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第三单元 因数与倍数
易错点一：在一个乘法算式中，直接说某个乘数是因数，积是倍数。
判断:算式6×7=42中，6是因数，42是倍数。（ ）
【错误答案】正确
【错解分析】错误解答错误的原因是没有理解因数和倍数的意义和关系，因数和倍数是一对相互依存的概念，不能单独存在。
【正确答案】错误
【易错例题一】下面哪些数是12的因数？哪些数是18的因数？哪些数既是12的因数，又是18的因数？
1 2 3 4 6 12 18
【分析】根据因数和倍数的意义，当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。据此解答。
【详解】12的因数：1、2、3、4、6、12；
18的因数：1、2、3、6、18；
既是12的因数，又是18的因数：1、2、3、6。
【分析】此题是考查因数的意义，注意不要忽略a、b、c为非0自然数这点。
易错点二：误认为一个数的因数都比它本身小,一个数的倍数都比它本身大。
判断：一个数的因数都比它本身小,一个数的倍数都比它本身大。（ ）
【错误答案】正确
【错解分析】一个数的最大因数是它本身,一个数的最小倍数也是它本身。所以,一个数的因数不一定比它本身小,一个数的倍数也不一定比它本身大。
【正确答案】错误
【易错例题一】幼儿园里有一些小朋友（人数多于5），王老师拿了32颗糖，平均分给他们，正好分完。小朋友的人数最少是( )人，最多是( )人，还有可能是( )人。
【分析】根据求一个数因数的方法，找出32的因数，去掉小于或等于5的因数，据此解答。
【详解】32的因数有：1，2，4，8，16，32。
因为人数多于5人，所以小朋友的人数是8人、16人或32人。
幼儿园里有一些小朋友（人数多于5），王老师拿了32颗糖，平均分给他们，正好分完。小朋友的人数最少是8人，最多是32人，还有可能是16人。
【分析】熟练掌握求一个数的因数方法是解答本题的关键。
易错点三：不了解3的倍数的特征,导致判断错误。
判断：3、6、9是3的倍数,所以个位上是3、6、9的数都是3的倍数。（ ）
【错误答案】正确
【错解分析】错在没能正确掌握3的倍数的特征。由于在概括2和5的倍数的特征时,只注意到了个位,在概括3的倍数时,也会很自然地寻找个位上的数字的特征。但通过计算发现个位上是3、6、9的数不都是3的倍数,比如,13、16、26、29等。3的倍数的特征;一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数,这个数就是3的倍数。
【正确答案】错误
【易错例题一】一个四位数“1□3□”，既是3的倍数，又有因数5，这样的四位数共有（ ）个。
A．7 B．6 C．8 D．5
【分析】5的倍数特征：个位数是0或5；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；据此解答。
【详解】一个四位数“1□3□”，既是3的倍数，又有因数5，这个四位数的个位数是0或5。
当个位数是0时，1＋3＋0＝4
比4大的3的倍数有6、9、12…
6－4＝2
9－4＝5
12－4＝8
百位数可以是2、5、8，有3个；
当个位数是5时，1＋3＋5＝9
9是3的倍数，比9大的3的倍数有12、15、18…
9－9＝0
12－9＝3
15－9＝6
18－9＝9
百位数可以是0、3、6、9，有4个。
3＋4＝7（个）
一个四位数“1□3□”，既是3的倍数，又有因数5，这样的四位数共有7个。
故答案为：A
【分析】熟练掌握2、3、5的倍数的特征是解决此题的关键。
【易错例题二】在百数表里5的倍数上画“△”，2的倍数上画“○”。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
（1）画完后发现：个位上是（ ）的数是2的倍数，个位上是（ ）或（ ）的数是5的倍数。
（2）是（ ）的倍数的数是偶数，不是（ ）的倍数的数是奇数。
【分析】（1）根据找倍数的方法，先将百数表里5的倍数上画“△”，2的倍数上画“○”，再分析出2和5的倍数特征；
（2）根据奇数和偶数的概念，直接填空。
【详解】作图如下：
