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3.4 乘法交换律和结合律
乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。用字母表示： a×b=b×a
乘法结合律：三个数连乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。用字母表示： (a×b)×c=a×(b×c)
加法交换律和乘法交换律中都是交换两个数的位置，结果不变；加法结合律和乘法结合律都是不改变数的顺序，结果也不变。
例1：不计算，观察下列算式，（ ）式子的值与963÷18×4的结果不同。
A．963÷（18×4） B．963×4÷18 C．963÷6÷3×4 D．963÷（18÷4）
答案：A
分析：（1）根据除法的性质，将算式963÷（18×4）化成963÷18÷4，所以算式963÷（18×4）的值与963÷18×4的结果不同；
（2）根据乘法交换律，把算式963×4÷18化成963÷18×4，因此算式963×4÷18的值与963÷18×4的相同。
（3）根据除法的性质，将算式963÷6÷3×4化成963÷（6×3）×4，即963÷18×4，因此算式963÷6÷3×4的值与963÷18×4的相同。
（4）根据商不变规律，被除数不变，除数除以4，商应乘4，也就是963÷（18÷4）＝963÷18×4。
详解：A．963÷（18×4）＝963÷18÷4，所以963÷（18×4） 值与963÷18×4的结果不同；符合题意；
B．963×4÷18＝963÷18×4，因此算式963×4÷18的值与963÷18×4的相同。不符合题意；
C．963÷6÷3×4＝963÷（6×3）×4＝963÷18×4，因此算式963÷6÷3×4的值与963÷18×4的相同。不符合题意；
D．由分析可知，963÷（18÷4）＝963÷18×4，因此算式963÷（18÷4）的值与963÷18×4的相同。不符合题意；
故答案为：A
例2：笑笑在探究6×3＋4×3的道理时，她的想法如图，图中划线这一步应用的运算律是（ ）。
A．乘法交换律 B．乘法分配律
C．乘法交换律和结合律 D．加法交换律和结合律
答案：D
分析：加法交换律是在两个数的加法运算中，在从左往右计算的顺序，两个加数相加，交换加数的位置，和不变；加法结合律即三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加。和不变，这叫做加法结合律；乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘， 可以先把它们分别与这个数相乘， 再相加；乘法交换律是指一种计算定律，两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变；乘法结合律是指三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。据此选出答案即可。
详解：A．题目中并没有运用乘法交换律；
B．题目中并没有运用乘法分配律；
C．题目中并没有运用乘法交换律和结合律；
D．题目中（6＋4）＋（6＋4）＋（6＋4）这一步用了加法交换律，（6＋4）×3这一步用了加法结合律。
故答案为：D
例3：根据乘法运算律填空。
12×32＝32× 108×75＝ ×
30×6×7＝30×（6× ） 125×（8×40）＝（ × ）×
答案： 12 75 108 7 125 8 40
分析：（1）（2）根据乘法交换律：两个数相乘，可以交换两个因数的位置，积不变，据此解答即可；
（3）（4）根据乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和第三个数相乘，或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，据此解答即可。
详解：12×32＝32×12；
108×75＝75×108；
30×6×7＝30×（6×7）；
125×（8×40）＝（125×8）×40
例4：（17×25）×4＝17×（( )× ），运用了( )律，用字母表示为( )。
答案： 25 4 乘法结合/整数乘法结合 a×b×c＝a×（b×c）
分析：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变；这是乘法结合律的特点，依此解答。
详解：（17×25）×4＝17×（25×4），运用了乘法结合律，用字母表示为a×b×c＝a×（b×c）。
基础过关练
一、选择题
1．125×25×4×8＝（125×8）×（25×4），这里运用了（ ）。
A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和乘法结合律
2．A×（B÷C）不能改写成（ ）。
A．A×B÷C B．A÷C×B C．A÷B×C
