资源简介

3.6 运算律解决问题策略多样化
计算某些特殊的乘法算式时，可以将其中一个因数拆分成两个数的积，再运用乘法交换律和乘法结合律来进行简算；也可以将其中一个因数拆分成两个数的和，再运用乘法分配律来进行简算。
一个数连续除以两个数，可以改为除以两个数的积。用字母表示：a÷b÷c=a÷(b×c) b、c,皆不为0。
两数相乘，若其中一个因数是25(或125)，而另一个因数正好是4(或8)的几倍，可将另一个因数拆分成4(或8)与其他数的乘积的形式，再利用乘法运算定律进行简算；也可将另一个因数拆分成几十加几的形式，再利用乘法运算定律进行简算。
一个数连续除以两个数，若这两个数相乘的积是整十、整百或整千的数，可以改写成除以这两个除数的积，这样可使计算简便。
计算两商之和(或差)时，如果除数相同，可以先把两个被除数相加(或相减)，再除以这个相同的除数，这样可使计算简便。
例1：计算630÷35时，正确的简便算法是（ ）。
A．630÷7÷5 B．630÷7×5 C．630÷5×7
答案：A
分析：乘法口诀“七九六十三”，63÷7＝9，整数除法的性质：7×5＝35，一个数连续除以两个数，可以除以这两个数的积。
详解：630÷35
＝630÷（7×5）
＝630÷7÷5
故答案为：A
例2：计算600÷25，下面四种算法中不正确的是（ ）。
A．600÷5÷5 B．6×（100÷25） C．600÷20＋600÷5 D．（600×4）÷（25×4）
答案：C
分析：（1）除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c）；所以600÷25＝600÷5÷5；
（2）计算出算式的结果进行判断；
（3）计算出算式的结果进行判断；
（4）被除数和除数同时乘相同的数（0除外），商不变，所以600÷25＝（600×4）÷（25×4）。
详解：A．根据除法的性质可知，600÷5÷5＝600÷（5×5）＝600÷25
B． 600÷25＝24，6×（100÷25）＝6×4＝24，所以600÷25＝6×（100÷25）
C． 600÷25＝24，600÷20＋600÷5＝30＋120＝150，所以600÷20＋600÷5算法不正确。
D．根据商不变规律可知，600÷25＝（600×4）÷（25×4）
故答案为：C
例3：在括号里填上“＜”“＞”或“＝”。
107685( )106857 3平方千米( )300公顷 2亿( )2000000000
4800÷8( )4800÷4 130×40( )13×40 360÷4÷9( )360÷（4×9）
答案： ＞ ＝ ＜ ＜ ＞ ＝
分析：（1）整数比较大小时，要看他们的数位。数位多的那个数就大；如果数位相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大，那个数就大。
（2）平方千米和公顷之间的进率是100，据此可知，3平方千米＝300公顷。
（3）2亿是200000000，再与2000000000比较大小。
（4）整数除法中，被除数不变，除数变小，商变大。
（5）整数乘法中，一个因数不变，另一个因数变小，积变小。
（6）根据除法的性质可知，计算360÷4÷9时，先计算4×9，再用360除以这个积，即360÷4÷9＝360÷（4×9）。
详解：107685＞106857
3平方千米＝300公顷
2亿＝200000000，200000000＜2000000000，则2亿＜2000000000
8＞4，则4800÷8＜4800÷4
130＞13，则130×40＞13×40
360÷4÷9＝360÷（4×9）
例4：欢欢发现计算器上的按键“5”坏了，如果要计算630÷56，可以怎么办？请用算式表示你的想法：( )。
答案：630÷7÷8
分析：计算630÷56时，按键“5”坏了不能按出56，可以根据除法的性质，将56看成7×8，先计算630÷7，再用商除以8。
详解：用算式表示你的想法：630÷56＝630÷（7×8）＝630÷7÷8
基础过关练
一、选择题
1．某次雏鹰小队活动租车前往博物馆参观。有家长20人，学生160人，每辆大车可坐40人，租金900元；小车可坐20人，租金500元。下列方案（ ）最省钱。
A．5辆大车 B．9辆小车
C．3辆大车3辆小车 D．4辆大车1辆小车