（1）画完后发现：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，个位上是0或5的数是5的倍数。
（2）是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数。
【分析】本题考查了2和5的倍数，有一定归纳总结能力是解题的关键。
易错点四：认为所有的偶数都是合数。
判断：所有的偶数都是合数。（ ）
【错误答案】正确
【错解分析】因为2是偶数,但不是合数,所以“所有的偶数都是合数”的说法是错误的。
【正确答案】错误
【易错例题一】一个三角形的两边长分别为3分米和8分米，如果第三边的长度为质数，那么第三边的长度是( )分米。
【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此可知，第三边的长度小于（8＋3）分米，第三边的长度大于（8－3）分米，然后推出5到11之间的质数即可。
【详解】8＋3＝11（分米）
8－3＝5（分米）
5到11之间的质数是7，所以第三边的长度是7分米。
【分析】本题考查了三角形的三边关系以及质数的认识。
易错点五：把一个数分解质因数时,质因数相乘后写在了等号的左边。
把15分解质因数。
【错误答案】3×5=15
【错解分析】错误解答错在没能正确把握什么是分解质因数,错误地写成乘法算式。把一个数用几个质因数相乘的形式表示出来才是分解质因数。
【正确答案】15=3×5
【易错例题一】分解质因数。
44 78 105
【分析】把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数，据此解答。
【详解】44＝2×2×11
78＝2×3×13
105＝3×5×7
【易错例题二】五（1）的同学在学习《蒜叶的生长》时，栽种了几行大蒜，每行的棵数一样多，四位同学一起数大蒜的棵数，只有一个人数对了，你知道是谁吗？你是怎样想的？请加以说明。
姓名 佳峰 宇阳 言丽 玉梁
棵数 41 43 45 47
【分析】因为大蒜的行数最少是两行，行数×棵数＝大蒜的数量，由此可知，大蒜的数量是合数，不是质数，据此判断。
【解答】因为41、43、47都是质数，所以佳峰、宇阳、玉梁都数错了；
45是合数，45＝5×9＝3×15，所以言丽数对了。
【分析】明确大蒜的棵数是合数是解题的关键。
易错点六：对题意分析不清,该用乘法计算时,误用了加法计算。
把长为20厘米、宽为16厘米的长方形剪成大小完全相同的小正方形(边长都是整厘米),且面积尽可能大,纸没有剩余,至少可以剪多少个
【错误答案】
【错解分析】错误解答错在最后计算剪成的总个数时,将每行可以剪成的个数加上每列可以剪成的个数。将大长方形剪成小正方形时,因为20和16的最大公因数是4,所以每个小正方形的边长就是4厘米,20÷4=5(个)表示大长方形的长是小正方形的边长的5倍,这样就可以得出每行可以剪5个小正方形。而16÷4=4(个)表示大长方形的宽是小正方形边长的4倍,得出的是每列可以剪4个小正方形。因为每行可以剪5个正方形,可以剪4列,所以用乘法来计算,5×4=20(个)。
【正确答案】
【易错例题一】学校为举办运动会布置场地，如图，在长方形操场每条边上以相等的距离插上彩旗（四个角上都要插），要求两面彩旗之间的距离尽可能长。请你帮总务处王老师算一算：每隔( )米要插一面彩旗，一共需要准备( )面彩旗。

【分析】在操场每条边上以相等的距离插上彩旗，要彩旗之间的距离尽可能长，那么四个顶点上各有一面彩旗，而且每两面彩旗之间的距离是长和宽的最大公因数，先求出96和54的最大公因数，然后用96除以最大公因数，求出一条长边上可以插的面数，进而求出2条长可以插的面数；同理求出两条宽上可以插的面数，然后把它们相加即可。
【详解】96＝2×2×2×2×2×3
54＝2×3×3×3
2×3＝6
所以，96和54的最大公因数是6，每个间隔是6米。
96÷6×2
＝16×2
＝32（面）
54÷6×2
＝9×2
＝18（面）
32＋18＝50（面）
所以，每隔6米要插一面彩旗，一共需要准备50面彩旗。
【分析】本题考查了根据求公因数的方法解决实际问题的能力。
【易错例题二】体育老师买来60瓶可乐和72瓶矿泉水，把它们分别平均分给了几个训练小组，正好全部分完。请你算一算最多有几个训练小组？每个小组分得两种饮料各多少瓶？
