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3.4 倒数
把一个数（0除外）的分子、分母交换位置，所得的新数就是原数的倒数。
（1）求真分数、假分数的倒数：将分子、分母交换位置；
（2）求自然数的倒数：先将自然数改写成分母是1的假分数，再将分子、分母交换位置。
（3）求小数的倒数：先将小数化成分数，再将分子、分母交换位置。
（4）求带分数的倒数：先将带分数化成假分数，再将分子、分母交换位置。
（5）1的倒数是它本身，0没有倒数。
例1：下列各组数中，不能互为倒数的是（ ）。
A．1和1 B．0.24和 C．和 D．1.25和0.8
答案：B
分析：乘积为1的两个数互为倒数，据此判断即可。
详解：A．1×1＝1，1的倒数是1，不符合题意。
B．0.24＝，×＝，它们乘积不为1，即0.24和不互为倒数，符合题意。
C．＝1，所以它们互为倒数，不符合题意。
D．1.25×0.8＝1，所以它们互为倒数，不符合题意。
故答案为：B
例2：下列每组中的两个数互为倒数的是（ ）。
A．0.25和 B．2和0.5 C．0.1和
答案：B
分析：根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数；判断两个数是不是互为倒数，就看这两个数的乘积是不是1，据此解答。
详解：A．0.25×＝，所以0.25和不互为倒数；
B．2×0.5＝1，所以2和0.5互为倒数；
C．0.1×＝0.01，所以0.1和不互为倒数；
故答案为：B
例3：的倒数是( )，( )的倒数是。
答案： 2 /
分析：乘积是1的两个数互为倒数，第一个空，1÷0.5即可得到0.5的倒数；第二个空，交换真分数分子和分母的位置，即可得到它的倒数，据此分析。
详解：1÷0.5＝2
的倒数是2，的倒数是。
例4：最小质数的倒数与最小合数的倒数之和是( )。
答案：
分析：根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数；最小的质数是2；2的倒数是；最小的合数是4；4的倒数是，再求出＋的和即可。
详解：最小的质数是2，2的倒数是；
最小合数是4，4的倒数是。
＋
＝＋
＝
最小质数的倒数与最小合数的倒数之和是。
基础过关练
一、选择题
1．关于“倒数”，下列描述错误的是（ ）。
A．1没有倒数 B．0没有倒数
C．互为倒数的两个数相乘一定得1 D．一个数的倒数是它本身，这个数是1
2．下面每组中的两个数互为倒数的是（ ）。
A．和0.5 B．8和0.25 C．和1.5 D．和
3．a、b、c三个数均大于0，当时，则a、b、c中最大的是（ ）。
A．a B．b C．c D．无法确定
4．（ ）没有倒数。
A．1 B．0.1 C．0 D．
5．0.125的倒数是（ ）。
A．8 B．125 C． D．
6．如果a和b互为倒数（a、b均大于0），那么a＋b（ ）a×b。
A．大于 B．小于 C．等于 D．无法比较
二、填空题
7．的倒数是( )，( )的倒数是最小的合数。
8．( )的倒数是；0.6的倒数是( )。
9．小熊房间的号码是一个三位数，百位上的数字是个位上数字的，十位上的数字是最小的质数，个位上的数字是的倒数，猜一猜小熊房间的号码是( )。
10．＝＝＝1。
11．如果，那么A＋B＝( )。
三、判断题
12．最小自然数的倒数是它本身。( )
13．一个小数的倒数，一定比这个小数小。( )
14．a是一个自然数，它的倒数是。( )
15．若a与b的乘积为1，则a与b互为倒数。( )
16．因为4×0.25＝1，所以4是倒数，0.25也是倒数。( )
培优提升练
四、计算题
17．一个数与它的倒数的积加上a的倒数，和为，a是多少？
18．乘它的倒数的积，再加上，和是多少？
五、解答题
19．小红和小亮谁说得对？
小红：“因为，所以的倒数是0.75。”
小亮：“分数的倒数不可能是一个小数。”
20．欣欣百货商场购进电冰箱72台，第一天卖出，第二天卖出的是第一天的。第二天卖出多少台？
21．增加5倍后去除2.4与它倒数的和，商是多少？
22．一个自然数与它的倒数的差是，这个自然数是多少？
23．修一条800米的路，第一天修了全长的，第二天修了全长的。第二天修了多少米？还剩下多少米没修？
24．花木商店有花木350株，其中是桂花树，是桃树。桂花树和桃树共占这批花木的几分之几？这两种树共多少株？
1．A
分析：乘积是1的两个数互为倒数， 倒数描述的是两个数之间的关系，它们是相互依存的；1的倒数是1，0没有倒数；据此判断。
详解：A．因为1乘1还得1，1的倒数是1，所以1没有倒数的说法是错误的；