2．下面不能说明“5×4＋4×3＝（5＋3）×4”成立的是（ ）。
A．
B．
C．
D．
3．集集在计算5×（●＋▲）时，错看成了5×●＋▲，结果比原来小。如果将相差的部分在图上圈出来，下面圈法正确的是（ ）。
A．B．C． D．
4．求下图的面积，既可以列式为（20＋40）×30，也可以列式为20×30＋40×30。这两个算式之间的关系符合（ ）。

A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．加法结合律
5．小明买了4支圆珠笔，每支1.3元，在计算总价时，他是这么想的：小明的计算过程体现了（ ）。
1元×4＝4元 3角×4＝12角＝1.2元 4元＋1.2元＝5.2元
A．乘法结合律 B．乘法分配律 C．加法结合律 D．乘法交换律
6．下面可以用来说明“5×4＋3×4”与“（5＋3）×4”相等的是（ ）。
A． B．
C． D．
二、填空题
7．天天在计算45×（口＋6）时，连犯了两次错误，请帮助解答疑惑。
(1)天天把算式算成了45×口＋6，这样与原来的答案相差了( )。
(2)天天把算式看成了45×6＋口，算出的结果比正确答案少了88，正确答案应该是( )。
8．如果35×A＋35×B运用乘法分配律进行简便计算后，结果是3500，则A可以是( )，B可以是( )。（只写一种）
9．（25×5）×2＝( )，25×（5×2）＝( )，所以（25×5）×2＝25×（5×2）像这样，三个数相乘时，先乘前两个数，或者先乘后两个数；积不变，这叫乘法( )，用字母表示为( )。
10．用计算器计算“1356×49”时，发现数字键“4”坏了，如果还用这个计算器，你会怎样计算呢？请写出算式：( )。
三、判断题
11．28×（100＋1）＝28×100＋1。( )
12．101×99＝100×99＋99是依据乘法的分配律计算的。( )
13．103×25＝100×25＋3。( )
14．81×125的简便算法是80＋1×125。( )
15．计算98×101＝98×100＋98×1＝9898，这是根据乘法分配律进行简便运算的。( )
培优提升练
四、计算题
16．看图列综合算式。
17．看图列式计算。
五、解答题
18．某种产品由小明、小宇两人来完成，小明每天生产247个，小宇每天生产353个，小宇和小明各需要65天才能完成，问这批产品共有多少个？
19．水果店购进苹果和梨各125箱。苹果每箱42元，梨每箱38元。水果店购进这些水果一共花了多少元？
20．运动可以使我们的身体健康，心情愉悦。在运动会开幕式上，合唱社团需要舞蹈社团的18名同学伴舞。学校给伴舞的同学每人购买一套服装，一件上衣127元，一条裤子73元，一共需要多少元？
21．图书馆里有8本同样的漫画书，每本漫画书有25页，每页有6幅画，这些漫画书共有多少幅画？
22．学校合唱队的37名同学要参加演出，每人需要购买一套演出服，一件上衣126元，一条裤子74元。一共需要多少钱？
23．学校为参加运动会的学生购置24套运动装（如图）。购买20套以上，每套优惠10元，算一算，购置这些运动装共需要多少元？

24．学校阅览室要购进《儿童文学》和《当代小学生》两种杂志各120本，《儿童文学》每本9元，《当代小学生》每本11元。学校一共需要花多少元？
1．D
分析：要求哪种方案最省钱，只需要将下列方案进行计算，再比较哪种方案花的钱最少，即可得出。
详解：方案一：租大车5辆需租金：
900×5＝4500（元）
方案二：租小车9辆需租金：
500×9＝4500（元）
方案三：租大车3辆，小车3辆需租金：
900×3＋500×3
＝2700＋1500
＝4200（元）
方案四：租大车4辆，小车1辆需租金：
900×4＋500
＝3600＋500
＝4100（元）
4100＜4200＜4500
也就是租大车4辆，小车1辆最省钱。
故答案选：D
2．B
分析：（1）一格表示4，第一次跳了5格，表示为5×4，第二次跳了3格，表示为4×3，合起来表示5×4＋4×3，也可以说一共跳了（5＋3）格，表示（5＋3）×4，所以5×4＋4×3＝（5＋3）×4。
（2）白圆一排5个，有3排，共有（5×3）个，黑圆一排有4个，有3排，共有（4×3）个，合起来有（5×3＋4×3）个；也可以是一排（5＋4）个，有3排，共有（5＋4）×3个；所以5×3＋4×3＝（5＋4）×3。
