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第三单元 长方体和正方体
易错点一：不能准确把握长方体的特征,忽略了特殊情况。
判断:长方体的6个面一定都是长方形。( )
【错误答案】正确
【错解分析】长方体的6个面一般都是长方形，如图:。 但特殊情况下有两个相对的面是正方形，如图:。
正方体是特殊的长方体,它的6个面都是完全相同的正方形,如图:。
【正确答案】错误
【易错例题一】补画长方体（用虚线表示被遮住的线段；只要在已有图形基础上画出长方体，不必写画法）．
【详解】
根据长方体的特征12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等．长方体的长、宽、高决定长方体的形状和大小．由此作图即可．
【易错例题二】心灵手巧的小美要用一根长10m的绳子给礼盒做装饰（方法如图），结头处绳长30cm，这根绳子最多可捆扎几个这样的礼盒？
【分析】
先求出一个礼盒需要的长度＝长方体的两条长＋两条宽＋四条高＋结头处长度，再用总长度除以一个礼盒需要的长度即可计算出结果。
【详解】
10米＝1000厘米
15×2＋2×10＋4×6＋30
＝30＋20＋24＋30
＝104（厘米）
1000÷104＝9（个）……64（厘米）
答：这根绳子最多可捆扎9个这样的礼盒。
【分析】
主要利用长方体棱长解决实际问题，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4。
易错点二：没有掌握正方体的四类展开图。
判断:下图能围成一个正方体。( )
【错误答案】正确
【错解分析】虽然正方体由6个完全一样的正方形围成,但是通过实际折叠发现,图中的6个正方形是不能围成正方体的。
正方体展开图分为四类,共11种。(如下图所示)
【正确答案】错误
【易错例题一】下边3个展开图中，是左边盒子展开图的是（ ）。
A． B． C．
【分析】
根据题图中○和的位置以及箭头的方向判断即可。
【详解】
A．符合原图；
B．○和的位置是相邻的，不是相对的，不符合原图；
C．原图中箭头的方向没有指向圆形，不符合原图；
故答案为：A。
【分析】
解答本题的关键是仔细观察正方体中所画图像的位置及图像的特点，由此进行解答。
【易错例题二】小青在方格纸上设计了一个火柴盒的外盒（如图），但他不会设计火柴盒的内盒，请你帮帮他．（纸的厚度及连接部分忽略不计）
（1）参照外盒的图纸，在方格纸上画出内盒的图纸．
（2）制作这样一个完整的火柴盒，一共至少要用多少平方厘米的硬纸皮？（每小格的边长表示1厘米）
【分析】（1）根据题意可知，火柴盒的内盒是由5个面组成的，1个底面和4个侧面；火柴盒的长是6厘米，宽是4厘米，高是1厘米；
（2）外盒是由4个面组成，上下面和左右面；再加上内盒5个面的面积即可．由此解答．
【详解】解：（1）作图如下：
（2）（6×4+6×1）×2+6×4+（6×1+4×1）×2
=（24+6）×2+24+（6+4）×2
=30×2+24+10×2
=60+24+20
=104（平方厘米）；
答：一共至少要用104平方厘米的硬纸皮．
【分析】此题主要考查长方体的特征和表面积的计算解答关键是搞清火柴盒的外盒是由4个面组成，内盒是由5个面组成；根据长方体的表面积公式解答即可．
易错三：审题不仔细，对长方体的表面积概念理解不透彻。
一个长方体的无盖水箱，长4分米，宽3分米，高5分米，制作这个水箱至少需要多少铁皮
【错误答案】
(4×3+4×5+3×5)×2=47×2=94 (平方分米)
答:制作这个水箱至少需要94平方分米铁皮。
【错解分析】水箱是没有盖的，也就是少一个上面，计算表面积时应少算一个上底面。
【正确答案】
4×3+(4×5+3×5)×2=12+35×2=82 (平方分米)
答:制作这个水箱至少需要82平方分米铁皮。
【易错例题一】一个长方体的底面是一个面积为2平方分米的正方形，它的侧面展开图正好是一个正方形，这个长方体的侧面积是（ ）平方分米。
【分析】
结合图示可知：底面积为a2的正方形，它的边长为a；则长方体侧面展开图的边长就是a＋a＋a＋a＝4a，那么长方体的侧面积就是4a×4a＝16a2；在本题中，底面积为2平方分米，则长方体的侧面积就是16×2＝32（平方分米）。
【详解】
结合长方体的侧面是一个正方形的特征，以及题目里具体的数据可得：
16×2＝32（平方分米）
【分析】
本题巧妙的采用了转化的方式，将长方体的侧面积转化为一个正方形的面积来求；再根据底面是一个正方形这一特点，省略了边长×边长这一步骤，取而代之的是利用侧面积与底面积之间的特殊关系来计算。
