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第三单元 解决问题的策略
易错点一：用转化的方法解决问题时,弄混了两个未知量。
判断:篮球的个数是排球个数的,篮球的个数占两种球总个数的。（ ）
【错误答案】正确
【错解分析】在单位“1”的转化过程中,错误地将篮球的个数与排球的个数换位。根据篮球的个数是排球个数的,假设排球有5份,那么篮球就有3份,总数是8份,因此篮球的个数占两种球总个数的。
【正确答案】错误
【易错例题一】一个长方形的周长是48厘米，长和宽的比是5∶3。它的面积是（ ）平方厘米。
A．135 B．270 C．540 D．67.5
【分析】由长方形的周长是48厘米可知：长与宽的和是48÷2＝24厘米，根据按比例分配的方法分别求出长与宽的值，带入长方形面积公式即可求出这个长方形的面积。
【详解】48÷2＝24（厘米）
长：24×＝15（厘米）
宽：24×＝9（厘米）
面积：15×9＝135（平方厘米）
故答案为：A
【分析】本题主要考查按比例分配问题，求出长、宽的值是解题的关键。
【易错例题二】学校美术小组有35人，其中男生的人数是女生的，女生有多少人？
分析与解答：男生人数是女生的，也就是说男生和女生的人数比是( )∶( )，女生人数就是总人数的( )，这样就可以直接用乘法计算。
根据“女生人数是美术小组总人数的，可以列式为( )。
答：女生有( )人。
【分析】根据分数和比的关系，先得出男生和女生的人数比，从而得出女生人数是总人数的几分之几。将总人数看作单位“1”，将总人数乘女生人数的分率，即可得解。
【详解】男生人数是女生的，也就是说男生和女生的人数比是2∶3，女生人数就是总人数的，这样就可以直接用乘法计算。
根据“女生人数是美术小组总人数的，可以列式为35×＝21（人）。
答：女生有21人。
【分析】本题考查了分数乘法，求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率。
一、选择题
1．一次数学竞赛共20道题，每做对一题得5分，每做错（或不做）一题扣1分。在这次竞赛中，张明得了64分，他做对了（ ）道题。
A．9 B．6 C．11 D．14
2．一台压路机压路千米要小时，照这样计算，这台压路机小时压路多少千米？下面列式中，错误的是（ ）。
A．÷× B．÷× C．÷×
3．公园里有两种游船，甲种船只乘载2人，乙种船可乘载4人。一个旅游团共有46人正好乘坐了14只游船，甲、乙两种游船各有（ ）只。
A．5，9 B．9，5 C．6，8 D．8，6
4．将甲班人数的调入乙班后，两班人数相等，原来甲、乙两班的人数比是（ ）。
A．4∶3 B．5∶3 C．5∶4 D．3∶4
5．把一个长方形放大，放大后的长方形与原图形对应边长的比为，那么放大后的长方形与原图形面积的比是（ ）。
A． B． C． D．
6．钢笔每支12元，圆珠笔每支7元，王强买了钢笔和圆珠笔共6支，用了52元。王强买了（ ）支钢笔。
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
7．刘老师和张老师带48名同学去公园划船，一共坐满了10条船，每条大船可坐6人，每条小船可坐4人，大船和小船各有几条？先假设两种船的只数，计算总人数，再进行调整。
大船的只数 小船的只数 乘坐的总人数 和（ ）人比较
答：大船有（ ）条，小船有（ ）条。
8．学校绘画社团男生人数比女生少，女生人数比男生多 ，据统计绘画社团人数有90多人，绘画社会中女生有( )人。
9．54名同学去公园划船，一共租了10只船，每只大船可坐6人，每只小船可坐4人。每只船都坐满了，大船租( )只。小船租( )只。
10．在一个三角形中，至少有( )个锐角。如果一个三角形的三个内角度数的比是1∶3∶5，那么这个三角形是( )三角形。
11．邮政所卖出面值为1.2元和0.8元的邮票20枚，共收入18元。其中面值1.2元的邮票( )枚，面值0.8元的邮票( )枚。
12．康康的存钱罐里有1元和5元的纸币一共12张，共有32元。1元的纸币有( )张，5元的纸币有( )张。
三、判断题
13．某班男、女生人数比为，男生占全班人数的。( )
14．一条水渠，已经挖了全长的，已挖的和未挖的比是2∶3。( )
15．李叔叔有面额为50元和20元的人民币共18张，共计570元，则面额20元的人民币有11张。( )