（3）左边长方形的面积为（5×4）平方米，右边长方形的面积为（4×3）平方米，合起来面积为：（5×4＋4×3）平方米，把两个长方形拼成一个大长方形，大长方形的面积为（5＋3）×4平方米；所以5×4＋4×3＝（5＋3）×4。
（4）5×4等于4本笔记本的钱数，3×4等于4支钢笔的钱数，所以（5×4＋4×3）为4本笔记本和4支钢笔的钱数；5＋3等于1本笔记本和1支钢笔的钱数，（5＋3）×4等于4本笔记本和4支钢笔的钱数；所以5×4＋4×3＝（5＋3）×4。
详解：A．根据分析可知，图A可以表示5×4＋4×3＝（5＋3）×4。
B．根据分析可知，图B可以表示5×3＋4×3＝（5＋4）×3，不能表示5×4＋4×3＝（5＋3）×4。
C．根据分析可知，图C可以表示5×4＋4×3＝（5＋3）×4。
D．根据分析可知，图D可以表示5×4＋4×3＝（5＋3）×4。
故答案为：B
3．C
分析：将5×（●＋▲）根据乘法分配律去括号，应是5个●与5个▲的和，由此可以看出少算了几个▲，再据图来解答。
详解：5×（●＋▲）＝5×●＋5×▲
由此可知少算了4个▲。
A．4个●，不正确；
B．5个●，不正确
C．4个▲，是正确的；
D．5个▲，不正确；
故答案为：C
分析：此题主要考查学生对乘法分配律的掌握情况。
4．B
分析：乘法交换律的特点是两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变；
乘法分配律的特点是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加；
乘法结合律的特点是三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变；
加法结合律的特点是三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；依此选择即可。
详解：根据分析可知，此图的面积，既可以列式为（20＋40）×30，也可以列式为20×30＋40×30。这两个算式之间的关系符合乘法分配律。
故答案为：B
分析：解答此题的关键是应熟练掌握加法结合律、乘法交换律、乘法结合律，以及乘法分配律的特点。
5．B
分析：在小明的计算过程中，将每支1.3元，分成了1元和3角，分别与圆珠笔的支数相乘，再将得数相加，计算过程符合乘法分配律，据此解答即可。
详解：小明的计算过程体现了乘法分配律。
故答案选：B。
分析：本题考查乘法分配律的认识以及实际应用。
6．C
分析：每排有汤圆的个数×每盒的排数×汤圆的盒数＝汤圆的总个数；黑圆圈每排的个数×黑圆圈的排数＋白圆圈每排的个数×白圆圈的排数＝圆圈的总个数，或（每排中黑圆圈的个数＋每排白圆圈的个数）×排数＝圆圈的总个数；每本书的价钱×本数＋每支笔的价钱×支数＝这些书和笔的总钱数，或（每本书的价钱＋每支笔的价钱）×书和笔共同的支数＝这些书和笔的总钱数；计算三条线段的长度之和，用加法计算；
乘法分配律的特点是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加；依此列式并选择即可。
详解：A．此图列式为：4×3×5。
B．此图列式为：5×3＋3×3或（5＋3）×3。
C．此图列式为：5×4＋3×4或（5＋3）×4。
D．此图列式为：5＋3＋4。
由此可知，可以用来说明“5×4＋3×4”与“（5＋3）×4”相等的是 。
故答案为：C
分析：此题考查的是乘法分配律的特点，应先列出每个选项中的算式再进行选择。
7．(1)264
(2)360
分析：（1）根据题意可知，要求与原式相差多少，用原式减去错误的式子，再利用乘法分配律，即可求出答案。
（2）已知原式算出的结果比正确答案少了88，据此列式，求出方框内的数为多少，代入原式，即可求出正确答案。
详解：（1）45×（口＋6）－（45×口＋6）
＝45×口＋45×6－45×口－6
＝45×6－6
＝（45－1）×6
＝44×6
＝264
（2）45×（口＋6）－（45×6＋口）
＝45×口＋45×6－45×6－口
＝45×口－口
＝88
根据乘法分配律可知：45×口－口
＝44×口
＝88
则“口”的值为2。
代入原式中，即可求得正确答案为360。