【易错例题二】学校要粉刷一间教室的屋顶和四壁。已知教室的长是8米，宽5米，高是3米，门窗和黑板的面积一共是。如果每平方米需要花4元的涂料费，粉刷这间教室一共需要花费多少元？
【分析】
需要粉刷的面积用教室前、后、左、右、上面，4个面的面积减去门窗面积，再用需要粉刷的面积×每平方米涂料费即可。
【详解】
8×5＋8×3×2＋5×3×2－17.5
＝40＋48＋30－17.5
＝100.5（平方米）
100.5×4＝402（元）
答：粉刷这个教室共需要花费402元。
【分析】
关键是灵活计算长方体表面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。
易错点四：误以为表面积和体积之间可以比较大小。
判断:一个物体的表面积比体积大。( )
【错误答案】正确
【错解分析】因为体积是指物体所占空间的大小,表面积是物体表面的面积之和，它们是两种不同的概念,所以一个物体的表面积和体积是无法进行大小比较的。
一个物体的体积和表面积有着本质的区别,不能进行大小比较。
【正确答案】错误
【易错例题一】做一个鱼缸，需要多少玻璃，是求它的（ ）；这个鱼缸占多大空间是求它的（ ）；鱼缸最多能装多少水是求它的（ ）。
①体积 ②容积 ③表面积
A．③①② B．②①③ C．③②①
【分析】
物体表面的面积就是它的表面积；物体所占空间的大小就是物体的体积；容器所能容纳物体的体积就是容器的容积。
【详解】
做一个鱼缸，需要多少玻璃，是求它的表面积；这个鱼缸占多大空间是求它的体积；鱼缸最多能装多少水是求它的容积。
【分析】
理解体积、容积、表面积的意义。
【易错例题二】填上合适的单位
（1）棱长1分米的正方体的体积是1（ ）
（2）一块橡皮的体积是10（ ）
（3）一间客厅的地面面积是30（ ）
（4）一个药水瓶的体积是100（ ）
【分析】
2个矿泉水瓶的容积大约是1升，电脑桌的体积大约是1立方米，手指尖的体积大约是1立方厘米，粉笔盒的体积大约是1立方分米；
在生活实际中，较小物体的面积一般用平方分米或平方厘米作单位，较大的物体用平方米作单位，更大一点的，如在测量土地时，要用公顷或平方千米作单位，以此为标准进行判断即可。
【详解】
（1）棱长1分米的正方体的体积是1立方分米；
（2）一块橡皮的体积是10 立方厘米；
（3）一间客厅的面积是30平方米；
（4）一个药水瓶的体积是100立方厘米
【分析】
解答本题的时一定要选取一定的标准做对照。
易错点五：计算时,不要盲目代入数据，要注意查看单位是否统一。 要充分理解a3 所表示的意义。
一个正方体的木箱，棱长是0.5 m。这个木箱的体积是多少立方分米
【错误答案】0.53=0.125(dm3 )
【错解分析】已知条件中棱长的单位是“m”,而所求问题的单位是“dm”,前后单位不统一,要先把0.5 m换算成5 dm,再计算。在计算a3时,不要把a看作3×a,应是a×a×a,还要注意题中单位是否统一。
【正确答案】0.5 m=5dm 53=125(dm2 )
【易错例题一】一块长方形木板，长是1.5米，宽是2分米，厚是6厘米。这块木板的体积是多少立方分米？合多少立方米？
【分析】
根据长方体的体积公式：长×宽×高，即可代数解答。
【详解】
1.5米＝15分米
6厘米＝0.6分米
15×2×0.6
＝30×0.6
＝18（立方分米）
18立方分米＝0.018立方米
答：这块木板的体积是18立方分米，合0.018立方米。
【分析】
此题主要考查长方体体积公式的实际应用，牢记长方体体积公式是解题关键。
【易错例题二】一个无盖的鱼缸，长1.2m，宽80cm，高6dm，这个鱼缸可以放多少立方分米的水？
1.2m=12dm
80cm=8dm
V=abh
=12×8×6
=576（dm3）
答：这个鱼缸可以放576dm3的水。
易错点六：不是任意两个体积单位间的进率都是1000, 要抓住“相邻”两字。
判断:两个体积单位间的进率是1000。 ( )
【错误答案】正确
【错解分析】两个体积单位之间的进率不都是1000,如1m3 = 1000000 cm3。
要熟记相邻的两个体积单位之间的进率是1000。
【正确答案】错误
【易错例题一】0.4立方米=（ ）立方分米=（ ）立方厘米； 2立方分米50立方厘米=（ ）立方分米．
【分析】
（1）高级单位立方米化低级单位立方分米乘进率1000；高级单位立方分米化低级单位立方厘米乘进率1000．
（2）把50立方厘米除以进率1000化成0.05立方米再与2立方分米相加．
【详解】
（1）0.4立方米=400立方分米=400000立方厘米；
（2）2立方分米50立方厘米=2.05立方分米．
故答案为：400，400000，2.05．
易错点七：混淆体积和容积的概念,对于同一个物体来说，两者的大小是不同的。
判断:物体的体积就是它的容积。( )
【错误答案】正确