B．因为0乘任何数都得0，所以0没有倒数，此说法正确；
C．互为倒数的两个数相乘一定得1，此说法正确；
D．一个数的倒数是它本身，这个数是1，此说法正确。
故答案为：A
分析：此题主要考查倒数意义的灵活运用。
2．C
分析：根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数；算出每个选项中两数的积，积是1的两个数互为倒数。
详解：A．和0.5；×0.5＝0.25，与0.5不互为倒数；
B．8和0.25；8×0.25＝2，8和0.25不互为倒数；
C．和1.5；×1.5＝1，和1.5互为倒数；
D．和；×＝，和不互为倒数。
下面每组中的两个数互为倒数的是和1.5。
故答案为：C
分析：熟练掌握倒数的意义是解答本题的关键。
3．C
分析：因为此题有3个未知量，根据现有的条件，不能直接求出，可让这个等式等于1，再求出三个未知量，最后比较大小即可。
详解：设＝1，则
a＝1，b＝，c＝12
因为12＞1＞
所以c＞a＞b，则a、b、c中最大的是c。
故答案为：C
分析：此题采用了赋值法，可以化难为易，这种方法在解决数学问题时经常用到。
4．C
分析：根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数，1的倒数还是1，0和任何数相乘都得0，0没有倒数，据此解答。
详解：根据分析可知，0没有倒数。
故答案为：C
分析：熟练掌握倒数的意义是解答本题的关键。
5．A
分析：先根据小数化分数的方法：先把小数写成分数，原来有几位小数，就在1的后面写几个0作为分母，原来的小数去掉小数点作为分子，能约分要约分；0.125＝；再根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数；把分数的分子和分母互调位置，即可解答。
详解：0.125＝
的倒数是8。
0.125的倒数是8。
故答案为：A
分析：熟练掌握小数化分数的方法，以及倒数的意义是解答本题的关键。
6．A
分析：根据倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，例如：如果a、b不为0，a×b＝1，则a是b的倒数，b是a的倒数。真分数的分子比分母小，真分数小于1；它的倒数的分子就比分母大了，所以真分数的倒数大于1。所以倒数就大于本身了。假分数两种情况：①这个假分数的分子和分母相等，假分数等于1，这个假分数的倒数也等于1，所以倒数等于本身；②这个假分数的分子大于分母，假分数大于1，这个假分数的倒数就小于1，倒数小于本身。据此可知两个互为倒数的和一定是大于1。据此解答。
详解：根据分析可知，如果a和b互为倒数（a、b均大于0），
则a＋b的和一定大于1，a×b的积一定等于1。
所以a＋b＞a×b
例如：a＝2
b＝
2＋＝
2×＝1
＞1
所以a＋b＞a×b
故答案为：A
分析：本题主要考查了倒数的认识以及应用，掌握真分数、假分数的特征是解答本题的关键。
7．
分析：乘积为1的两个数互为倒数，写分数的倒数可以直接将分子分母互换位置；最小的合数是4，写整数的倒数，分母是该数，分子为1；据此解答即可。
详解：的倒数是，的倒数是最小的合数。
分析：此题主要考查了求一个数的倒数的方法，解答此类问题的关键是要明确求一个分数、整数的倒数的方法。
8．
分析：乘积为1的两个数互为倒数，求一个分数的倒数，可颠倒分子分母的位置；求一个小数的倒数，先把小数化为分数，再求它的倒数。
详解：0.6＝
（）的倒数是；0.6的倒数是（）。
分析：本题较为基础，需要理解倒数的含义，且能够熟练转化分数小数。
9．629
分析：运用倒数的求法先得到个位上数字，再根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算，可用个位上的数乘可以求出百位上的数字，再根据最小的质数为2得到十位上的数字，从而求解。
详解：个位上的数：的倒数是9；
百位上的数：9×＝6；
十位上的数是2；
这个三位数是629，即小熊房间的号码是629。
分析：本题综合考查了倒数的认识，分数的乘法，质数与合数的认识，得到个位上数字为9是解题的突破口。
10．；；
分析：根据倒数的含义：乘积为1的两个数互为倒数。可以将题目转换成求、3和0.4的倒数。
求倒数的方法：
（1）求一个分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母调换位置；
（2）小数的倒数求法：将小数化成分数，再将分子、分母调换位置；
据此解答即可。
详解：由分析可得：
