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第4讲：因数与倍数
姓名： 班级： 得分：
考点1：因数和倍数
考点归纳
1.因数和倍数的意义。
如果a×b=c(a、b、c均为正整数),那么c就是a和b的倍数,a和b就是c的因数。
2.找因数的方法。
找因数时，可以一对一对地找。
(1)用乘法找。把一个数写成两个自然数相乘的形式，只要找到所有的乘法算式，就可以找到这个数的全部因数。
(2) 用除法找。用这个数分别除以1,2,3,……能正好整除的，这个除数与对应的商就是这个数的因数。
3.找倍数的方法。
一个数和任意非0自然数的乘积都是这个数的倍数。找一个数的倍数时，可以先写出这个自然数本身,然后用这个自然数分别乘2, 3, 4,……求出对应的积即可。
※易错提示：①因数和倍数是相互依存的，不能说哪个数是因数，哪个数是倍数。
②一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。一个数最小的因数是1，最大的因数和最小的倍数是它本身。
例题精选
例1：36的因数有( )，共( )个。
解析：本题考查的是找一个数的因数的方法。要求一个数的因数有多少个，只要一一写出它的因数，再数数就可以知道了。36 的因数有1, 2, 3, 4, 6, 9，12，18, 36,共9个。
解答：1，2，3, 4, 6, 9，12, 18, 369
举一反三1
1.已知A=3×4×7,则A的全部因数有( )个。
2. 写出24的全部因数。李强写出了8个: 1, 24, 2, 3, 8, 4, 6。按照李强的思考方法,你知道他漏写了排在( ) 后面的( )。
3.48名同学站成长方形队伍，一共有多少种不同的站法 (一行站1名同学或48名同学的情况除外)
考点2：2、3、5的倍数特征
考点归纳
2的倍数的特征:个位上的数字是0, 2, 4, 6, 8。
3的倍数的特征:各个数位上的数字的和是3的倍数。
5的倍数的特征:个位、上的数字是0或5。
2和5的倍数的特征:个位上的数字是0。
※易错提示：同时是2、3、5的倍数的数，个位上的数字是0，并且各个数位上的数字之和是3的倍数。
例题精选
例2：7 3 这个四位数同时是2、3、5的倍数，所以它的个位只能填( ),百位可以填( )。
解析：此题考查的是2、3、5的倍数的特征。一个数同时是2和5的倍数，这个数个位上的数字一定是0，同时是3的倍数，要使各个数位上的数字和是3的倍数，千位、十位、个位的和是3+7+0=10,所以百位上填2，5，8都是3的倍数。解答：2,5,8
举一反三2
1.7 8 里有因数2和3，同时是5的倍数，个位上能填( )， 百位上最大能填( )。
2.从下面4张数字卡片中选出3张，按要求组成三位数。(每小题写出2个数即可)
(1)2的倍数: ；
(2)3的倍数: ；
(3)5的倍数: ；
(4)2和3的公倍数: ；
(5)2和5的公倍数: ；
考点3：奇数和偶数
考点归纳
1.奇数:在自然数中，不是2的倍数的数叫作奇数。
2.偶数:在自然数中，是2的倍数的数叫作偶数。
3.数的奇、偶性。
奇数±奇数=偶数 偶数+偶数=偶数 奇数+偶数=奇数
奇数×奇数=奇数 奇数×偶数=偶数 偶数×偶数=偶数
※易错提示：自然数不是奇数就是偶数,最小的奇数是1，没有最大的奇数;最小的偶数是0,没有最大的偶数。
例题精选
例3：三个连续偶数的和是120，这三个偶数分别是多少
解析：三个连续偶数的平均数是120÷3=40， 所以40是中间的偶数，其中最小的偶数比中间的偶数小2，最大的偶数比中间的偶数大2。
解答：120÷3=40；40-2=38；40+2=42
答:这三个连续偶数分别是38、40、42。
举一反三3
1.已知五个连续奇数之和是135,这五个连续奇数中最小的奇数是( )。
2.如果a是奇数，b是偶数，下面结果是奇数的式子是( )。
A. a+b B.2a+b C.2a+2b D.2(a+b)
3.桌子上放着29个杯口朝上的水杯，每次翻动4个水杯，经过若干次翻动，能使全部水杯的杯口朝下吗
考点4：质数和合数
考点归纳
1.质数和合数的意义。
(1)质数:一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数(或素数)。
(2)合数:一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。
2.质因数。
(1)质因数:每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫作这个合数的质因数。
(2)分解质因数:把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。
(3)分解质因数的方法一般有两种: (以60为例)
分解法： 短除法
60=2×2×3×5 60=2×2×3×5