【错解分析】容积指的是物体内部空间的大小,也就是容器所能容纳物体的体积;体积指的是物体自身所占空间的大小。
计算容积时,数据要从物体里面测量;计算体积时,数据要从物体外面测量。
【正确答案】错误
【易错例题一】一个木箱的体积就是它的容积。（ ）
【分析】
求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高进行计算，而求物体的容积则必须从里面测量它的长、宽、高，然后计算。一般地说，它的容积要比体积小。
【详解】
木箱的体积不等于它的容积。
故答案为：×
【分析】
本题中的容积是木箱里面的测量计算，体积是物体外面测量计算出来的。
【易错例题二】要挖一个长9米，宽5米，深3米的蓄水池。
（1）这个蓄水池的占地面积是多少平方米？
（2）如果要给这个蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？
（3）这个水池能蓄水多少升？
【分析】
（1）求蓄水池的占地面积面积就是求底面积，用长乘宽即可；
（2）根据题意可知，就是给前后面、左右面和底面抹上水泥，求出它们的面积再相加即可；
（3）长方体的容积＝长×宽×高，据此解答即可。
【详解】
（1）5×9＝45（平方米）；
答：这个蓄水池的占地面积是45平方米；
（2）5×9＋2×（9×3＋5×3）
＝45＋84
＝129（平方米）；
答：抹水泥部分的面积是129平方米；
（3）5×9×3
＝45×3
＝135（立方米）；
135立方米＝135000升；
答：这个水池能蓄水135000升。
【分析】
熟记长方体表面积和容积的计算公式是解答本题的关键。
一、选择题
1．（2023下·浙江杭州·五年级统考期中）把一个棱长为1米的正方体木块切成棱长为1厘米的正方体小木块，再把这些切成的小木块拼成一排放在地面上，共占地（ ）平方米。
A．1 B．10 C．100 D．1000
2．（2023下·山西阳泉·五年级统考期中）下列说法正确的是（ ）。
A．体积单位比容积单位大 B．15的最大因数与最小倍数相同
C．自然数中，除了质数就是合数 D．棱长是6cm的正方体的体积和表面积相等
3．（2024下·浙江杭州·六年级开学考试）将下图立方体盒子展开，以下各示意图中有可能是它的展开图的是（ ）。
A． B． C． D．
4．（2023下·新疆乌鲁木齐·五年级统考期末）每盒纯牛奶的净含量是250mL，12盒纯牛奶合（ ）升。
A．3 B．4 C．6 D．3000
5．（2020上·湖南岳阳·五年级统考期中）一个长方体的棱长之和是180cm，相交于同一顶点的三条棱长度和是（ ）cm。
A．45 B．30 C．90 D．60
6．（2021上·湖南株洲·五年级校考期末）一个长方体长x厘米、宽y厘米、高z厘米，如果它的高增加3厘米，那么体积比原来增加（ ）立方厘米。
A．3xy B．3xz C．3yz D．3xyz
7．（2023下·湖北黄石·五年级统考期末）如图，将一个长方体木块的中间挖掉一小个小长方体木块，下面的说法正确的是（ ）。
A．体积减少，表面积不变 B．体积减少，表面积也减少
C．体积减少，表面积增加 D．体积和表面积都不是变
8．（2022下·广东东莞·五年级统考期末）一个长方体被挖掉一小块（如图），下面说法正确的是（ ）。

A．表面积不变，体积变小 B．表面积变大，体积不变
C．表面积变大，体积变小 D．表面积不变，体积变大
二、填空题
9．（2023下·山西阳泉·五年级统考期中）
2300cm3＝( )L 460dm2＝( )m2
1.02L＝( )L( )mL 785mL＝( )cm3＝( )dm3
10．（2023下·广东云浮·五年级统考期中）一个长方体的玻璃缸，长7分米、宽4分米、高5分米，水深3分米。如果投入棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水( )溢出。（填“会”或“不会”）
11．（2023上·河南洛阳·六年级统考期末）一个棱长6厘米的正方体，它的棱长和是( )厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
12．（2023上·四川绵阳·五年级统考期末）一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽均为20厘米，向容器中倒入6升水，再把一个苹果放入水中，当苹果完全淹没在水中时，量得容器内的水深是17厘米。这个苹果的体积是( )立方厘米。
13．（2023下·湖北省直辖县级单位·六年级期末）如图，小明把送给妈妈的生日礼物放在一个长5dm、宽4dm、高3dm的长方体盒子里，包装这个盒子至少需要( )dm2的包装纸；如果在它的外面打上“十字形”的彩带，那么至少需要( )dm长的彩带（接头处长2.5dm）。