【分析】求出60和72的最大公因数，即为有几个训练小组；分别用可乐和矿泉水的瓶数除以最大公因数，即可求出两种饮料各多少瓶。
【详解】60＝2×2×3×5
72＝2×2×2×3×3
60和72的最大公因数是2×2×3＝12。
60÷12＝5（瓶）
72÷12＝6（瓶）
答：最多有12个训练小组；每个小组分得可乐5瓶；矿泉水6瓶。
【分析】两个数的最大公因数是两个数的公有质因数的连乘积。
易错点七：不会找两个数的最小公倍数,导致解答错误。
填空:一个数既是6的倍数,又是10的倍数,这个数最小是( )。
【错误答案】60
【错解分析】错误解答错在将6和10直接相乘了,没有掌握求两个数最小公倍数的方法。求6和10的最小公倍数,我们可以分两步来完成,第一步,先写出10的倍数:10,20,30,40,50,60…第二步,在10的倍数中,按次序(从小到大)来找6的倍数,第一个找到的数就是6和10的最小公倍数。因为10不是6的倍数,20也不是6的倍数,30是6的倍数,所以30是6和10的最小公倍数。
【正确答案】30
【易错例题一】一张纸条长36厘米，从左起先每隔3厘米点一个点，再从左起每隔4厘米点一个点，纸条的两端都不点，最后纸条上一共有( )个点。
【分析】每隔3厘米点一个点，一共可点：36÷3＝12（个）
每隔4厘米点一个点，一共可点：36÷4＝9（个）
因为3和4在36以内的公倍数为：12，24，36，所以在纸条上12cm和24cm处的点重合了，那么只能算一个，因为纸条的两端都不点，在36cm处的两个点都要去掉；根据植树问题模型，把总点数减去这些重合和不能算的点即可。
【详解】由分析可知：
36÷3＝12（个）
36÷4＝9（个）
12＋9－1－1－2＝17（个）
所以最后纸条上一共有17个点。
【分析】本题考查植树问题模型和公倍数的灵活运用，学生需熟练掌握如何找两个数的公倍数。
【易错例题二】“阳光明媚春三月，正是踏青好时节”，五（6）班同学在一次春游野餐时，每2人合用了1个饭碗，每3个人合用1个菜碗，每4个人合用1个汤碗，野餐共用了78个碗，你知道这次参加野餐的有多少人吗？
【分析】根据题意，每2人、每3人、每4人分别分到合用1个饭碗，1个菜碗，1个汤碗，需要将他们整合一起，就是求最小的人数也就是一组人数，使得它们可以同时满足饭碗、菜碗、汤碗的数量，即求出2、3、4的最小公倍数；
再用最小人数除以2、除以3、除以4，再把它们的商相加，求出每组用碗需要的数量；
再用野餐用碗的数量除以每组用碗的数量，求出一共分几组，再用一组人数×几组，即可求出有多少人。
【详解】2、3、4的最小公倍数是：2×2×3＝12
12÷2＋12÷3＋12÷4
＝6＋4＋3
＝10＋3
＝13（个）
78÷13×12
＝6×12
＝72（人）
答：这次参加野餐的有72人。
【分析】解答本题的关键是先求出每组的人数，利用求几个数的最小公倍数的方法进行解答。
一、选择题
1．哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。下面的式子中反映这个猜想的是（ ）。
A．4＝1＋3 B．13＝2＋11 C．54＝3＋51 D．36＝7＋29
2．我们学过的很多数学知识之间有着密切的联系，下面（ ）不能正确表示它们之间的关系。
A． B．
C． D．
3．把一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸，剪成同样大小的正方形，最后没有剩余。每个正方形的边长最大是（ ）厘米。
A．2 B．4 C．8 D．6
4．将分别标有数字2、3、4、5、6、7的六个同样小球放在一个不透明的袋子里，从袋子里任意摸出一个球，摸到标有（ ）的球可能性最小。
A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数
5．10÷5＝a，10和a的最小公倍数是（ ）。
A．a B．10 C．5 D．10a
6．一个四位数“1□3□”，既是3的倍数，又有因数5，这样的四位数共有（ ）个。
A．7 B．6 C．8 D．5
7．用若干个长5厘米、宽3厘米的长方形拼成一个正方形，这个正方形的边长至少是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。
