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2.2 展开与折叠
长方体展开图是由6个小长方形组成的，相对面的面积两两相等，且完全隔开。
正方体展开图是由6个小正方形组成的，6个正方形的面积相等，且相对的面也完全隔开。
由于剪法不同，正方体和长方体的展开图均有多种。
例1：一个正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“数”所在面相对的面所标的字是（ ）。
A．好 B．有 C．趣
答案：B
分析：根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的"1－3－2"型，折成正方体后，“数”与“有”相对，“学”与“玩”相对，“好”与“趣”相对，据此解答。
详解：由分析可得：一个正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“数”所在面相对的面所标的字是有。
故答案为：B
例2：下面四个图形中，不能折叠成正方体的是（ ）。
A． B． C． D．
答案：B
分析：正方体的展开图类型：（1）“1—4—1”型：中间4个一连串，两边各一随便放；
（2）“2—3—1”型：二三紧连错一个，三一相连一随便；
（3）“2—2—2”型：两两相连各错一；
（4）“3—3”型：三个两排一对齐；
不能围成正方体的展开图类型：
（1）一条线上不过四；
（2）“田字形”“七字型”“凹字型”；据此解答。
详解：由分析可知：
A.属于“2—3—1”型，能折叠成正方体；
B．不属于正方体的展开图类型，不能折叠成正方体，折叠时有重叠的面；
C．属于“2—3—1”型，能折叠成正方体；
D．属于“1—4—1”型，能折叠成正方体。
故答案为：B
例3：如下图，正方体的展开图上有编号，请你写出相对面的号码：3的相对面是( )，4的相对面是( )，5的相对面是( )。
答案： 6 1 2
分析：根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方形展开图的“2－2－2”型，并且根据正方体展开图的相对面辨别方法：相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，“z”字两端处的小正方形是正方体的对面，据此判断即可。
详解：由分析可得：
通过对展开图的观察，1和4在对面，3和6在对面，剩下的2和5在对面。
综上所述：如下图，正方体的展开图上有编号，请你写出相对面的号码：3的相对面是6，4的相对面是1，5的相对面是2。
例4：如图是正方形展开图，将相对面上的字母填在括号里：A与( )相对，C与( )相对。
答案： F E
分析：据正方体展开图11种特征，此图属于正方体展开图的“1－4－1”型，根据特征进行判断即可。
详解：由分析可得：
该展开图中，折成正方体后，“A”和“F”相对，“B”和“D”相对，“C”和“E”相对。
综上所述：A与F相对，C与E相对。
基础过关练
一、选择题
1．如图是一个正方体的展开图，与4号相对的面是（ ）号。

A．1号 B．3号 C．5号 D．6号
2．将下图折叠成正方体，“锦”字对面的是（ ）字。
A．祝 B．你 C．前 D．程
3．下面图形沿虚线折叠不能围成正方体的是（ ）。
A． B． C． D．
4．下面的图形中不能折成正方体的是（ ）。
A． B． C． D．
5．下边图形的展开图，不正确的是（ ）。

A． B．C． D．
二、填空题
6．如图是一个正方体盒子的平面展开图，数字“1”的对面是( )，数字“3”的对面是( )。
7．将4、5、6填在下图中的方格里，使每个相对面上的两个数字之和相等。
8．长方体的展开图由( )个长方形组成，且相对面的面积( )；正方体的展开图是由( )个( )的正方形组成的。
9．熊妈妈在魔方的六个面上各贴了一个数字，分别是1，2，3，4，5，6。第一次熊宝宝看到了，第二次熊宝宝又看到了，第三次熊宝宝又看到了。数字1对面是( )，2对面是( )，3对面是( )。
10．根据下图判断与“诚”字相对的面上的字是( )。
三、判断题
11．下图是一个正方体的平面展开图，与汉字“渭”相对面上的的汉字是“河”。( )
12．长方体的展开图中，只有长方形，不可能出现正方形。( )
13．某正方体的每个面上都有一个汉字，下图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“惟”字所在面相对的面上的汉字是“锦”。( )
14．正方体的展开图都是正方形，长方体的展开图都是长方形。( )
15．一个正方体的表面展开图如下图所示，把它折成正方体后，与“水”字相对的字是“青”。( )
培优提升练
四、解答题
16．在下面方格图（每个小正方形边长均为1厘米）上补全这个长方体展开图的上面、右面和后面，并填空。