14．（2023上·河南洛阳·六年级统考期末）把一个长10厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体切成两个大小相等的长方体，表面积最多增加( )平方厘米，最少增加( )平方厘米。
15．（2023上·山东济南·五年级统考期中）在括号里填上适当的数或单位名称。
(1)一个集装箱的容积约是40( )
(2)一桶花生油约5( )
(3)8升30毫升＝( )毫升
(4)980立方分米＝( )立方米
16．（2023下·湖北黄冈·五年级统考期末）一个长方体的棱长之和是84cm，已知长方体的长是8cm，宽是6cm，这个长方体的表面积是( )，体积是( )。
三、判断题
17．（2023上·河南周口·六年级校联考期中）一个铁桶可装水25升，这个铁桶的体积一定是25立方分米。( )
18．（2023上·河南洛阳·六年级统考期中）表面积相等的两个长方体，它们的长、宽、高一定分别相等。( )
19．（2019上·湖南娄底·五年级统考期中）把3块棱长为2cm的正方体木块拼成一个长方体。这个长方体的表面积是56cm2，体积是24cm3。( )
20．（2022上·河南洛阳·四年级统考期中）一瓶可乐的容量是2升，雪雪和爸爸、妈妈、哥哥每人喝450毫升就把这瓶可乐喝完了。( )
四、计算题
21．（2023上·河南周口·六年级校联考期中）求如图形的表面积和体积。（单位：cm）
22．计算下面图形的表面积。
五、作图题
23．（2023上·山东济南·五年级统考期中）下面是一个长方体的前面、左面和下面的展开图，在点子图上画出展开图的另外三个面，并标出每个面是长方体的什么面。
六、解答题
24．（2021下·河南洛阳·五年级统考期末）迎接建党100周年，学校要新建一间党员活动室，这间活动室从室内量长是10米，宽是8米，高是3米。它的容积是多少？
25．学校要准备一件疫情隔离室，这间隔离室的长是6米，宽是5米，高是3米，门窗的面积是12.2平方米。如果每平方米需要花4元的涂料费，粉刷这个隔离室需要花费多少元？
26．一个长方体的饮料盒，长7厘米、宽6厘米、高1.2分米。如果围着它的侧面贴满一圈商标纸，至少需要多少平方厘米的商标纸？
27．有一个棱长为8分米的立方体物体，现要挖去一个长为8分米，宽为1分米，高为1分米的长方体，则剩下部分的表面积是多少？（写出符合要求的全部答案）
28．（2023上·山东日照·五年级校考期末）如图。
（1）用彩带捆扎这样的一个礼盒，至少需要多长的彩带？（接头处12厘米）
（2）如果把两个这样的礼盒装在一起用彩纸包装，最少需要用多少包装纸？
（3）把这样的礼盒放在一个大包装箱里，每行摆4盒，摆了3行，共2层，正好摆满，这个大包装箱的容积是多少立方米？
29．（2023下·河南郑州·五年级期末）李叔叔用纸板做一个无盖的长方体纸盒。已经做好了两个相邻的面（如下图所示）。如果照这个规格接着做，可以制作一些不同的无盖纸盒，在这些不同的无盖纸盒中，需要纸板面积最大的是多少平方分米？
30．（2023下·新疆乌鲁木齐·五年级统考期末）小明的卧室长5米、宽4米、高3米，门窗面积是5平方米，如果粉刷这个房间的顶棚和四壁，每平方米需0.5千克涂料，一共需要多少千克涂料？
31．（2023下·浙江绍兴·五年级期末）如下图，一个长、宽、高分别为30厘米、16厘米、21厘米的长方体容器中水位高度是10厘米，如果将另一个长方体（长、宽、高分别为16厘米、10厘米、36厘米的铁块竖直）放入左边的容器中（贴底面齐平），那么这个容器中的水会溢出吗？如果不溢出，那么容器中水位将上升至多少高度？如果溢出，那会溢出多少立方厘米的水量？
32．（2023下·河南郑州·五年级期末）“数形结合”是数学学习的一种方法，聪聪在测量容器的容积时，利用了一些棱长为1分米的小正方体来测量。
（1）如图是聪聪测量长方体容器容积的方法，根据如图可以得到长方体容器的长为（ ）分米，宽为（ ）分米，高为（ ）分米，容积为（ ）立方分米，因此我们可以得到：求这个容器的容积是多少，就是看它里面包含了多少个（ ）单位。
（2）请根据聪聪摆出的几何体，画出从左面和上面看到的图形。
参考答案
1．C
【分析】一个棱长为1米的正方体体积是1立方米，棱长为1厘米的正方体的体积为1立方厘米，1立方米＝1000000立方厘米，故可以切1000000个这样的正方体小木块，边长1厘米的正方形面积是1平方厘米，1000000个这样的小正方体占地1000000平方厘米，1平方米＝10000平方厘米，将1000000平方厘米换算成平方米即可解答。