3．在列竖式计算时，我们是这样计算的（如下），这个过程利用的是（ ）。
A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律
4．计算a×b×c＝a×（b×c）运用的运算定律是（ ）。
A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律
5．下面各式中，（ ）运用了乘法结合律。
A．57×99＝57×（100－1） B．58×a＋b＝58×a＋58×b C．25×125×8×40＝（25×40）×（125×8）
二、填空题
6．用字母a、b、c表示算式（49×125）×8＝49×（125×8）中的三个数：( )。
7．根据乘法运算定律，在横线上填上合适的数。
15×16＝16×
25×7×4＝ × ×7
（60×25）× ＝60×（ ×8）
125×（8× ）＝（125× ）×14
（3×4）×8×5＝（3×4）×（ × ）
8．4×25＝25×4，也就是说交换两个因数位置后，积( )，这叫( )，可以用字母表示为( )。
9．在计算时25×44，贝贝是这样想的：25×44＝25×4×11＝100×11＝1100，这是运用了( )律。
10．小明用计算器计算“125749”时，发现键“4”坏了。如果还用这个计算器，你会怎样计算？请写出算式：( )。
三、判断题
11．先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变，这是乘法结合律。( )
12．24×99＋24＝24×（99＋1）运用了乘法结合律。( )
13．（a＋b）×5＝a×5＋b×5，运用了乘法交换律。( )
14．4×73×25＝73×（4×25）这里运用了乘法结合律。( )
15．计算8×4×25×125＝（8×125）×（4×25）时，运用了乘法交换律和乘法结合律。( )
培优提升练
四、计算题
16．简便运算。
24×125 16×25 125×32×25 45×201－45
五、解答题
17．每头奶牛每天吃草12千克，照这样计算，20头奶牛在6月份一共吃草多少千克？
18．新明小学新建一幢5层的教学楼，每层7间教室，每间教室放48张课桌，一共需要多少张课桌？
19．淘气想用计算器计算76×25的结果，但是计算器上的按键“6”没用了。淘气想了想，输入了算式“19×4×25”。
（1）请你想一想，淘气输入的这个算式，可以得到正确的结果吗？为什么？
（2）你还能想到什么样的算式，也可以得到76×25的结果？（请写出两个）
20．某希望小学新建了一座4层的教学楼，每层有16间教室，每间教室要放25张桌子，一共需要多少张桌子？
21．美好家园小区共有25栋楼，每栋楼有9个单元，每个单元有40户居民。美好家园小区共有多少户居民？
1．C
分析：乘法交换律的特点是两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变；乘法结合律的特点是三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变；依此即可选择。
详解：125×25×4×8＝（125×8）×（25×4），这里是先交换了位置，再将125与8结合，将25与4结合，因此这里运用了乘法交换律和乘法结合律。
故答案为：C
2．C
分析：一个数乘两个数的商，可以先用这个数乘两个数中的被除数，再除以除数，也可以先用这个数除以两个数中的除数，再乘被除数。（括号前面是乘号，去掉括号不变号，数字前面是除号，交换数字的位置时连符号一起交换位置。）据此解答。
详解：A×（B÷C）＝（A×B）÷C＝A×B÷C
A×（B÷C）＝A×B÷C＝A÷C×B
对比可知，A、B选项的写法正确，C选项的写法错误。
故答案为：C
分析：熟练掌握乘法的运算定律是解决此题的关键。
3．C
分析：三位数乘两位数的计算方法：先是用两位数的个位上的数与三位数相乘；接着用两位数的十位上的数与三位数相乘，最后把两次乘得的积相加；
乘法交换律的特点是两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。
乘法结合律的特点是三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变。
乘法分配律的特点是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。依此选择即可。
详解：根据分析可知，在列竖式计算时，我们是这样计算的（如下），这个过程利用的是乘法分配律。
故答案为：C
分析：此题考查的是三位数与两位数的乘法计算，以及乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的特点是解答此题的关键。
4．B
分析：A．乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变；用字母表示为：a×b＝b×a；