16．用列表法也是可以解决鸡兔同笼问题的。( )
四、计算题
17．用你喜欢的方法计算。
÷×39×14 ×＋÷4
104× ×[（－）÷]
五、解答题
18．甲、乙两个工程队合修一段公路，甲队每天可以修，两队合修6天后，正好完成了，余下的由乙队单独修，还要几天才能修完？
19．图书角有一个三层书架，上、中、下层书的本数的比是5∶4∶3。最上层有30本书，那么这个书架上一共放了多少本书？
20．1个大杯容量是100毫升，1个小杯容量是60毫升。如果800毫升果汁正好可以倒满10个杯子，那么需要大杯和小杯各多少个？（利用下面的表格找出答案）
大杯个数 小杯个数 可以装果汁的毫升数
1 9 100＋60×9＝640
21．李叔叔饲养白兔和黑兔一共400只，白兔只数是黑兔只数的。李叔叔饲养白兔和黑兔各多少只？（先将下面的线段图补充完整，再列式解答。）
黑兔：
白兔：
22．李明参加的数学竞赛规定：答对一题得5分，答错一题扣1分。李明共答了21道题，得87分。那么他答对了多少道题？答错的呢？
23．两地相距270千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，3小时相遇。甲、乙两车的速度比是4∶5，乙车的速度是多少？
24．一辆客车和一辆卡车同时从甲乙两地同时开出，4小时两车在途中相遇，客车行全部路程用6小时，卡车每小时行40千米，问客车每小时行多少千米？
25．根据图中提供的信息，解决下列问题。
（1）一个水杯（ ）元，一个暖瓶（ ）元。
（2）甲、乙两个商场同时出售这样的暖瓶和水杯，推出了不同的促销活动。甲商场：两种商品都打八折。乙商场：买一个暖瓶赠送一个水杯。王叔叔想买5个暖瓶和5个水杯。选择哪家商场购买更划算？ （通过计算说明）
26．一辆汽车从A地到B地，到达B地后又立即返回到A地，去时比返回时少用1.2小时。已知这辆汽车去时每小时行100千米，返回时每小时行80千米。两地相距多少千米？
27．张老师带着45名学生去划船，一共乘坐8条船，全部坐满。每条大船坐6人，每条小船坐5人。大船、小船各几条？
28．一个大人一餐吃2个面包，两个孩子一餐吃1个面包，现在有大人和孩子共99人，一餐刚好吃了99个面包。问：大人和孩子各几人？
参考答案
1．D
【分析】设做对了x道题，则做错了20－x道题，根据总共得了64分，列出方程求解即可。
【详解】5x－（20－x）＝64
6x－20＝64
x＝84÷6
x＝14
故答案为：D
【分析】本题主要考查列方程解含有两个未知数的问题。
2．B
【分析】先用÷求出1小时行驶的距离，再乘即可求出小时压路多少千米；或先求出小时里面有多少小时，就有多少千米；据此解答。
【详解】由分析可知：这台压路机小时压路÷×（或÷×）千米。
故答案为：B
【分析】求1小时行驶多少千米时，要明确“小时”变为“1”，作除数。
3．A
【分析】假设全部做的是甲种船，可以乘载2×14＝28（人），实际乘坐了46人，比实际少了46－28＝18（人），一只乙船比甲船多乘4－2＝2（人），由此可知乙船有18÷2＝9（只），进而求出甲船只数。
【详解】（46－14×2）÷（4－2）
＝18÷2
＝9（只）；
14－9＝5（只）
甲种游船有5只，乙种游船有9只。
故选择：A
【分析】此题属于鸡兔同笼问题，运用了假设法来解答，也可通过列举法或列方程法来解答。
4．A
【分析】把甲班人数的调入乙班后，两班人数相等，说明甲班人数比乙班人数多甲班人数的（×2）＝，把甲班人数看作单位“1”，则乙班人数是甲班人数的（1－），进而根据题意，进行比即可
【详解】1∶（1－×2）
＝1∶
＝（1×4）∶（×4），
＝4∶3
故选：A
【分析】解答此题的关键：判断出单位“1”，转化为同一单位“1”下进行比，然后化为最简整数比即可。
5．B
【分析】把一个长方形按2∶1放大，放大后图形的周长与原图的周长比不变，面积比即边长平方的比。由此解答即可。
【详解】把一个长方形按2∶1放大，放大后图形的面积与原图形的面积比是：
22∶12＝4∶1
【分析】明确把一个长方形按一定的比扩大或缩小，放大或缩小后图形的周长与原图的周长比不变，面积比即边长平方的比。
6．A
【分析】假设6支全买的圆珠笔，依此计算出6支圆珠笔的总钱数以及实际用的总钱数与6支圆珠笔的总钱数的差，l支圆珠笔与1支钢笔的价钱差，然后用实际用的总钱数与6支圆珠笔的总钱数的差除以1支圆珠笔与l支钢笔的价钱差，得到的商就是买钢笔的支数，依此计算并选择。