※易错提示：0和1既不是质数也不是合数。最小的质数是2，2是偶数中唯一
的质数,最小的合数是4。
例题精选
例4：有一个长方体，前面与上面的面积之和是77cm2， 如果这个长方体的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少立方厘米
解析：长方体上、下每个面的面积=长×宽，前、后每个面的面积=长×高，前面和上面的面积之和=长×(宽+高)，即:长×(宽+高)= 77=7×11。因为长、宽、高都是质数，所以只能是77=(2+5)×11。由此可求出体积。
解答：77=7×11=(2+5)×11 2×5×11=110(cm3)
答:这个长方体的体积是110cm3
举一反三4
1. 20以内既是偶数又是质数的数是( )，既是奇数又是合数的数有( )。
2.用1和8两张数字卡片组成的两位数，一定是( )。
A.奇数 B.偶数 C.质数 D.合数
3.三个不同的质数、y、z,满足+y=z,则×y×z的最小值是( )。
A. 6 B.15 C.20 D.30
考点5：公因数和公倍数
考点归纳
1. 公因数和最大公因数:几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。其中最大的那个叫作这几个数的最大公因数。
2.公倍数和最小公倍数:几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。其中最小的那个叫作这几个数的最小公倍数。
3.互质数:只有公因数1的两个数叫作互质数。
4.求两个数的最大公因数的方法:一般采用枚举法、短除法和缩小倍数法。
5.求两个数的最小公倍数的方法:一般采用枚举法、 短除法和扩大倍数法。
※易错提示：如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公
因数，较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数互质，那么这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
例题精选
例5：已知P=2×3×n, Q=3×3×n, 如果P、Q的最大公因数是15,那么n=( ), P、Q的最小公倍数是( )。
解析：P=2×3×n
Q=3×3×n;
P和Q公有的因数是3和n，最大公因数是3×n=15，则n=15+3=5。
P和Q公有的质因数是3和5，独有的质因数有2, 3两个，因此最小公倍数是2×3×3×5=90。
解答：5 90
举一反三5
1.如果a=3b(a、b均为非0的自然数)，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
2.A=5×7×m, B=3×5×m, 如果A、B的最小公倍数是210，那么m=( )。
3.六(3)班有学生40多人，如果站成人数相等的6行后还多3人，如果站成人
数相等的7行则还差4人。六(3)班共有学生多少人
4.有两根铁丝，长分别是75cm和90cm,现把它们截成相等的小段，并且没有剩余。每段最长是多少厘米 一共可以截成多少段
第4讲：因数与倍数过关测试卷
时间：30分钟 分值：100分
班级： 姓名： 得分：
一、填空题(每空2分，共26分)
1.在1~20中：奇数有( ),
偶数有( )，质数有( )，合数有( )。
2.两个质数的和是31,这两个质数的积是( )。
3.同时是2、3、5的倍数的最小三位数是( )。
4.a与b都是非0自然数，且a是b的，a和b的最大公因数是( ),最小公倍数是( )。
5. a和b的最大公因数是1，则最小公倍数是( )。
6.在 里填上合适的数，使得17 45 同时是2、3、5的倍数，共有( )种填法 。
7.小明的QQ号码是由9位数字组成的: 5A13B47CD。其中A的最大因数是8，B是最小的质数，C是2和3的公倍数, D既是奇数也是合数，小明的QQ号码是( )
8.三个连续奇数的和是51,这三个数是( )。
9. 两个数的最大公因数是12，最小公倍数是180，其中一个数是60， 另一个数是( )。
二、判断题(每题2分，共12分)
1.因为117=3×39，所以3和39都是117的质因数。 ( )
2.一个数的因数总比这个数的倍数小。 ( )
3.22 和23没有公因数，所以22和23是互质数。 ( )
4.一个数如果是9的倍数，那么它一定也是3的倍数。 ( )
5.一个自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。 ( )
6.因为4.5÷3=1.5,所以4.5是3的倍数，3是4.5的因数。( )
三、选择题(每题3分，共27分)
1. 54是6和9的( )。
A.倍数 B.公因数 C.公倍数 D.最小公倍数
2.学具盒里有一些正方形纸板，小红用这些正方形纸板能摆出3种不同的长方
形。下面对于正方形纸板个数的描述，正确的是( )。