分析：本题主要考查的是乘法分配律的应用，解题关键在于找出题中的数量关系，即可得出答案。
8． 40 60
分析：计算35×A＋35×B时，先计算A＋B，再用35乘这个和，即35×A＋35×B＝35×（A＋B）。因为结果是3500，则A＋B＝3500÷35＝100，满足这两个数相加得100即可。
详解：35×A＋35×B＝35×（A＋B）＝3500
A＋B＝3500÷35＝100
若A＝40，B＝100－40＝60。
（答案不唯一）
分析：本题考查乘法分配律的应用，关键是求出A＋B＝100。
9． 250 250 结合律 （a×b）×c＝a×（b×c）
分析：先计算括号里面的，再计算括号外面的，计算出两个算式的结果；乘法结合律是三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变；乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）或a×b×c＝a×（b×c）；据此解答。
详解：根据分析：
（25×5）×2
＝125×2
＝250
25×（5×2）
＝25×10
＝250
所以（25×5）×2＝250，25×（5×2）＝250，所以（25×5）×2＝25×（5×2）像这样，三个数相乘时，先乘前两个数，或者先乘后两个数；积不变，这叫乘法结合律，用字母表示为（a×b）×c＝a×（b×c）。
分析：掌握乘法结合律的概念是解答本题的关键。
10．1356×7×7
分析：根据题意，把49分成两个数的乘积的形式，即49＝7×7，然后再求解即可。据此解答。
详解：运用乘法结合律，把49分成7×7，即可进行计算。
1356×49
＝1356×（7×7）
＝1356×7×7
＝9492×7
＝66444
所以如果计算器的“4”坏了，可以将1356×49转化为1356×7×7。
分析：本题考查学生对乘法运算定律的掌握。解决此题还可以运用乘法分配律将49看成（50－1）进行计算。
11．×
分析：乘法分配律是指两个数的和同一个数相乘，等于把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积加起来，结果不变，用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c；据此解答即可。
详解：28×（100＋1）
＝28×100＋1×28
＝2800＋28
＝2828
28×（100＋1）≠28×100＋1
所以原题说法错误。
故答案为：×
分析：此题考查的目的是能够灵活运用乘法分配律进行简便计算。
12．√
分析：乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，等于把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积加起来，结果不变，用字母表示为：a×（b＋c）＝a×b＋a×c。所以计算101×99时，把101分解成（100＋1），然后根据乘法分配律简算。
详解：101×99
＝（100＋1）×99
＝100×99＋1×99
＝9900＋99
＝9999
所以101×99＝100×99＋99是依据乘法的分配律计算的，此说法正确。
故答案为：√
分析：乘法分配律是最常用的简便运算的方法，要熟练掌握，灵活运用。
13．×
分析：计算103×25时，可将103写成100＋3，然后再根据乘法分配律的特点进行简算，乘法分配律的特点是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加；依此判断。
详解：103×25＝（100＋3）×25＝100×25－3×25。
故答案为：×
分析：熟练掌握乘法分配律的特点是解答此题的关键。
14．×
分析：乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加；据此可知，计算“81×125”时，把81看作是80与1的和，利用乘法分配律可以简算。
详解：81×125
＝（80＋1）×125
＝80×125＋1×125
＝10000＋125
＝10125
所以，81×125的简便算法是80×125＋1×125；故原题干说法错误。
故答案为：×
分析：正确理解乘法分配律的意义并灵活应用，是解答此题的关键。