【详解】由分析可知，每个小正方体占地面积为1平方厘米，1000000个棱长为1厘米的小正方体占地面积为1000000平方厘米，1平方米＝10000平方厘米，1000000÷10000＝100，所以1000000平方厘米＝100平方米，即把这些切成的小木块拼成一排放在地面上，共占地100平方米；
故答案为：C
2．B
【分析】A．物体的体积是指物体所占空间的大小：物体的容积是指物体所能容纳物质的多少；它们的意义不同，所以无法比较，据此判断即可；
B．一个数（0除外）的最大因数和最小倍数都是这个数的本身，据此判断即可；
C．一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；一个自然数如果除了1和它本身还有其它的因数，那么这个自然数叫做合数；1既不是质数也不是合数，据此判断即可；
D．表面积是指物体表面的大小；体积是指物体所占空间的大小；两者的意义不同，无法作比较。
【详解】A．体积单位和容积单位的意义不同，所以无法比较，原说法错误；
B．15的最大因数与最小倍数都是15，则原说法正确；
C．1既不是质数也不是合数，所以原说法错误；
D．正方体的体积和表面积所表示的意义不同，所以无法比较，原说法错误。
故答案为：B
3．C
【分析】观察立方体盒子，“”与“”相邻，“”与两个“”都相邻，且含有标记的三个面相交于一个顶点，据此分析各选项正方体2－3－1型展开图，即可得出结论。
【详解】A．折成立方体，含有标记的三个面不相交于一个顶点，“”与“”相对，排除；
B．折成立方体，含有标记的三个面不相交于一个顶点，“”与其中一个“”相对，排除；
C．折成立方体，含有标记的三个面相交于一个顶点，与原立方体符合；
D．折成立方体，含有标记的三个面不相交于一个顶点，“”与其中一个“”相对，排除。
故答案为：C
4．A
【分析】用每盒纯牛奶的净含量乘12盒，即可计算出12盒纯牛奶的净含量，再换算单位即可。
【详解】250×12＝3000（毫升）
3000毫升＝3升
故答案为：A
5．A
【分析】相交于同一顶点的三条棱就是长方体的长、宽、高，再根据长方体的总棱长公式：L＝（a＋b＋h）×4，即用180除以4即可求出相交于同一顶点的三条棱长度和。
【详解】180÷4＝45（cm）
相交于同一顶点的三条棱长度和是45cm。
故答案为：A
【分析】本题考查长方体的总棱长，熟记公式是解题的关键。
6．A
【分析】由题意可知，一个长方体长x厘米、宽y厘米、高z厘米，如果它的高增加3厘米，此时的高为（z＋3）厘米，再根据长方体的体积公式：V＝abh，据此分别求出变化前后长方体的体积，再求出它们的差即可。
【详解】x×y×（z＋3）－x×y×z
＝xyz＋3xy－xyz
＝3xy
则体积比原来增加3xy立方厘米。
故答案为：A
【分析】本题考查长方体的体积，熟记公式是解题的关键。
7．C
【分析】剩下图形的体积＝大长方体体积－小长方体体积；剩下图形的表面积＝完整的大长方体表面积＋小长方体前后左右4个面的面积和，据此分析。
【详解】如图，将一个长方体木块的中间挖掉一小个小长方体木块，体积减少，表面积增加。
故答案为：C
【分析】关键是理解表面积和体积的含义，掌握组合体表面积和体积的求法。
8．C
【分析】从图中可知，在没挖之前，此处外露2个面；挖掉一小块后，此处外露4个面，此时表面积比原来多了2个面，表面积变大。
从图中可知，长方体挖掉一小块后，体积就减少这一小块的体积，体积变小。
【详解】一个长方体被挖掉一小块，表面积比原来多了2个面，体积比原来减少了挖掉的这一小块的体积，所以表面积变大，体积变小。
故答案为：C
【分析】关键是求有缺口的立体图形的表面积时，要注意缺口的位置，原来这个位置有几个面，挖掉后露出了几个面，与原来的面相比较，是否一样，还是多或少了，进而得出表面积变化。
9． 2.3 4.6 1 20 785 0.785
【分析】高级单位化低级单位，乘单位之间的进率；低级单位化高级单位，除以单位之间的进率。1 L＝1000mL＝1000cm3，1m2＝100dm2，1 dm3＝1000cm3。
【详解】2300÷1000＝2.3，则2300cm3＝2.3L；
460÷100＝4.6，则460dm2＝4.6m2；
1.02L ＝1L＋0.02L，0.02×1000＝20，则1.02L＝1L20mL；
785÷1000＝0.785，则785mL＝785cm3＝0.785dm3。
10．会
【分析】根据题意，用水的体积加上铁块的体积，如果结果大于玻璃缸的容积，则缸里的水会溢出；如果结果小于玻璃缸的容积，则水不会溢出。长方体的体积＝长×宽×高，据此求出玻璃缸的容积、缸里水的体积；正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出正方体铁块的体积。
