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第13讲：列方程、比和比例解决问题
姓名： 班级： 得分：
考点1：列方程解决问题
考点归纳
1.列方程解决问题的一般步骤。
①弄清题意，找出未知数并用字母表示;
②找出问题中数量间的相等关系，列方程;
③解方程，求出未知数的值;
④检验或验算，写出答案。
2.找数量间的相等关系。
①画图;②根据公式;③根据关键句;④根据常见的数量关系。
※易错提示：①列方程解决问题时，不要忘记写出“解”和“设”。
②解得的未知数的值后面不要写单位名称，因为表示数，是一个数值。
例题精选
例5： 聪聪用两种方法解决下面的问题:
六年级学生分组参加课外兴趣小组,每人只能参加一个小组。科技类每5人一组，艺术类每3人一组,共45名学生报名，正好分成11个组。参加科技类和艺术类的学生各有多少人 方法1 解:设 。 5+3(11-)=45 方法2 解:设 。 +=11
(1)你能看懂上面的做法吗 请将他是怎样设的内容补充完整。
(2)我选择用方法( )来解答。
解答过程:
解析：根据题意，可以列出数量关系:
①参加科技类的人数+参加艺术类的人数=45,
②科技类小组组数+艺术类小组组数=11。根据这两个数量关系式可以设科技类有组，也可以设参加科技类有人，再列方程解答。
解答：(1)科技类有组，则艺术类有(11-)组参加科技类有人，则参加艺术类有(45-)人
(2)(答案不唯一)
解:设科技类有组，则艺术类有(11-)组。
5+3(11-)=45 解得=6
科技类: 6×5=30(人)；艺术类: 45-30=15(人)
答:参加科技类的学生有30人，参加艺术类的学生有15人。
举一反三1
1.阳光小学三年级有学生360人，其中男生人数是女生人数的，女生有多少人 如果设女生有人，下列方程中正确的有( )。
①+=360 ②+=360 ③(+1)=360 ④+=360+
A.①② B.②④ C.①②③ D.①③
2.甲、乙两港口相距485 km,客船和货船分别从两港口同时相向而行，航行8
小时两船还相距165km,已知货船的速度是客船的，客船每小时航行多少千米 (用方程解答)
3.实验小学乒乓球活动小组的女生人数占总人数的,新学期又加入4名女生，这时女生人数占总人数的。现在乒乓球活动小组有学生多少人 (用方程解答)
考点2：按比例分配问题
考点归纳
1.含义:把一个数量按照一定的比进行分配的问题。
2.特点:用比或者连比反映各部分占总数量的份数,或者直接给出各部分占总数量的份数。
3.一般步骤:
①找出或求出要分的总数;
②根据已知的比求总份数;
③按照要分配的各部分占总数的几分之几，分别求出每一部分是多少。
※易错提示：①注意总数量与份数要对应。如已知长方形的周长以及长和宽的比，求这个长方形的长与宽，这里的总数量是长与宽的和。
②注意挖掘题中的隐含条件。
例题精选
例2：在一张比例尺为1:500的图纸上，量得一块长方形土地的周长是50cm。已知这块土地的长与宽的比是3:2,这块土地的实际面积是多少
解析：本题考查的是比例尺和按比分配。想求长方形土地的实际面积，必须要知道它的长与宽。已知比例尺和图上距离，可以根据“ 实际距离=图上距离÷比例尺”求出长方形的实际周长。再根据长方形的周长及长与宽的比，可以按比分配求出长和宽。需要注意的是这里被分配的量只有长方形周长的一半。
解答：(cm)；12500cm=125.m
长:(m) 宽: (m)
面积: 75×50=3750(m2)
答:这块土地的实际面积是3750m2。
举一反三2
1.填空题。
(1)一个三角形三个内角的度数比是5:3:2,这是一个( )三角形。
(2)中国农历中的“冬至”是一年中白昼最短、黑夜最长的一天，这- -天白昼与黑夜的时间比约是3:5,这一天白昼大约有( )小时。
2.学校图书室购买图书200本，其中40%分给六年级，剩下的图书按3:5分给四年级和五年级，四、五年级各分得多少本书
3.中国传统的黑火药使用硫磺、木炭和硝石按照2:3:15的比例配成，如果配制时使用的硫磺和木炭共35kg,则需要多少千克硝石
考点3：正比例和反比例问题
考点归纳
1.正比例关系式:=k(一定)
2.反比例关系式: y=k(一定)
3.解题步骤：
①分析数量关系，依据相关联的量之间的数量关系，判断它们成什么比例;
②根据条件列出等量关系式;
③设未知数，根据等量关系式列方程;
④解方程;
⑤检验并写出答案。
※易错提示：先根据题意正确判断题中相对应的数量成什么比例关系，再根据“比值一定”或“乘积一定”列出相应的比例式解答。
例题精选
例3：一根钢材长5m,把它锯成每段长50cm的小段需要27分钟，如果锯成每段长100cm的小段,需要多少分钟
解析：这是一道归一问题，用比例解答时,容易把比例关系搞错,题中每次锯的时间是不变的，也就是一共用的时间与锯的次数(不是段数)成正比例，不要误以为是锯的时间与段数成正比例。
解答：5m=500cm；500-50=10(段)；500÷100=5(段)
解:设需要分钟。
解得=12
答:需要12分钟。
举一反三3
1.王叔叔开车从A城市到B城市，原计划每小时行驶85 km,需要4小时到达。
王叔叔实际每小时行驶100 km,这样比原计划提前几小时到达B城市 设这样比原计划提前小时到达B城市，下列比例正确的是( )。
A. B. C.100=85×4 D.100×(4-)=85×4