上图长方体的长（ ）厘米，宽（ ）厘米，高（ ）厘米。
17．宣纸质地柔软，经久耐用，被称为“千年寿纸”。陈师傅将宣纸裁成了如图A的形状，艺术创作后，准备加上木条制作成如图B所示的长方体灯罩，要做出这样一个灯罩，至少需要多少厘米的木条？
18．如图，将此平面图沿虚线折叠出来是一座房屋的模型。制作这座房屋模型的屋顶，至少要用去多大面积的纸板？
19．如图，一张硬纸板剪下4个边长4厘米的小正方形后，可以做成一个没有盖子的盒子。请你求出剪后的硬纸板的面积？
20．熊妈妈在魔方的六个面上各贴了一个数字，分别是1，2，3，4，5，6。第一次熊宝宝看到了，第二次熊宝宝又看到了。数字1，2，3对面分别是多少？
五、作图题
21．如图是一个长方体展开图的前面、下面和左面，请画出展开图的另外三个面，并标出每个面是长方体的哪个面（右面、后面、上面）。
22．琪琪用一根铁丝做成了一个长为6厘米，宽为3厘米，高为2厘米的长方体框架。现要在它的外面糊上彩纸，使它成为一个无盖的纸盒。请你在图中画出所需彩纸的展开图。（方格边长为1厘米）。
1．A
分析：正方体的展开图类型：（1）“1—4—1”型：中间4个一连串，两边各一随便放；
（2）“2—3—1”型：二三紧连错一个，三一相连一随便；
（3）“2—2—2”型：两两相连各错一；
（4）“3—3”型：三个两排一对齐；
此图属于正方体展开图的“2—3—1”型，折成正方体后，1号面与4号面相对，2号面与6号面相对，3号面与5号面相对。
详解：由分析可知：如下图所示，

是一个正方体的展开图，与4号相对的面是1号。
故答案为：A。
分析：本题考查正方体的展开图，注意：正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题型。
2．C
分析：根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1-3-2”型，折成正方体后，“祝”与“似”相对，“你”与“程”相对，“前”与“锦”相对；据此解答。
详解：如图：