【详解】7×4×5＝140（立方分米）
7×4×3＝84（立方分米）
4×4×4＝64（立方分米）
84＋64＝148（立方分米）
148立方分米＞140立方分米
则缸里的水会溢出。
11． 72 216 216
【分析】由于正方体有12条棱长，棱长都相等，根据正方体棱长总和公式：棱长×12；正方体的表面积公式：棱长×棱长×6；体积公式：棱长×棱长×棱长；把数代入公式即可求解。
【详解】6×12＝72（厘米）
6×6×6
＝36×6
＝216（平方厘米）
6×6×6
＝36×6
＝216（立方厘米）
一个棱长6厘米的正方体，它的棱长和是72厘米，表面积是216平方厘米，体积是216立方厘米。
12．800
【分析】长方体容器中水的形状可以看作是长方体，长方体的体积＝长×宽×高，据此把容器的长、宽和水深相乘，即可求出水和这个苹果的体积之和，再减去水的体积，即可求出这个苹果的体积。
【详解】20×20×17＝6800（立方厘米）
6升＝6000立方厘米
6800－6000＝800（立方厘米）
则这个苹果的体积是800立方厘米。
13． 94 32.5
【分析】由题意可知，包装纸的面积就是盒子的表面积，根据盒子的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；彩带的长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋接头处的长度。据此代入数据作答即可。
【详解】（5×4＋5×3＋4×3）×2
＝（20＋15＋12）×2
＝47×2
＝94（dm2）
5×2＋4×2＋3×4＋2.5
＝10＋8＋12＋2.5
＝18＋12＋2.5
＝30＋2.5
＝32.5（dm）
则包装这个盒子至少需要94dm2的包装纸；如果在它的外面打上“十字形”的彩带，那么至少需要32.5dm长的彩带。
14． 160 80
【分析】平行于最大的面切下，切出的截面最大，平行于最小的面切下，切出的截面最小；
【详解】10×8×2
＝80×2
＝160（平方厘米）
8×5×2
＝40×2
＝80（平方厘米）
表面积最多增加（160）平方厘米，最少增加（80）平方厘米。
【分析】本题考查的是长方形面积公式的应用
15．(1)立方米/m3
(2)升/L
(3)8030
(4)0.98
【分析】根据生活实际情况，对容积单位、体积单位的认识及数据的大小可知，计量一个集装箱的容积应用“立方米”作单位；计量一桶花生油的体积应用“升”作单位；高级单位换低级单位乘进率，根据1升＝1000毫升，用8×1000再加上30即可；低级单位换高级单位除以进率，根据1立方米＝1000立方分米，用980÷1000即可。
【详解】（1）一个集装箱的容积约是40立方米
（2）一桶花生油约5升
（3）8升30毫升＝8×1000毫升＋30毫升＝8000毫升＋30毫升＝8030毫升
（4）980立方分米＝980÷1000立方米＝0.98立方米
16． 292 336
【分析】根据题意，结合长方体的特征，先求出长方体的高，用长方体的棱长之和除以4，求出长、宽、高之和，再减去已知的长和宽的长度；再结合长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2以及长方体的体积公式：长×宽×高，代入数据即可求出答案。
【详解】长方体的高：84÷4－（8＋6）
＝21－（8＋6）
＝21－14
＝7（cm）
长方体的表面积：（8×6＋8×7＋6×7）×2
＝（48＋56＋42）×2
＝146×2
＝292（）
长方体的体积：8×6×7
＝48×7
＝336（）
所以这个长方体的表面积是292，体积是336。
17．×
【分析】一个铁桶可装水25升，指的是铁桶的容积，测量物体的容积要从它的里面测量，铁桶的体积指的是它所占空间的大小，是从外部测量的，所以这个桶的体积是大于25升，即大于25立方分米。
【详解】由分析可知：一个铁桶可装水25升，这个铁桶的体积一定是25立方分米的说法错误。
故答案为：×
18．×
【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的表面积大小是由长、宽、高的数值根据公式求值决定的。假设其中一个长方体的长5厘米、宽1厘米、高1厘米，另一个长方体的长3厘米，宽2厘米，高1厘米，根据长方体的表面积公式，代入数据解答，再比较即可。
【详解】长5厘米、宽1厘米、高1厘米的长方体的表面积是：
（5×1＋5×1＋1×1）×2
＝（5＋5＋1）×2
＝11×2
＝22（平方厘米）
长3厘米，宽2厘米，高1厘米的长方体的表面积是：
（3×2＋3×1＋2×1）×2
＝（6＋3＋2）×2
＝11×2
＝22（平方厘米）