A．8，64 B．15，225 C．30，900
8．一筐苹果，平均分给6个人，最后剩下2个；平均分给9个人，最后还是剩下2个。这筐苹果最少有（ ）个。
A．50 B．38 C．20 D．18
二、填空题
9．如果b＝5a（a、b都是不为0的自然数），那么a与b的最小公倍数是( )。
10．一个数的最小的倍数是36，这个数是( )，150以内它的倍数有( )，把这个数分解质因数是( )。
11．五年级学生分组进行活动，五年级一班每组6人或7人都正好分完，五年级一班最少有( )名学生；五年级二班每组5人或8人都剩下1人，五年级二班最少有( )人。
12．同学们参加拓展训练。每排10人或每排12人，最后都剩5人。至少有( )人参加军训。
13．一个四位数，它个位上的数是最大的一位数，十位上的数是最小的合数，百位上的数是合数且是奇数，千位上最小的质数，这个四位数是( )。
14．如果a÷b＝36，那么a和b的最小公倍数是( )，把36分解质因数是( )。
15．两根彩带，分别长48厘米和32厘米，把它们剪成长度一样的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是( )厘米，一共剪成了( )根短彩带。
16．用0、1、2、3四张数字卡片，可以摆出( )个不同的三位数，其中3的倍数有( )个。
三、判断题
17．，1.2是倍数，0.3和4是因数。( )
18．13和17没有公因数，只有公倍数。( )
19．5个连续奇数从小到大依次排列，若它们的和是35，则正中间的数是7。( )
20．既是2的倍数又是5的倍数的数，个位上必定是1。( )
四、计算题
21．求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。
8和2 12和20 7和8 15和75
五、解答题
22．工程队在一条道路的两边安装路灯，原来每隔12米装一盏路灯，后又改为每隔15米装一盏，改动的过程中发现连两端共有32盏路灯不需移动，这条道路长多少米？
23．学校买来了若干只篮球。如果把这些篮球平均分给3个班，则余2只：如果平均分给4个班，则余3只：如果平均分给5个班，则余4只。学校至少买来多少只篮球？
24．甲、乙两人做抽卡片游戏，每人从卡片2、4、6、7中任意抽取一张。如果它们的和能被2整除，则甲获胜；如果它们的和能被3整除，则乙获胜。如果和既能被2整除又能被3整除，或者既不能被2整除又不能被3整除则重来。谁胜的可能性大？为什么？
25．“戴口罩，勤洗手，常通风“是防疫的重要措施之一。李老师领回48瓶酒精喷雾和36瓶免洗抑菌洗手液，刚好平均分给二年级每个班且没有剩余。二年级最多可能有几个班？每个班分别分得多少瓶酒精喷雾和免洗抑菌洗手液？
26．甲、乙两人到图书馆去借书，甲每4天去一次，乙每5天去一次，如果7月20日他们两人在图书馆相遇，那么他们下一次同时到图书馆是几月几日？
27．在路的一边每隔25米安装一盏路灯，从头到尾共安装41盏路灯。现在要把间隔距离改为20米，有多少盏路灯不需要移动？
28．五年级1班排队做课间操，若每排站8人，则多2人；若每排站10人，则多2人，这个班至少有多少人？
29．端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习俗。今年端午节，小红家包了许多粽子，妈妈先把30个肉粽平均分给几家邻居，接着又把18个蜜枣粽平均分给了这几家，都正好分完。这些粽子最多分给了几家邻居？
30．把一张长18厘米、宽12厘米的长方形纸裁剪成大小相同的正方形，要求正方形尽可能大且纸没有剩余。一共可以剪多少个这样的正方形？
参考答案
1．D
【分析】根据质数的定义，除了1和本身外，没有其它因数的数叫质数；根据题意“这个猜想的内容是任何大于2的偶数都是两个质数之和”进行判断逐项分析即可。
【详解】A．“4＝1＋3”中1既不是质数，也不是合数，不符合猜想；
B．“13＝2＋11”中13是奇数，不是偶数，不符合猜想；
C．“54＝3＋51”中51是合数，不是质数，不符合猜想；
D．“36＝17＋19”中36是偶数，7和29是质数，符合猜想。
哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。下面的式子中反映这个猜想的是36＝7＋29。