正方体的展开图重新折叠成正方体后，“锦”字对面的是“前”字。
故答案为：C
分析：正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住，能快速解答此类题。
3．C
分析：正方体的展开图类型：（1）“1—4—1”型：中间4个一连串，两边各一随便放；
（2）“2—3—1”型：二三紧连错一个，三一相连一随便；
（3）“2—2—2”型：两两相连各错一；
（4）“3—3”型：三个两排一对齐；
不能围成正方体的展开图类型：
（1）一条线上不过四；
（2）“田字形”“七字型”“凹字型”；据此解答。
详解：A． 属于“2—2—2”型，可以围成；
B． 属于“2—3—1”型。可以围成；
C． 属于“七字型”，有一个面没有被围起来，所以不能围成；
D． 属于“1—4—1”型，可以围成；
故答案为：C。
分析：本题考查正方体展开图。有11种情况，分四种类型： “1－4－1”结构、“2－2－2”结构、“3－3”结和“1－3－2”结构。
4．B
分析：根据正方体展开图的11种特征，即可确定哪个图形属于正方体展开图，能折成正方体；哪个图形不属于正方体展开图，不能折成正方体。
详解：A．二三一型，属于正方体展开图，能折成正方体；
B．不能折成正方体；
C．一四一型，属于正方体展开图，能折成正方体；
D．一四一型，属于正方体展开图，能折成正方体；
故答案为：B
分析：本题主要是考查正方体展开图，要重点掌握11种展开图。
5．C
分析：观察图形，可知这是一个特殊的长方体，有2个相对的面是正方形，有4个完全相同的长方形；沿着长方体的一些棱剪开，可以得到长方体的展开图，在展开图中，长方体相对的面完全相同；据此分析即可。
详解：据上分析可知：A、B、D三个选项的展开图是正确的，而C选项中有4个正方形面，是不正确的。
故答案为：C
分析：此题重点考查对长方体特征的认识和展开图的识别。
6． 4 6
分析：根据正方体展开图11种特征，此图属于正方体展开图的“1－3－2”型，根据特征进行判断即可。
详解：由分析可得：
该展开图中，折成正方体后，“1”和“4”相对，“2”和“5”相对，“3”和“6”相对。
综上所述：如图是一个正方体盒子的平面展开图，数字“1”的对面是“4” ，数字“3”的对面是“6”。
分析：本题考查了正方体展开图的特征，总共分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并且记住规律。
7．见详解
分析：1、2、3、4、5、6这6个数字，如果分成三组，每组两数之和相等，只有1＋6＝2＋5＝3＋4，即1与6相对，2与5相对，3与4相对。根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方展开图的“1－4－1”型，折成正方体后，第一行与第三行的两个正方形相对，中间一行的第一个与第三个正方形相对，第二个与第四个正方形相对。据此可将1、2、3、4、5、6分别填在如图中的每个方格内，使折成的正方体中相对的2个面的数之和相等。
详解：如图：
分析：弄清此图折成正方体后，哪些面相对，1、2、3、4、5、6这6个数字中哪两个数字相加和相等是关键。
8． 6 相等 6 相同
分析：长方体的每个面都是长方形（特殊情况下有2个正方形的面），相对的面完全相同，面积相等。正方体的每个面都是正方形，每个面完全相同。据此解题。
详解：长方体的展开图由6个长方形组成，且相对面的面积相等；正方体的展开图是由6个相同的正方形组成的。
分析：本题考查了长方体和正方体的展开图，掌握长方体和正方体的特征是解题的关键。
9． 6 4 5
分析：从两次的图形中可以得知：3是和1、2、4、6相邻，所以3的对面就是5；由第二次看到的图形可以得知2与1、3、5、6相邻，据此可推出2的对面是4；由第三次看到的图形可以得知1与2、3、4、5相邻，进而推出1的对面是6。据此解答。
详解：根据分析可得，以3为中心的展开图如下：
所以数字1的对面是数字6；数字2的对面是数字4；数字3的对面是数字5。
分析：用排除法，先找出3的旁边都有哪些数字，那么这些数字就不可能在它的对面，由此即可找到对面的数字。
10．爱
分析：将正方体展开图在想象中还原，再找出与“诚”字相对的面上的字。
详解：下图中，与“诚”字相对的面上的字是爱。
分析：本题考查了正方体展开图，有一定空间观念是解题的关键。
11．√
分析：根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1－4－1”型，折成正方体后，“保”与“条”相对，“护”与“例”相对，“渭”与“河”相对；据此解答。
详解：根据分析可知，下图是一个正方体的平面展开图，与汉字“渭”相对面上的的汉字是“河”。
故答案为：√
分析：熟练掌握正方体展开图的特征是解答本题的关键。
12．×
分析：长方体有6个面，其中有两个相对的面可能是正方形，据此解答。
详解：当长方体有两个相对的面是正方形时，它的展开图中会有两个正方形。原题说法错误。
故答案为：×
分析：掌握特殊的长方体的特征是解题的关键。
13．√
分析：根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1-3-2”型，折成正方体后，“惟”与“锦”相对，“愿”与“河”相对，“山”与“绣”相对。
详解：如图：
某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“惟”字所在面相对的面上的汉字是“锦”。
原题说法正确。
故答案为：√
分析：正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。
14．×
分析：长方体的每个面都是长方形（特殊情况下有2个正方形的面），相对的面完全相同；正方体的每个面都是正方形，每一面完全相同，据此解答。
详解：根据分析可知，正方体展开图都是正方形，长方体展开图的在特殊的情况下有2个面是正方形。
原题干说法错误。
故答案为：×
分析：熟练掌握长方体、正方体的体征以及展开图的特征进行解答。
15．√
分析：根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“2-2-2”型，折成正方体后，汉字“共”与“山”相对，“建”与“绿”相对，“青”与“水”相对。
详解：如图：
一个正方体的表面展开图如图所示，把它折成正方体后，与“水”字相对的字是“青”。
故答案为：√
分析：正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。
16．画图见详解；5；4；2
分析：根据长方体的特征，长方体的上面和下面完全相同，左面和右面完全相同，前面和后面完全相同，据此画图即可；由上图可数出长方体的长为5格，即5厘米，宽为4格，即4厘米，高为2格，即2厘米。
详解：如下如：