所以两个长方体的表面积相等，它们的长、宽、高也不一定相等。原题干说法错误。
故答案为：×
19．√
【分析】把3块棱长为2cm的正方体木块拼成一个长方体，则该长方体的长为2×3＝6cm，宽和高都为2cm，然后根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，长方体的体积公式：V＝abh，据此进行计算并判断即可。
【详解】2×3＝6（cm）
长方体的表面积：（6×2＋6×2＋2×2）×2
＝（12＋12＋4）×2
＝28×2
＝56（cm2）
长方体体积：
6×2×2
＝12×2
＝24（cm3）
则这个长方体的表面积是56cm2，体积是24cm3。题干说法正确。
故答案为：√
20．×
【分析】雪雪和爸爸、妈妈、哥哥每人喝450毫升，喝了4个450毫升，用乘法可求出喝的毫升数，把2升乘进率1000化成2000毫升，再作比较，即可确定是否喝完了，据此解答。
【详解】450×4＝1800（毫升）
2升＝2000毫升
1800毫升＜2000毫升
所以：一瓶可乐的容量是2升，雪雪和爸爸、妈妈、哥哥每人喝450毫升没把这瓶可乐喝完；原题说法错误。
故答案为：×
【分析】本题解答的关键应明确升与毫升之间的进率是1000。
21．592cm2；870cm3
【分析】根据体积、表面积的意义，从长方体的顶点上挖掉一个小长方体，因为这个小长方体原来外露3个面，挖掉这个小长方体后又外露与原来相同的3个面，所以剩下图形的表面积不变，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此进行计算即可；该图形的体积等于大长方体的体积减去挖去的小长方体的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，据此进行计算即可。
【详解】表面积：（12×10＋12×8＋10×8）×2
＝（120＋96＋80）×2
＝296×2
＝592（cm2）
体积：12×10×8－6×5×3
＝960－90
＝870（cm3）
22．232dm2；54cm2
【分析】根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答即可。
【详解】（10×2＋10×8＋2×8）×2
＝（20＋80＋16）×2
＝（100＋16）×2
＝116×2
＝232（dm2）
它的表面积是232dm2。
3×3×6
＝9×6
＝54（cm2）
它的的表面积是54cm2。
23．见详解
【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的完全相同。由此补全长方体的展开图即可。
【详解】如图所示：
24．240立方米
【分析】活动室可以看作一个长方体容器，根据长方体体积计算公式，求出活动室的容积。
【详解】
（立方米）
答：它的容积是240立方米。
【分析】本题考查长方体的容积，解答本题的关键是掌握长方体的容积j计算公式。
25．335.2元
【分析】根据题意分析可知，先求出教室的表面积，用表面积减去地面的面积和门窗的面积得到需要粉刷的面积，再用需要粉刷的面积乘以每平方米花的涂料费即可得到粉刷完需要的花费。
【详解】（6×5＋6×3＋5×3）×2－6×5－12.2
＝（30＋18＋15）×2－6×5－12.2
＝63×2－6×5－12.2
＝126－30－12.2
＝96－12.2
＝83.8（平方米）
83.8×4＝335.2（元）
答：粉刷这个隔离室需要花费335.2元。
26．312平方厘米
【分析】求商标纸的面积就是求长方体的侧面积，根据长方体的侧面积＝底面周长×高，据此进行计算即可。
【详解】1.2分米＝12厘米
（7＋6）×2×12
＝13×2×12
＝26×12
＝312（平方厘米）
答：至少需要312平方厘米的商标纸。
27．382平方分米、398平方分米或414平方分米
【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；分三种情况进行计算：从正方体三条棱相交的位置、从正方体上下两个表面之间的位置、从侧面的中间位置挖去一个长方体，分别用割补法求剩下部分的表面积，据此解答。
【详解】分两种情况进行计算：
（1）如图：
由图可知，从该位置挖去一个长方体，表面积减少了，是原来的正方体表面积再减去小长方体（1×1）的2个面。
8×8×6－1×1×2
＝64×6－2
＝384－2
＝382（平方分米）
（2）如图：
由图可知，从该位置挖去一个长方体，是减少了长方体（1×1）的2个面，但是又增加了长方体（1×8）的2个面。
8×8×6－1×1×2＋1×8×2
＝64×6－2＋16
＝384－2＋16
＝382＋16