故答案为：D
【分析】此题考查了质数的意义以及拓展应用，要熟练掌握熟练掌握质数的意义是解答本题的关键。
2．B
【分析】A．等式包含方程，方程是等式的一种。据此解答；
B．根据质数、奇数的意义，一个自然数，如果只有1和它的倍数两个因数，这样数叫做质数；不是2的倍数的数叫做奇数。据此解答；
C．一个非0的自然数最大的因数和最小的倍数都是它本身。据此解答；
D．两个数的公有因数叫做这两个数的公因数，据此求解。
【详解】A．表示方程是特殊的等式，关系图表示正确；
B．2是质数，但是2不是奇数，所以关系图表示错误；
C．a的最大因数和最小倍数相等，关系图表示正确；
D．如：a＝2×2×3×5，b＝2×5×7，a的因数有1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60；b的因数有1、2、5、7、10、14、35、70；
它们的公有的因数有1、2、5、10；关系图表示正确。
故答案为：B
【分析】本题考查了方程与等式的关系、因数倍数质数、奇数以及公因数的意义。
3．B
【分析】求每个正方形边长最大，就是求12和8的最大公因数；根据求最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积就是这两个数的最大公因数，据此解答。
【详解】12＝2×2×3
8＝2×2×2
12和8的最大公因数是2×2＝4
正方形边长最大是4厘米。
把一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸，剪成同样大小的正方形，最后没有剩余。每个正方形的边长最大是4厘米。
故答案为：B
【分析】熟练掌握求两个数最大公因数的方法是解答本题的关键。
4．D
【分析】在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数；一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小。所以合数最少，摸到标有合数的球可能性最小。
【详解】奇数有3、5、7，共3个；偶数有2、4、6，共3个；质数有2、3、5、7，共4个；合数有4、6，共2个。
2＜3＜4
合数最少，摸到标有合数的球可能性最小。
故答案为：D
【分析】本题主要考查可能性大小的判断，理解不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关。
5．B
【分析】求两个数的最小公倍数，就是两个数的公有质因数与每一个独有质因数的连乘积；如果两个数成倍数关系，较大的数是两个数的最小公倍数；如果两个数为互质数，两个的乘积就是这两个数的最小公倍数，据此解答。
【详解】因为10÷5＝a，所以10÷a＝5，10和a成倍数关系，10和a的最小公倍数是10。
10÷5＝a，10和a的最小公倍数是10。
故答案为：B
【分析】熟练掌握求两个数的最小公倍数的方法是解答本题的关键。
6．A
【分析】5的倍数特征：个位数是0或5；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；据此解答。
【详解】一个四位数“1□3□”，既是3的倍数，又有因数5，这个四位数的个位数是0或5。
当个位数是0时，1＋3＋0＝4
比4大的3的倍数有6、9、12…
6－4＝2
9－4＝5
12－4＝8
百位数可以是2、5、8，有3个；
当个位数是5时，1＋3＋5＝9
9是3的倍数，比9大的3的倍数有12、15、18…
9－9＝0
12－9＝3
15－9＝6
18－9＝9
百位数可以是0、3、6、9，有4个。
3＋4＝7（个）
一个四位数“1□3□”，既是3的倍数，又有因数5，这样的四位数共有7个。
故答案为：A
【分析】熟练掌握2、3、5的倍数的特征是解决此题的关键。
7．B
【分析】根据题意，拼成的正方形的边长至少是5和3的最小公倍数。再根据“正方形面积＝边长×边长”求出它的面积即可。
【详解】5×3＝15（厘米）
15×15＝225（平方厘米）
所以，这个正方形的边长至少是15厘米，面积是225平方厘米。
故答案为：B
【分析】本题考查了最小公倍数和正方形的面积，掌握最小公倍数的求法、正方形的面积公式是解题的关键。
8．C