【详解】6×7＝42（元）
52－42＝10（元）
12－7＝5（元）
10÷5＝2（支）
即钢笔买了2支。
故答案为：A
7．见详解
【分析】两位老师和48名学生一共有50人，先假设两种船各有5条，然后计算出总人数，和50比较，如果乘坐人数大于50人，说明大船多了，那么减少大船的条数，增加小船的条数，直到乘坐人数是50人即可。
【详解】4×6＝24（人）
6×4＝24（人）
24＋24＝48（人）
5×6＝30（人）
5×4＝20（人）
30＋20＝50（人）
大船的只数 小船的只数 乘坐的总人数 和（50）人比较
4 6 48 小于
5 5 50 相等
答：大船有5条，小船有5条。
【分析】考查假设方法有关搭配的问题，要根据实际情况具体分析。
8． 54
【分析】把女生看作单位“1”，已知男生人数比女生少，则男生人数是女生的（1－），根据求一个数比另一个数多几分之几，用相差数除以另一个数，则用÷（1－）即可求出女生人数比男生多几分之几；已知男生人数是女生的，根据分数的意义，说明男生有5份，女生有6份，因为人数是整数，所以总人数一定是（5＋6）的倍数，据此可知，社团人数有99人，再用99÷（5＋6）即可求出每份是多少，进而求出6份，也就是女生人数。
【详解】1－＝
÷
＝×
＝
＝5∶6
男生有5份，女生有6份，因为人数是整数，所以总人数一定是（5＋6）的倍数，也就是11的倍数，已知社团人数有90多人，则社团的人数是：
11×9＝99（人）
99÷（5＋6）
＝99÷11
＝9（人）
9×6＝54（人）
学校绘画社团男生人数比女生少，女生人数比男生多，据统计绘画社团人数有90多人，绘画社会中女生有54人。
【分析】本题主要考查了分数的应用，明确求一个数比另一个数多（少）几分之几，用除法计算，可以将问题转化为比的问题来解答。
9． 7 3
【分析】假设全是小船，那么只能乘坐10×4＝40（人），那么实际少坐了54－40＝14（人），一只小船比一只大船少坐2人，那么大船就有（14÷2）只，由此即可求出小船的只数。
【详解】假设全是小船，则大船有：
（54－10×4）÷（6－4）
＝（54－40）÷2
＝14÷2
＝7（只）
小船：10－7＝3（只）
所以租用的小船有3只，大船有7只。
【分析】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答。
10． 两 钝角
【分析】根据三角形的分类，一一分析各类三角形中的锐角情况，再填空即可；按照内角的度数比，结合三角形的内角和是180°，求出这个三角形各个角的度数，再判断其是什么三角形即可。
【详解】由分析得：
锐角三角形的三个角都是锐角，直角三角形有一个直角和两个锐角，钝角三角形有一个钝角和两个锐角，所以一个三角形至少有两个锐角；
1＋3＋5＝9
180°×＝20°
180°×＝60°
180°×＝100°
所以三个内角分别为20°、60°和100°，所以这是一个钝角三角形。
【分析】本题考查了三角形的特征以及比的运用，填空时要注意分类讨论，避免犯错。
11． 5 15
【分析】假设全是面值1.2元的邮票，则应有（20×1.2）元，实际只有18元。这个差值是因为实际上不全是面值1.2元的邮票，每枚0.8元的邮票比每枚1.2元的邮票少0.4元，因此用除法求出假设比实际多的钱数里面有多少个0.4，就是有多少枚0.8元的邮票。再用减法求出1.2元的邮票数量。
【详解】
＝（24－18）÷0.4
＝6÷0.4
＝15（张）
（张）
面值1.2元的邮票5枚，面值0.8元的邮票15枚。
【分析】此题主要使用了假设法来解决鸡兔同笼问题，要熟练掌握。
12． 7 5
【分析】假设12张全是5元的，则一共有12×5＝60元，这比已知的32元多了（60－32）元，因为1张5元的比1张1元的多5－1＝4元，则可得1元的有：（60－32）÷4＝7张，所以5元的有12－7＝5张。
【详解】假设12张全是5元的，则1元的一共有：
（12×5－32）÷（5－1）
＝（60－32）÷4
＝28÷4
＝7（张）
所以5元的有：12－7＝5（张）
1元的有7张，5元的有5张。
【分析】此题属于鸡兔同笼问题，采用假设法即可解答。
13．√
【分析】男生看作5份，女生就是4份，全部人数就是9份。据此求解。
【详解】男生占全班人数的
故答案为：√。
