。
5．D
分析：以长方形的一条边所在直线旋转一周可以得到圆柱，以直角三角形的一条直角边所在直线旋转一周可以得到圆锥。
详解：A．中圆柱的高不等于长方形的宽，所以A选项错误。
B．中圆柱的底面半径不等于长方形的较短边的一半，所以B选项错误。
C．中左边的图形绕轴旋转一周，得到的圆锥应是倒立的，也就是从圆柱中挖掉一个圆锥，即，所以C选项错误。
D．中左边的图形绕轴旋转一周，得到的图形、数据与左图对应，所以D选项正确。
故答案为：D
分析：此题考查了面的旋转。“点、线、面、体”之间的联系：点动成线、线动成面、面动成体。
6．96
分析：根据题意，把一个圆锥从它的顶点沿高切成两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了2个切面的面积，切面是一个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形；
根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个切面的面积，再乘2，即是增加的表面积。
详解：圆锥的底面直径：4×2＝8（厘米）
表面积增加了：8×12÷2×2＝96（平方厘米）
表面积比原来圆锥的表面积增加了96平方厘米。
7． 1/一 9 18.84
分析：根据圆锥的特征可知，圆锥只有1条高，观察题意可知，粽子的高度有9厘米，底面直径是6厘米，根据圆锥的底面周长公式：C＝πd，用3.14×6即可求出底面周长。据此解答。
详解：3.14×6＝18.84（厘米）
该粽子有1条高，高是9厘米，底面周长是18.84厘米。
分析：本题主要考查了圆锥的认识以及圆周长公式的应用，掌握圆锥的特征是解答本题的关键。
8．156
分析：要把圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块，应沿着圆锥的高切开，得到两个切面，切面是两个相同的等腰三角形。切开后，表面积比原来增加的部分为两个等腰三角形的面积。等腰三角形的高是圆锥的高，等腰三角形的底是圆锥的底面直径。根据“三角形的面积＝底×高÷2”可求出两个等腰三角形的面积，也就是表面积比原来增加的部分。
详解：26×6÷2×2
＝156÷2×2
＝78×2
＝156（平方厘米）
所以，表面积比原来增加了156平方厘米。
分析：本题考查圆锥的认识和立体图形的切拼，理解把圆锥分成完全相同的两部分后，表面积增加了两个等腰三角形的面积是解题的关键。
9．4
分析：圆锥的底面是圆形，设圆锥的底面半径是r，底面半径扩大到原来的2倍是2r，根据圆的面积，先分别求出原来和扩大后圆锥的底面积，再比较。
详解：原来的底面积：
扩大后的底面积：＝4
4÷＝4
即圆锥的高不变，底面半径扩大到原来的2倍，底面积就扩大到原来的4倍。
分析：如果一个圆的半径扩大到原来的若干倍，则这个圆的面积就扩大到该倍数的平方倍。
10． 1 4
分析：根据围成圆锥后圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，列出关系式即可得到两个半径之间的关系。
详解：因为扇形的弧长等于圆锥底面周长，
所以2πR＝2πr
R＝2r
（R×2）＝（2r×2）
R＝4r
r∶R＝1∶4
分析：解答此题的关键是明白：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。
11．×
分析：根据圆锥的定义：直角三角形绕着一条直角边旋转一周，得到的图形是圆锥。据此可得出答案。
详解：圆锥的定义：用直角三角形绕一条直角边旋转一周得到的图形是圆锥，题干表述错误。
故答案为：×
12．√
分析：如下图，把圆锥沿底面直径垂直于底面进行切割，切面是两个完全相同的等腰三角形。等腰三角形的底是圆锥的底面直径，等腰三角形的腰是圆锥的母线。
详解：如上图，将圆锥沿底面直径垂直于底面切开，得到的截面是一个等腰三角形。原题说法正确。
故答案为：√