【分析】由题意可知：若将这筐苹果的个数减去2后，则苹果的个数既是6的倍数，又是9的倍数。求这筐苹果最少有多少个，可以先求6和9的最小公倍数，再加2。
【详解】
6和9的最小公倍数是3×2×3＝18。
18＋2＝20（个）
所以，这筐苹果最少有20个。
故答案为：C
9．b
【分析】当两个数成倍数关系时，较大数就是它们的最小公倍数。据此解答即可。
【详解】b＝5a（a、b都是不为0的自然数），说明b是a的倍数，b是较大数，a是较小数，所以a与b的最小公倍数是b。
10． 36 36、72、108、144 36＝2×2×3×3
【分析】根据“一个数的最大约数和最小倍数都是它本身”，得出这个数是36，150以内它的倍数，可以用36分别乘1、2、3…，乘积不大于150即可，再把36写成几个质数相乘的形式即为分解质因数。
【详解】一个数的最大约数和最小倍数都是它本身，所以这个数是36；
150以内它的倍数有：
36×1＝36
36×2＝72
36×3＝108
36×4＝144
把这个数分解质因数是36＝2×2×3×3。
综上所述：一个数的最小的倍数是36，这个数是36，150以内它的倍数有36、72、108、144，把这个数分解质因数是36＝2×2×3×3。
【分析】此题主要考查约数与倍数的意义及分解质因数的方法，明确一个数的最大约数和最小倍数都是它本身是解题的关键。
11． 42 41
【分析】根据求最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，两个数的最小公倍数是两个数的乘积。求五年一班最少人数，就是求6和7的最小公倍数；求五年级二班最少人数，就是5和8的最小公倍数再加上1，据此解答。
【详解】6和7是互质数，最小公倍数为：6×7＝42人，五年一班最少有42人；
5和8是互质数，最小公倍数是：5×8＝40，40＋1＝41（人），五年二班最少有41人。
五年级学生分组进行活动，五年级一班每组6人或7人都正好分完，五年级一班最少有42人；五年级二班每组5人或8人都剩下1人，五年级二班最少有41人。
【分析】熟练掌握求最小公倍数的方法是解答本题的关键。
12．65人
【分析】由题意可知：总人数减去5得到的数既是10的倍数又是12的倍数，那么就是10和12的公倍数，又问至少有多少人参加，所以先求出10和12的最小公倍数，然后再加5即可求解。
【详解】
10和12的最小公倍数为：2×5×6＝60
60＋5＝65（人）
所以至少有65人加军训。
【分析】本题考查最小公倍数，学生需掌握用短除法求最小公倍数。
13．2949
【分析】最大的一位数是9；根据合数的意义：在自然数中，除了1和它本身还有别的因数的数是合数；最小的合数是 4；百位上的数是合数且是奇数，即百位上是9，在自然数中，除了1和它本身，没有别的因数的数是质数，最小的质数是2，由此即可解答。
【详解】由分析可知：这个四位数是：2949。
【分析】本题主要考查质数、合数的意义，熟练掌握它们的意义并灵活运用。
14． a 36＝2×2×3×3
【分析】根据题意：a÷b＝3，a和b成倍数关系；如果两个数是倍数关系，那么两个数中较大数是它们的最小公倍数，再根据分解质因数的方法：把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数；据此解答。
【详解】a÷b＝36，也就是a是b的倍数，所以a和b的最小公倍数是a。
36＝2×2×3×3
如果a÷b＝36，那么a和b的最小公倍数是a，把36分解质因数是36＝2×2×3×3。
【分析】熟练掌握求最小公倍数的方法以及分解质因数的方法是解答本题的关键。
15． 16 5
【分析】“两根长度分别是48厘米、32厘米的彩带，把它们剪成长度一样的短彩带，且没有剩余”，要剪的长度就是48和32的公因数，要使每根短彩带最长可以是多少，要剪的长度就是48和32的最大公因数，求出最大公因数，再除以这两根彩带长度的和就是一共可剪成的段数。据此解答。
【详解】48＝2×2×2×2×3
32＝2×2×2×2×2
48和32的最大公因数：2×2×2×2＝16
（48＋32）÷16
＝80÷16
＝5（段）
所以，每根短彩带最长可以是16厘米，这样一共可以剪成5段。
【分析】本题考查的是公因数的应用，重点是理解每根短彩带最长应是48和32的最大公因数。