B．乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变；用字母表示为：（a×b）×c＝a×（b×c）；
C．乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个数相加，结果不变；用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c；据此解答。
详解：据分析可知：
计算a×b×c＝a×（b×c）运用的运算定律是乘法结合律。
故答案为：B
分析：熟练掌握乘法的运算定律是解决此题的关键。
5．C
分析：乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。
详解：A．57×99＝57×（100－1），运用了乘法分配律；
B．58×a＋b＝58×a＋58×b，错误地运用了乘法分配律；
C．25×125×8×40＝（25×40）×（125×8）运用了乘法交换律与乘法结合律。
故答案为：C
分析：正确理解乘法结合律的意义，是解答此题的关键。
6．（a×b）×c＝a×（b×c）
分析：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘第三个数，也可以先把后两个数相乘再和第一个数相乘，结果不变，这叫做乘法结合律，用字母表示为（a×b）×c＝a×（b×c）。
详解：用字母a、b、c表示算式（49×125）×8＝49×（125×8）中的三个数：（a×b）×c＝a×（b×c）。
分析：熟记乘法结合律的定义是解题关键。
7． 15 25 4 8 25 14 8 8 5
分析：（1）根据乘法交换律，交换15和16的位置，积不变。
（2）根据乘法交换律，交换7和4的位置，先计算25×4，再用积乘7。
（3）根据乘法结合律，先计算25×8，再用60乘这个积。
（4）根据乘法结合律，先计算125×8，再用积乘14。
（5）根据乘法结合律，先计算3×4以及8×5，再将两个积相乘。
详解：15×16＝16×15＝240
25×7×4
＝25×4×7
＝100×7
＝700
（60×25）×8
＝60×（25×8）
＝60×200
＝12000
125×（8×14）
＝（125×8）×14
＝1000×14
＝14000
（3×4）×8×5
＝（3×4）×（8×5）
＝12×40
＝480
分析：解决本题时应观察算式中数据特点，选择合适的运算定律进行计算。
8． 不变 乘法交换律 a×b＝b×a
分析：乘法交换律：在两个数的乘法运算中，在从左往右计算的顺序，两个因数相乘，交换因数的位置，积不变；乘法交换律：a×b＝b×a；据此解答。
详解：根据分析：4×25＝25×4，也就是说交换两个因数位置后，积不变，这叫乘法交换律，可以用字母表示为a×b＝b×a。
分析：掌握乘法交换律的概念是解答本题的关键。
9．乘法结合律
分析：乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。计算时，将44拆成（4×11），算式变为：25×4×11，先算25×4＝100，然后再算100×11即可；据此解答。
详解：计算25×44时，贝贝是这样想的：
25×44
＝25×（4×11）
＝25×4×11
＝100×11
＝1100
他在计算中，用到的运算律是乘法结合律；
10．1257×7×7
分析：根据题意可知，用计算器计算“125749”时，可将49拆成（7×7），然后再根据乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算，据此解答。
详解：根据分析：
125749
＝1257×（7×7）
＝1257×7×7
＝8799×7
＝61593
所以如果还用这个计算器，你会怎样计算？请写出算式：1257×7×7。
分析：本题考查的是乘法结合律的实际应用。
11．√
详解：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变，这是乘法结合律，据此可知，,先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变，这是乘法结合律。
故答案为：√
12．×
分析：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，这叫乘法结合律。
两个数的和与一个数相乘，可以把两个数分别与这个数相乘，再相加，结果不变，这叫乘法分配律。
根据乘法结合律和乘法分配律的定义，即可进行解答。
详解：由分析可知，24×99＋24＝24×（99＋1）是运用了乘法分配律，所以题目说法错误。
故答案为：×
分析：本题主要考查了学生对乘法分配律和乘法结合律的熟练掌握，牢记定律内容是解答本题的关键。
13．×
分析：乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。叫做乘法交换律。
详解：根据分析可知，
（a＋b）×5＝a×5＋b×5，运用了乘法分配律，故原题干说法错误；