2.一个房间，用面积是9dm2的方砖来铺地，正好需要320块。如果改用面积
是16dm2的方砖来铺，需要多少块 (用比例知识解答)
3.小亮家去年买了一套新房,其中小亮的卧室面积是12m2,铺地板用去840元。爸爸、妈妈的卧室面积是18m2，铺同样的地板,需要多少钱 (用比例知识解答)
第13讲：列方程、比和比例解决问题过关测试卷
时间：30分钟 分值：100分
班级： 姓名： 得分：
一、填空题(每题6分，共24分)
1.书柜里故事书与科技书的本数比是5:3,故事书和科技书共320本,科技书有( )本, 科技书的本数比故事书少( )%。
2. 如图，把一个长方形分成两个长方形，这两个长方形的宽的比是1:3,如果涂色三角形的面积是3cm2,那么原来长方形的面积是( )cm2。
3.在校园里，淘气量得自己的影子长是40cm，同一时刻，一棵梧桐树的影子长是1.8m。如果淘气的身高是160cm,那么这棵梧桐树的高度是( )m。
4.微信朋友圈中有一个“1元钱去哪了”的小故事:
小明向爸爸妈妈各借钱50元，买书用了97元，剩下的钱各还爸妈1元,还欠爸妈各49元，自己还剩下1元。他算了一下: 49元+49元=98元，98元+1元=99元。小明觉得很奇怪，还有1元钱去哪了
你觉得小明错在哪了 根据这个故事情境，请你写出两个正确的等量关系:
①向爸爸借的钱+向妈妈借的钱=( )
②欠爸爸49元+欠妈妈49元=( )
二、选择题(每题6分，共30分)
1.现在,戴口罩逐渐成了每个人的卫生习惯。在某次活动中，参加活动的50人中有一部分戴上了口罩，下面各比,不能表示戴口罩与没戴口罩人数的比的是( )。
A.1:1 B.3:1 C.7:3 D.13: 12
2.调制巧克力奶，巧克力与牛奶的质量比是2:9。笑笑用280g巧克力调制巧克力奶，她需要准备多少克牛奶 列式错误的是( )。
A. 280÷2×9 B.280× C.280×(9÷2) D.280×
3.用70m长的栅栏靠墙围成一块长方形果园(如图),长与宽的比是4:3,这块长方形果园的面积是( )m2。
A.1200 B.300 C.588 D.294
4.一支钢笔28元， ，一本练习本多少元 如果设一本练习本元,可以列出方程5+3=28,横线处可以补充的条件是( )。
A.比3本练习本的价钱贵5元 B.比3本练习本的价钱便宜5元
C.比5本练习本的价钱贵3元 D.比5本练习本的价钱便宜3元
5.我国古代数学名著《九章算术》中有一道“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来1206石米，检验发现米里掺杂着谷子，抽样取一把，数得252粒米里有谷子28粒，这批米里掺杂的谷子是( )。
A.134石 B.169石 C.268石 D.1665石
三、解决问题(46分)
1.某车间生产一批零件,原计划每天生产40个, 20天完成任务。实际每天多生产了10 个。照这样的效率，完成这批生产任务需要几天 (用比例知识解答)(7分)
2.小芳练习口算的情况如右图，照这样的速度，小芳6分钟能做多少道题 (用比例知识解答)(7分)
3.某厂在一年内要生产-批零件，上半年完成计划的，下半年完成计划的65%。全年实际比计划多生产7500个。全年计划完成多少个零件 (用方程解答)(8分)
4.我国古代数学中有这样一道趣题: 大和尚每人吃4个馒头，小和尚每4人吃1个馒头。有大、小和尚共100人，共吃了100个馒头。大、小和尚各有多少人 (用方程解答)(8分)
5.甲、乙两车分别从福州和莆田两地相向而行，两车的速度比是5:4。途中相遇后，两车继续前行，乙车再行驶6 km到达两地的中点，福州和莆田两地相距多少千米 (8分)
6.为保障流感期间的医疗物资供应，某地医疗物资生产企业紧急生产，某企业接到生产一批防护服的生产任务，第- -天生产的套数与总套数的比是1:5,第二天生产了880套防护服，两天完成的套数比未完成的套数少。这批防护服的生产任务一共是多少套 (8 分)
参考答案
举一反三1
1. D
2.解:设客船每小时航行km。
8(+)+165=485 解得=25
3.解:设现在乒乓球活动小组有学生人。
(-4)×+4= 解得=52
举一反三2
1. (1)直角 (2)9
2. 200×(1-40%)÷(3+5)=15(本)
四年级:15×3=45(本) 五年级:15×5=75(本)
3.黑火药:(kg)；硝石:140-35=105(kg)
举一反三3
1. D
2.解:设需要块。
16=320×9 解得=180
3.解:设铺同样的地板,需要元。
解得=1260
过关训练
一、1. 120 40
2. 8
3. 7.2
4.①买书的97元+找回的3元
②买书的97元+自己剩下的1元
二、1.B 2.B 3.C 4.C 5.A
三、1.解:设完成这批生产任务需要天。
(40+10)=40×20 解得=16
2.解:设小芳6分钟能做道题。
:6=25:2 解得=75
3.解:设全年计划完成个零件。
++65%-=7500 解得=30000
4.解:设小和尚有4人。
(100-4)×4+4÷4=100 解得=20
4=4×20=80；100-80=20(人)
大和尚有20人,小和尚有80人。
5. =108(km)
6.两天完成的套数比未完成的套数少,则已完成的套数占总套数的。
(套)

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