15．√
分析：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。据此解答。
详解：98×101
＝98×100＋98×1
＝9898
计算过程利用了乘法分配律。所以原题说法正确。
故答案为：√
分析：本题考查了乘法分配律在计算中的运用，需熟练掌握运算律公式。
16．630－235－165＝230（米）
分析：先用总长度630米减235米，再减165米，据此解答即可。
详解：
17．520米
分析：由图可以看出，小琼家到学校之间的每条线段表示60米，即小琼家离学校的距离为60×4；同理，小欣家离学校的距离是70×4；要求总共长多少米，把这两部分加起来即可。
详解：60×4＋70×4
＝（60＋70）×4
＝130×4
＝520（米）
分析：解答此题，首先弄清题意，分清已知与所求，根据基本数量关系列式解答。
18．39000个
分析：根据题意可知，小明每天生产的个数×小明完成的天数＋小宇每天生产的个数×小宇完成的天数＝这批产品的总个数，由于小宇和小明各需要65天才能完成，因此可根据乘法分配律的特点进行简算，依此解答。
详解：247×65＋353×65
＝（247＋353）×65
＝600×65
＝39000（个）
答：这批产品共有39000个。
分析：此题考查的是运用乘法分配律的特点解答实际问题，应先找到题目中对应的关系再进行解答。
19．10000元
分析：根据题意可知，每箱苹果的价钱×购进苹果的箱数＋每箱梨的价钱×购进梨的箱数＝购进这些水果一共花的钱数，依此列式，由于购进苹果和梨各125箱，因此可根据乘法分配律的特点进行简算，依此解答。
详解：42×125＋38×125
＝（42＋38）×125
＝80×125
＝10000（元）
答：水果店购进这些水果一共花了10000元。
分析：此题考查的是经济问题的计算，运用乘法分配律的特点进行计算更加简便。
20．3600元
分析：根据题意可知，每件上衣的价钱×上衣的件数＋每条裤子的价钱×裤子的条数＝买这些衣服需要的钱，依此列式，由于衣服需要18件，裤子需要18条，因此可根据乘法分配律的特点进行简算。
详解：127×18＋73×18
＝（127＋73）×18
＝200×18
＝3600（元）
答：一共需要3600元。
分析：此题考查的是经济问题的计算，运用乘法分配律的特点进行计算更加简便。
21．1200幅
分析：根据题意可知，每本漫画的页数×每页有画的数量×漫画书的本数＝这些漫画书有画的总数量，依此列式并根据乘法交换律的特点进行简算即可。
详解：25×6×8
＝25×8×6
＝200×6
＝1200（幅）
答：这些漫画书共有1200幅画。
分析：此题考查的是根据整数乘法交换律的特点解决实际问题，应先找到题目中对应的关系再进行解答。
22．7400元
分析：根据题意可知，37名同学需要37件上衣和37条裤子，每件上衣的价钱×上衣的件数＋每条裤子的价钱×裤子的条数＝买这些衣服一共需要的钱，依此列式，由于衣服需要37件，裤子需要37条，因此可根据乘法分配律的特点进行简算。
详解：126×37＋74×37
＝（126＋74）×37
＝200×37
＝7400（元）
答：一共需要7400元。
分析：此题考查的是经济问题的计算，运用乘法分配律的特点进行计算更加简便。
23．4560元
分析：根据题意可知，每套的价钱×买的套数－每套优惠的价钱×买的套数＝购置这些运动装共需要的钱数，依此列式并根据乘法分配律的特点进行简算即可。
详解：（112＋88）×24－10×24
＝（112＋88－10）×24
＝190×24
＝4560（元）
答：购置这些运动装共需要4560元。
分析：此题考查的是经济问题的计算，运用乘法分配律的特点进行解答更加简便。
24．2400元
分析：根据题意可知，每本《儿童文学》的价钱×买《儿童文学》的本数＋每本《当代小学生》的价钱×买《当代小学生》的本数＝学校一共需要花的钱数，由于《儿童文学》和《当代小学生》两种杂志购进的数量相同，因此可根据乘法分配律的特点进行简算。
详解：9×120＋11×120
＝（9＋11）×120
＝20×120
＝2400（元）
答：学校一共需要花2400元。
分析：此题考查的是经济问题的计算，运用乘法分配律的特点进行计算更加简便。

展开更多......

收起↑