故答案为：×
分析：正确理解乘法交换律和乘法分配律的意义，是解答此题的关键。
14．×
分析：乘法交换律是指两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。乘法结合律是指三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。据此进行判断即可。
详解：4×73×25
＝73×4×25
＝73×（4×25）
＝73×100
＝7300
计算时不仅交换了4和73的位置，而且改变运算顺序，先计算4×25，运用了乘法交换律和乘法结合律。
故答案为：×
分析：本题考查乘法结合律和乘法交换律的应用，乘法交换律改变因数的位置，乘法结合律不改变因数位置，改变运算顺序。
15．√
分析：乘法结合律是指三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。乘法交换律是指两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。据此判断。
详解：8×4×25×125
＝8×125×4×25
＝（8×125）×（4×25）
＝1000×100
＝100000
则计算时运用了乘法交换律和乘法结合律。
故答案为：√
分析：本题考查乘法结合律和乘法交换律的认识和应用。
16．3000；400；100000；9000
分析：24×125，把24写成3×8，再运用乘法结合律简便计算；
16×25，把16写成4×4，再运用乘法结合律简便计算；
125×32×25，把32写成8×4，再运用乘法结合律简便计算；
45×201－45运用乘法分配律简便计算。
详解：24×125
＝3×8×125
＝3×（8×125）
＝3×1000
＝3000
16×25
＝4×4×25
＝4×（4×25）
＝4×100
＝400
125×32×25
＝125×（8×4） ×25
＝（125×8）×（4×25）
＝1000×100
＝100000
45×202－45
＝45×（201－1）
＝45×200
＝9000
17．7200千克
分析：6月份一共为30天，根据题意可知，每头奶牛每天吃草的重量×奶牛的头数×6月份的天数＝这些奶牛在6月份一共吃草的重量，依此列式并根据乘法结合律的特点进行简算即可。
详解：12×20×30
＝12×（20×30）
＝12×600
＝7200（千克）
答：20头奶牛在6月份一共吃草7200千克。
分析：此题考查的是运用乘法结合律的特点解答实际问题，应熟练掌握乘法结合律的特点。
18．1680张
分析：根据题意可知，每间教室放课桌的张数×每层教室的间数＝每层楼放课桌的张数，每层楼放课桌的张数×教学楼的层数＝需要课桌的总张数，因此，每间教室放课桌的张数×每层教室的间数×教学楼的层数＝需要课桌的总张数，依此列式并根据乘法结合律的特点进行简算即可解答。
详解：48×7×5
＝48×（7×5）
＝48×35
＝1680（张）
答：一共需要1680张课桌。
分析：此题考查的是根据整数乘法结合律的特点解决实际问题，应先找到题目中对应的关系再进行解答。
19．（1）正确；因为19×4＝76，所以76×25＝19×4×25。
（2）38×2×25，（80－4）×25。（答案不唯一）
分析：（1）三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。根据乘法结合律进行解答即可。
（2）根据乘法结合律，将76想成是另外两个数之积，或者运用乘法分配律，将76想成是（80－4）、（100－24）等，都可以进行计算。据此解答。
详解：（1）计算器上“6”坏了，我们计算76×25，可以将76想成是由19×4得到的，因为19×4＝76，所以76×25就可以转化为19×4×25，再运用乘法结合律，对19×4×25进行简算，即可算出76×25的最终结果。
（2）38×2＝76，所以76×25可以写成38×2×25；
80－4＝76，所以76×25可以写成（80－4）×25。（答案不唯一）
分析：本题考查学生对乘法运算定律的掌握。熟练运用乘法结合律和乘法分配律是解决此题的关键。
20．1600张
分析：每间教室放的桌子张数乘每层教室间数，等于每层有桌子张数，再乘教学楼的层数即等于一共需要桌子张数，计算时利用乘法交换律进行简算。
详解：25×16×4
＝25×4×16
＝100×16
＝1600（张）
答：一共需要1600张桌子。
分析：本题主要考查学生对乘法交换律的掌握和灵活运用。
21．9000户
分析：栋楼数×每栋楼的单元数×每个单元的户数＝美好家园小区有居民的总户数，依此列式并根据乘法交换律的特点进行简算即可。
详解：25×9×40
＝25×40×9
＝1000×9
＝9000（户）
答：美好家园小区共有9000户居民。
分析：此题考查的是运用乘法交换律的特点解决实际问题，应先找到题目中对应的关系再进行解答。

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