A.一定是3的倍数 B. 一定是奇数 C.一定是合数 D.一定是偶数
3. 40名同学站成一排，从左往右按1, 2, 3, 4,…的顺序依次报数,先让所报数是4的倍数的同学向右转，再让报数是3的倍数的同学向右转，则有( )名同学转了2次。
A. 1 B. 2 C.3 D.4
4.8 是一个两位数,关于这个两位数，说法正确的是( )。
A. 里填3、6或9时,有因数3 B. 里填9时，是质数
C. 里填0时，是2、3和5的公倍数 D. 里填0时，是奇数
5.边长是整厘米数，面积是165cm2的形状不同的长方形共有( )个。
A.165 B.11 C.13 D. 4
6.有4个水杯，杯口向下放着,规定每次只能把3个杯子同时调换方向，则最少经过( )次调换后, 杯口全部向上。
A.3 B.4 C.6 D. 8
7.六年级150名学生排成4行。如果前3行的人数都是奇数，那么第4行
的人数( )。
A.是奇数 B.是偶数 C.无法确定
8.在0, 3, 6, 5这4个数字中选择3个数字,组成-一个同时是2,3,5的倍数的最小三位数是( )。
A.305 B.350 C.360 D.630
9.著名的“ 哥德巴赫猜想”有一个命题是:每一个大于4的偶数都可以写成两个奇素数(即奇质数)之和。下列式子中反映这个猜想的是( )。
A.18=1+17 B.5=2+3 C.20=7+13 D.8=2+6
四、填表(8分)
最大公因数 最小公倍数
30和45
48和72
25和75
13和15
五、解决问题(27 分)
1.星期天，光明小学组织两个年级的学生去春游，每个年级都有3个班,每个班的人数都相同。张老师为同学们每人都买了1瓶5元的饮料。张老师让同学们计算一共花了多少钱。
军军:“我计算的结果是1089元。”梅梅: “ 我计算的结果是1208元。”
磊磊:“我计算的结果是960元。”
你认为谁的计算结果可能是正确的 为什么 (4 分)
2. 在庆祝“六一” 晚会上，学校买了48个苹果和36个橘子,平均分给小演员们，正好分完。这个晚会的小演员最多有多少人 平均每人分到多少个苹果 (4 分)
3.中山公园是1路公交车和3路公交车的起点站，1路公交车4分钟发一次，3路公交车6分钟发一次，当两路公交车同时发车后，至少要经过多少分钟又同时发车 (4分)
4.用长8cm、宽6 cm的长方形拼成一个正方形， 至少需要多少个这样的长方形 (5分)
5.张大叔决定在一个长60 m、宽25 m的长方形池塘四周等距离地栽树，每个顶点都要裁，至少要裁多少棵树 (5分)
6.甲每秒跑3m， 乙每秒跑4 m,丙每秒跑2 m。三人沿600 m的环形跑道从同一出发点同时同向开始跑步，那么最少经过多少分钟后,三人又同时从出发点出发 (5分)
参考答案
举一反三1
1. 12
2. 212
3. 8种
举一反三2
1.09
2. (答案不唯一)
(1)340 430
(2)345 543
(3)345 35
(4)450 540
(5)450 540
举一反三3
1. 23
2. A
3.不能使全部水杯的杯口朝下。因为每次翻动4个,是偶数个,无论翻动多少次,翻动的总个数是偶数,而29是奇数,所以无论经过多少次翻动,都不能使全部水杯的杯口朝下。
举一反三4
1.29和15
2. D
3. D
举一反三5
1.b a
2. 2
3. 6×7+3=45(人)
4. 75和90的最大公因数是15,所以每段最长是15cm。
75÷15=5(段)；90÷15=6( 段)；5+6=11(段)；一共可以截成11段。
过关训练
一、奇数：1,3,5,7,9,11,13,15,17，19
偶数：2,4,6,8,10,12,14,16,18 ,20
质数：2,3,5,7,11,13,17,19.
合数：4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20
2. 58
3. 120
4. a b
5. ab
6. 3
7. 581324769
8. 15、17、19
9. 36
二、1.× 2.× 3.× 4.√ 5.× 6.×
三、1.C 2.C 3.C 4.B 5.D 6.B 7.A 8.C 9. C
四、15 90 24 144 25 75 1 195
五、1.磊磊的计算结果可能是正确的。因为根据题意可知,求一花了多少钱,实际就是求2、3、5的倍数,再根据2、3、5的倍数的特征，这个数的个位的数字一定是0。
2. 12人 4个
3. 12分钟
4. 6和8的最小公倍数是24。
(24÷6)×(24÷8)= 12(个)
5. 60和25的最大公因数是5。
(60+25)×2÷5=34(棵)
6.600÷3=200(秒)；600÷4= 150(秒)；600÷2=300(秒)
200,150,300的最小公倍数是600, 600秒=10分钟,所以最少经过10 分钟后,三人又同时从出发点出发。

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