的倒数为：；
3的倒数为：；
先将0.4转换成分数：＝，则0.4的倒数为。
综上所述：×＝3×＝0.4×＝1。
分析：本题考查了倒数的概念和意义，需要学生熟练掌握找出分数和小数的倒数的方法。
11．/2
分析：乘积是1的两个数叫做互为倒数。求分数的倒数，把分子和分母调换位置即可。根据题意，和A互为倒数，和B互为倒数，求出A和B的值，再把它们相加即可解答。
详解：和A互为倒数，则A是；和B互为倒数，则B是。
＋＝，则A＋B＝
分析：根据求分数的倒数的方法，求出A和B的值是解题的关键。
12．×
分析：根据自然数的意义：自然数是指用计量事物的件数或表示事物次数的数，即用数码0、1、2、3、4……所表示的数，最小的自然数是0；根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数，据此解答。
详解：最小的自然数是0；1÷0，；除数为0没有意义，分母为0没有意义。
原题干说法错误。
故答案为：×
分析：熟练掌握自然数的意义，0没有倒数，以及倒数的意义进行解答。
13．×
分析：根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数，据此举个例子即可，例如0.5的倒数：用1除以0.5即可求出它的倒数，然后判断。
详解：1÷0.5＝2
所以0.5的倒数是2，2＞0.5
所以一个小数的倒数，不一定比这个小数数小，原题说法错误。
故答案为：×
分析：本题主要考查倒数的意义，熟练掌握倒数的含义是解题的关键。
14．×
分析：一个数与另一个数相乘，所得的积为1，这两个数就互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数。
详解：自然数（0除外）都有倒数，因为自然数包括0，0没有倒数，所以原题说法错误。
故答案为：×。
分析：掌握倒数的定义是解答的关键。
15．√
分析：根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数，据此即可判断。
详解：由分析可知：
若a与b的乘积为1，则a与b互为倒数。原题说法正确。
故答案为：√
分析：本题主要考查倒数的意义，熟练掌握倒数的意义并灵活运用。
16．×
分析：根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数，例如2×0.5＝1，那么2是0.5的倒数或者0.5是2的倒数，据此即可判断。
详解：由分析可知：
4×0.25＝1，所以4是0.25的倒数，0.25也是4的倒数，原题说法错误。
故答案为：×
分析：本题主要考查倒数的意义，熟练掌握倒数的意义是解题的关键。
17．8
分析：根据互为倒数的两个数的乘积是1，用减去1，求出a的倒数，进而求出a是多少即可。
详解：－1＝
的倒数是8，即a是8。
18．1
分析：先求出的倒数，用×，求出积再加上，计算即可。
详解：的倒数是，
×＋
＝1＋
＝1
19．小红说的对
分析：根据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数。据此判断即可。
详解：因为，所以和0.75互为倒数。
答：小红说的对。
分析：此题考查的目的是理解掌握倒数的意义。
20．2台
分析：根据题意，用购进电冰箱的台数×，求出第一天卖出的电冰箱的台数，再用第一天卖出电冰箱的台数×，即可求出第二天卖出电冰箱的台数。
详解：72××
＝3×
＝2（台）
答：第二天卖出2台。
分析：根据连续求一个数的几分之几的知识进行解答。
21．
分析：最后求商先找出被除数和除数再相除即可；被除数是2.4与它倒数的和；2.4的倒数是，用2.4加上的和就是被除数；除数是增加5倍后的数；增加5倍那么后来的数就是的（5＋1）倍，用乘（5＋1）就是除数；由此求解。
详解：2.4的倒数是，
（2.4＋）÷[×（5＋1）]，
＝÷[×6]，
＝÷4，
＝；
答：商是。
分析：本题给出数量关系较复杂，要注意区分“除”和“除以”的区别，以及“增加”和“增加到”的区别。
22．22
分析：一个自然数的倒数肯定是分子是1的真分数，所以做差时，这个自然数要拿出一个1来减去真分数，所以结果的整数部分＋1就是原来的这个自然数。
详解：自然数22，它的倒数是，。
答：这个自然数是22。
分析：此题考查倒数的应用，了解一个自然数的倒数一定是一个真分数是解题的关键。
23．320米；240米
详解：（米）（米）
24．；190株
详解： (株）

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