【分析】本题主要考查比的应用。
14．×
【分析】把水渠的总长度看作单位“1”，已经挖了全长的，则未挖的是全长的1－＝，则已挖的和未挖的比是∶，据此求解。
【详解】未挖的占全长的比率：1－＝
已挖的和未挖的比：∶＝2∶1
所以判断错误。
【分析】本题考查了比的应用，关键是分清单位“1”。
15．√
【分析】假设全是50元的人民币，则有钱18×50＝900元，假设就比实际比900－570＝330元，这是每张5元人民币比每张20元人民币多50－20＝30元，据此可求出20元人民币的张数。
【详解】20元人民币的张数：
（18×50－570）÷（50－20）
＝（900－570）÷30
＝330÷30
＝11（张）
所以判断正确。
【分析】此题属于鸡兔同笼问题，可以直接采用假设法解答；也可以看做含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为x，另一个未知数用含x的式子来表示，进而列方程求解即可。
16．√
【详解】用列表法也是可以解决鸡兔同笼问题的，说法正确。
全班42人去公园划船，租10只船正好坐满。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租的大船、小船各有多少只？
大船只数 小船只数 乘坐的总人数
9 1 48
8 2 46
7 3 44
6 4 42
5 5 40
4 6 38
3 7 36
2 8 34
1 9 32
故答案为：√
17．288；
；
【分析】在一个没有括号的算式里，如果只含同级运算，按照从左往右的顺序依次计算，如果含有两级运算，要先算乘除法，再算加减法；在一个有括号的算式里，要先算小括号里的，再算中括号里的，最后算括号外的。
（1）除以一个数（0除外）等于乘它的倒数。按照从左到右计算顺序计算。
（2）除以一个数（0除外）等于乘它的倒数。再按照乘法分配律逆运算计算a×c＋b×c＝（a＋b）×c。
（3）104＝100＋4，再按照乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行计算。
（4）先算小括号减法，再算中括号除法，最后算括号外的乘法。
【详解】（1）÷×39×14
＝
＝
＝288
（2）×＋÷4
＝
＝
＝
＝
（3）104×
＝（100＋4）×
＝
＝3＋
＝
（4） ×[（－）÷]
＝ ×[（－）÷]
＝×[÷]
＝×[×]
＝×
＝
18．30天
【分析】由甲队每天可以修，两队合修6天后，正好完成了。可得：甲乙两队1天合修了÷6，从而求出乙队每天修的量，用剩余的总量（1－）除以乙队每天修的量，即可得解。
【详解】（1－）÷（÷6－）
＝÷
＝30（天）
答：余下的由乙队单独修，还要30天才能修完。
【分析】本题主要考查简单的工程问题，解题的关键是求出乙队每天修的量。
19．72本
【分析】根据比可知，三层书架被平均分成了5＋4＋3＝12份，最上层占其中的5份，也就是30本，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法即可解答。
【详解】30÷＝30×＝72（本）
答：这个书架上一共放了72本书。
【分析】熟练掌握求已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法的解题方法是解题的关键。
20．见详解
【分析】由表格得出：通过大杯数量×容积＋小杯数量×容积计算出装果汁的总体积，按此方法计算到等于800毫升为止。据此解答即可。
【详解】
大杯个数 小杯个数 可以装果汁的毫升数
1 9 100＋60×9＝640
2 8 100×2＋60×8＝680
3 7 3×100＋60×7＝720
4 6 4×100＋60×6＝760
5 5 5×100＋60×5＝800
通过表格可知，需要大杯5个，小杯5个。
【分析】此题考查了鸡兔同笼问题，解决本题的关键是由表格得出：通过大杯数量×容积＋小杯数量×容积＝装果汁的总体积，据此计算即可。也可通过解方程或假设法来解答。
21．线段图见解析；白兔150只；黑兔250只
【分析】由题意可知：将黑兔的只数看成单位“1”，白兔只数是黑兔只数的，则总只数是黑兔只数的（1＋）是400只，根据分数除法的意义，用除法求出黑兔的只数，进而得出白兔的只数；据此画图并解答。
【详解】根据题意及分析画图如下：
黑兔：400÷（1＋）