分析：明确切割圆锥的方式是解决此题的关键。把圆锥平行于底面进行切割，切面是两个完全相同的圆，这两个圆比圆锥的底面小（如下图），切割后形成了一个圆锥和一个圆台。
13．√
分析：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。据此解答。
详解：根据分析可知，绕轴旋转后可以得到圆锥。原题干说法正确。
故答案为：√
分析：本题主要考查了圆锥的认识，明确圆锥由哪个面旋转组成是解答本题的关键。
14．√
分析：根据圆柱的高的含义：圆柱两个底面之间的距离，叫做圆柱的高；和圆锥的高的含义：从圆锥的顶点到底边圆心的距离，叫做圆锥的高；进行解答。
详解：由圆柱的高的含义知：圆柱有无数条高；由圆锥的高的含义知：圆锥只有一条高；
一个圆柱体有无数条高，一个圆锥体只有一条高。
原题干说法正确。
故答案为：√
分析：本题考查对圆柱和圆锥的高的意义的理解，要注意基础知识的积累。
15．√
分析：根据圆锥的展开图特点可知：直角三角形沿一条直角边旋转一周得到的几何体是一个圆锥，由此即可选择。
详解：由分析可知：
以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周，转出的几何体是圆锥。原题干说法正确。
故答案为：√
分析：此题考查了对圆柱和圆锥特征的理解。
16．19.625平方米
分析：求圆锥的占地面积，就是求直径是5米的圆的面积，根据圆的面积＝πr2，代入数据，即可解答。
详解：3.14×（5÷2）2
＝3.14×2.52
＝19.625（平方米）
这种圆锥形帐篷占地面积是19.625平方米。
分析：熟练掌握圆的面积公式是解题的关键。
17．7200平方厘米
分析：这个长方体纸盒子的长和宽应该等于圆锥的底面直径，长方体的高等于圆锥的高，然后根据长方体的表面积公式计算即可。
详解：半径＝20厘米，直径＝40厘米；
＝（1600＋1000＋1000）×2
＝×2
＝（平方厘米）
答：这个盒子至少需要7200平方厘米的纸板。
分析：这个题目重点是知道长方体盒子的长和宽都等于圆锥的底面直径，高等于圆锥的高。
18．144平方厘米
分析：将圆锥切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是直径，高是圆锥的高，也就是说底是18厘米，高是8厘米，所以每个切面的面积是72平方厘米，而现在的表面积比原来增加了2个切面，所以增加了144平方厘米。
详解：18×8÷2×2
＝144÷2×2
＝72×2
＝144（平方厘米）
答：表面积比原来增加了144平方厘米。
分析：本题考查立体图形表面积的变化，切一刀增加两个面的面积。
19．
分析：要把圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块，应沿着圆锥的高切开，得到两个切面，切面是两个相同的等腰三角形。切开后，表面积比原来增加的部分为两个等腰三角形的面积。等腰三角形的高是圆锥的高，等腰三角形的底是圆锥的底面直径。根据三角形的面积＝底×高÷2可求出两个等腰三角形的面积，也就是表面积比原来增加的部分。
详解：26×6÷2×2
＝78×2
＝156（平方厘米）
答：表面积比原来增加了。
分析：本题考查圆锥的认识和立体图形的切拼，理解把圆锥分成完全相同的两部分后，表面积增加了两个等腰三角形的面积是解题的关键。
20．底面直径8厘米，高或底面直径6厘米，高
分析：直角三角形有两条直角边，以不同的直角边所在的直线为轴旋转一周，可以得到不同的圆锥。圆锥的高等于为轴的直角边的长，圆锥的底面直径等于另一条直角边长度的2倍，据此解答。
详解：可以得到两种圆锥：
（1）以长的直角边所在的直线为轴得到的圆锥。
底面直径：4×2＝8（厘米）
高：3厘米
（2）以长的直角边所在的直线为轴得到的圆锥。
底面直径：
高：
分析：根据圆锥的特征，运用空间想象力解答此题。

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