＝398（平方分米）
（3）如图：
由图可知，从该位置挖去一个长方体，是增加了长方体（1×8）的4个面，但是减少了长方体（1×1）的2个面。
8×8×6＋1×8×4－1×1×2
＝64×6＋32－2
＝384＋32－2
＝416－2
＝414（平方分米）
答：剩下部分的表面积是382平方分米、398平方分米或414平方分米。
28．（1）122厘米；
（2）2000平方厘米；
（3）0.072立方米
【分析】（1）观察图片可知，彩带的长度包括长方体的两条长、两条宽、四条高和接头处的长度，据此解答。
（2）礼盒的上、下面是6个面中面积最大的面，则把两个这样的礼盒上、下摞在一起最省包装纸。组成的长方体的长是20厘米，宽是15厘米，高是10×2＝20（厘米），根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可求出最少需要用多少包装纸。
（3）每行摆4盒，摆了3行，共2层，则这个大包装箱的长、宽、高分别是20×4＝80（厘米）、15×3＝45（厘米）、10×2＝20（厘米），根据长方体的容积＝长×宽×高，代入数据即可解答。最后化成以立方米为单位的数。
【详解】（1）20×2＋15×2＋10×4＋12
＝40＋30＋40＋12
＝122（厘米）
答：至少需要122厘米的彩带。
（2）10×2＝20（厘米）
（20×15＋15×20＋20×20）×2
＝（300＋300＋400）×2
＝1000×2
＝2000（平方厘米）
答：最少需要用2000平方厘米包装纸。
（3）20×4＝80（厘米）
15×3＝45（厘米）
10×2＝20（厘米）
80×45×20＝72000（立方厘米）＝0.072立方米
答：这个大包装箱的容积是0.072立方米。
29．224平方分米
【分析】李叔叔做了无盖的长方体纸盒，由图可得：纸盒的长、宽、高分别为10分米、4分米、6分米；由于是做无盖纸盒，则做成的纸盒只有5个面，要使所需纸板面积最大，则空出来的一面面积最小，即宽、高组成的面面积最小，根据无盖纸盒表面积=（长宽+长高）2宽高，据此可得出答案。
【详解】需要纸板面积最大为：
（平方分米）
答：需要纸板面积最大的是224平方分米。
30．34.5千克
【分析】首先计算出小明的卧室要粉刷的地方的面积大小：用侧面积加上顶面面积再减去门窗面积，其中侧面积应该为（长×高＋宽×高）×2，顶面面积为长×宽；算出粉刷面积后再乘上0.5就能计算出需要的涂料。
【详解】粉刷面积：（5×3＋4×3）×2＋5×4－5
＝（15＋12）×2＋20－5
＝27×2＋20－5
＝54＋20－5
＝74－5
＝69（平方米）
69×0.5＝34.5（千克）
答：一共需要34.5千克涂料。
31．不会溢出；15厘米
【分析】根据题意可知，长方体容器中水是一个长30厘米、宽16厘米、高10厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积；
放入铁块后，水面会上升，底面积由（30×16）平方厘米变成了（30×16－16×10）平方厘米，水的体积不变，根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此时容器内水的高度；
用此时容器内水的高度与长方体容器的高度进行比较，如果小于或等于容器的高度，则水不会溢出；反之，水的高度大于容器的高度，水会溢出，进而求出溢出水的体积。
【详解】容器内水的体积：
30×16×10
＝480×10
＝4800（立方厘米）
放入铁块后水深：
4800÷（30×16－16×10）
＝4800÷（480－160）
＝4800÷320
＝15（厘米）
15＜21
答：这个容器中的水不会溢出，容器中水位将上升至15厘米。
【分析】本题考查长方体体积公式的灵活运用，抓住水的体积不变是解题的关键，掌握放入的物体没有完全浸没时，水上升高度的求法。
32．（1）8；4；3；96；小正方体体积
（2）见详解。
【分析】（1）用棱长为1分米的小正方体来测量，则有几个小正方体就是多长；由图可得：长方体容器的长由8个小正方体组成，宽由4个小正方体组成，高由3个小正方体组成；再根据长方体体积=长宽高，可得出容器的容积及包含的单位。
（2）从上面看到的图形是指从上面俯视看到的图形形状，从左面看到的图形，根据三视图的方法进行解答。
【详解】（1）由图可得：长方体容器的长为8分米，宽为4分米，高为3分米；容积为：（立方分米）。小正方体体积为：（立方分米）。故求这个容器的容积是多少，就是看它里面包含了多少个小正方体体积单位。
（2）从左面和上面看到的图形如图：

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