＝400÷
＝250（只）
白兔：400－250＝150（只）
答：李叔叔饲养白兔有150只，黑兔有250只。
【分析】本题主要考查分数四则混合应用题，解题的关键是找准单位“1”，并找出与已知量对应的分率。
22．对18道；错3道
【分析】假设21道题全做对，则得21×5＝105分，这样就多出105－87＝18分；因为做对一题比做错一题多得5＋1＝6分，也就是做错18÷6＝3道题，进而得出做对题的数量。
【详解】假设21道题全做对。
答错：（21×5－87）÷（5＋1）
＝18÷6
＝3（道）
答对：21－3＝18（道）
答：他做对了18道题，答错了3道。
【分析】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答。
23．50千米/时
【分析】根据“速度＝路程÷时间”，用两地的距离除以甲、乙两车的相遇时间就是两车的速度之和，把两车的速度之和看作单位“1”，那么乙车的速度占，根据分数乘法的意义，用两车的速度之和乘就是乙车的速度。
【详解】270÷3×
＝90×
＝50（千米/时）
答：乙车的速度是50千米/时。
【分析】求出辆车的速度之和后，属于按比例分配问题，除按上述解答方法外，也可把两车的速度之和平均分成（4＋5）份，先用除法求出1份是多少，再用乘法求出5份是多少。
24．80千米
【分析】由题意可知：客车行驶（6－4）小时的路程，卡车行驶了4小时。根据速度×时间＝路程，求出卡车4小时行驶的路程（客车两小时行驶的路程），再根据路程÷时间＝速度，求出客车的速度即可。
【详解】40×4÷（6－4）
＝160÷2
＝80（千米/小时）
答：客车每小时行80千米。
【分析】明确：客车行驶（6－4）小时的路程，卡车行驶了4小时是解题的关键。
25．（1）8；30；（2）乙
【分析】（1）根据图示，一个水杯和一个暖瓶共38元；那么两个暖瓶和两个水杯共76元，即一个水杯为（84－76＝8）元，一个暖瓶为（38－8＝30）元。
（2）根据甲乙两个商场促销方式计算比较即可说明问题。
【详解】水杯单价：84－76＝8（元）
暖瓶单价：38－8＝30（元）
甲：38×80%×5
＝30.4×5
＝152（元）
乙：30×5＝150（元）
152＞150
答：选择乙商场购买更划算。
【分析】解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出所求量的合适的等量关系，需注意乙商场有5个水杯不用付费。
26．480千米
【分析】设返回的时间是x小时，根据等量关系：去时的路程＝返回时的路程，列方程求出返回的时间，最后根据路程＝速度×时间，计算出两地相距多少千米。
【详解】解：设返回的时间是x小时。
（x－1.2）×100＝80x
100x－120＝80x
100x－80x＝120
20x＝120
20x÷20＝120÷20
x＝6
80×6＝480（千米）
答：两地相距480千米。
【分析】本题解题的关键是根据等量关系：去时的路程＝返回时的路程，列方程解答。
27．6条；2条
【分析】根据题意，可知一共有46人，可以先假设他们乘坐大船x条，则乘坐小船（8－x）条，列出方程式为：6x＋5×（8－x）＝46，即可计算。
【详解】总人数：1＋45＝46（人）
解：设乘坐大船x条，则乘坐小船（8－x）条。
6x＋5×（8－x）＝46
6x＋40－5x＝46
x＋40＝46
x＋40－40＝46－40
x＝6
小船：8－6＝2（条）
答：大船6条，小船2条。
【分析】此题考查了学生对解决鸡兔同笼问题以及列方程的熟练掌握程度。
28．大人33人，孩子66人
【分析】两个孩子一餐吃1个面包，则一个孩子吃个面包。假设这99人都是大人，则一共吃面包99×2＝198（个）面包，比实际吃的面包数量多算了198－99＝99（个），这是因为把孩子看作大人，每个孩子多算了2－＝（个）面包，求几个孩子会多算99个？用除法计算即可求出孩子人数，继而求出大人人数。
【详解】99×2＝198（个）
198－99＝99（个）
孩子：99÷（2－）
＝99×
＝66（人）
大人：99－66＝33（人）
答：大人33人，孩子66人。
【分析】本题考查鸡兔同笼问题。采用假设法解题时，求出假设吃的面包数量与实际吃的面包数量之差是关键。

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