长是5厘米，宽是4厘米，高是2厘米。
分析：本题考查长方体的特征以及长方体的展开图，学生需熟练掌握长方体的基本特征。
17．280厘米
分析：根据题意可知，灯罩的长36厘米、宽12厘米、高22厘米，根据长方体的棱长和公式：长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据解答，即可求出至少需要多少厘米的木条。
详解：（36＋22＋12）×4
＝70×4
＝280（厘米）
答：至少需要280厘米的木条。
分析：本题主要考查了长方体棱长和公式的灵活应用，要熟练掌握公式。
18．32平方厘米
分析：先将平面图折叠成立体图，判断出房屋模型中的屋顶面是哪个面，然后根据屋顶面形状，求出它的大小。在此模型中，屋顶面是由两个长方形面组成，所以运用长方形面积计算公式计算即可。
详解：由分析可知：屋顶是由两个长为8厘米，宽为2厘米的长方形组成的。
8×2×2
＝16×2
＝32（平方厘米）
答：至少要用去32平方厘米的纸板。
分析：本题主要考查对图形的展开与折叠灵活运用。
19．456平方厘米
分析：由题意可知，剪后的硬纸板的面积＝原长方形面积－4×小正方形面积，将数值代入长方形面积计算公式求值即可。
详解：26×20－4×4×4
＝520－64
＝456（cm2）
答：剪后的硬纸板的面积是456平方厘米。
分析：此题主要考查了学生动手操作的能力，在计算不规则图形的面积时，一般都会把它转化成几个规则图形的面积之和或差，再利用规则图形的面积公式进行解答。
20．见详解
分析：从两次的图形中可以得知：3是和1、2、4、6相邻，所以3的对面就是5；由第二次看到的图形可以得知2与1、3、5、6相邻，据此可推出2的对面是4，进而推出1的对面是6。据此解答。
详解：根据分析可得，以3为中心的展开图如下：
答：数字1的对面是数字6；数字2的对面是数字4；数字3的对面是数字5。
分析：本题的关键是明确数字6是靠着数字2的。
21．见详解
分析：根据长方体的展开图的特征，长方体展开图对面是相同的长方形，左面与右面是相对的两个面，上面与下面是相对的两个面，前面与后面是相对的两个面，据此可依次画出右面、后面、上面。
详解：作图如下：
分析：此题的解题关键是理解掌握长方体展开图的特征。
22．见详解
分析：根据长方体展开图的特征，可以画一个“1－4－1”结构，“1”表示上、下底面，4表示的四个长方形，4个长方形表示长方体的侧面展开图，因为无盖，要去掉一个“1”，侧面是前、后为长6厘米，宽2厘米的长方形，左、右面是长3厘米，宽是2厘米的长方形，底面是长6厘米，宽3厘米的长方形（画法不唯一）。
详解：（答案不唯一）
分析：本题考查长方体展开图的知识，结合长方体展开图的特征进行解答。

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