16． 18 10
【分析】要摆出不同的三位数，可以选择0、1、2三张卡片，摆出120、102、210、201共四个不同的三位数；可以选择0、1、3三张卡片，摆出130、103、310、301四个不同的三位数；可以选择0、2、3三张卡片，摆出230、203、320、302共四个不同的三位数；也可以选择1、2、3三张卡片，摆出123、132、213、231、312、321共六个不同的三位数。4＋4＋4＋6＝18，则可以摆出18个不同的三位数。
3的倍数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此可知，上面的18个三位数中，用卡片0、1、2或1、2、3组成的三位数是3的倍数。4＋6＝10，则3的倍数有10个。
【详解】通过分析，用0、1、2、3四张数字卡片，可以摆出18个不同的三位数，其中3的倍数有10个。
【分析】本题考查了排列组合问题和3的倍数的特征。用列举法按照一定的规律，找出不同的三位数是解题的关键。
17．×
【分析】根据因数和倍数的意义，因数和倍数是在非0自然数范围内进行研究，以此解答。
【详解】因为，所以，只是1.2能被0.3和4除尽，不是整除；
倍数是相对应整数而言的，所以原题说法错误；
故答案为：
【分析】此题的解答关键是明确因数和倍数的意义，以及因数和倍数的研究范围是在非0自然数范围内。
18．×
【分析】根据互质数的特征可知，13和17是互质数，它们的公因数只有1，不是没有公因数；除0外，任意两个自然数都有无数个公倍数，据此判断。
【详解】13的因数：1，13。
17的因数：1，17。
13和17的公因数只有1，而不是没有公因数，所以原题说法错误；
故答案为：×
19．√
【分析】根据奇数的意义和奇数的排列规律，相邻的两个奇数相差2；根据平均数的意义，35÷5＝7得到中间的数，据此解答即可。
【详解】35÷5＝7，即中间的数是7
所以原题说法正确。
故答案为：√
【分析】此题主要考查奇数的意义和排列规律，根据求平均数的方法解答即可。
20．×
【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数，5的倍数特征：个位是0、5的数是5的倍数，据此即可知道既是2的倍数，又是5的倍数，它的个位是0，据此即可判断。
【详解】由分析可知：
既是2的倍数又是5的倍数的数，个位上必定是0，原说法错误。
故答案为：×
【分析】本题主要考查2和5的倍数特征，熟练掌握它们的特征并灵活运用。
21．2，8；4，60；1，56；15，75
【分析】成倍数关系的两个数，其中的较小数就是它们的最大公因数，较大数就是它们的最小公倍数；如果两个数是互质数，则它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
用质因数分解法可以求两个数的最大公因数和最小公倍数。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这两个数的最大公因数；全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这两个数的最小公倍数。
【详解】（1）8是2的倍数，则8和2的最大公因数是2，最小公倍数是8。
（2）12＝2×2×3
20＝2×2×5
12和20的最大公因数是2×2＝4，最小公倍数是2×2×3×5＝60。
（3）7和8是互质数，则7和8的最大公因数是1，最小公倍数是7×8＝56。
（4）75是15的倍数，则它们的最大公因数是15，最小公倍数是75。
22．1860米
【分析】根据题意，求出12和15的最小公倍数，就是两路灯之间的距离；根据求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个独有质因数的连乘积，就是这两个数的最小公倍数，据此求出两路灯之间的距离多少米；根据植树问题：由于两端都安装路灯，间距数＝棵数－1，即间距：32－1＝31（个），再用两路灯之间的距离×间距，即可求出这条道的长。
【详解】12＝2×2×3
15＝3×5
12和15的最小公倍数是：2×2×3×5＝60
两路段的间距是60米；
60×（32－1）
＝60×31
＝1860（米）
答：这条道路长1860米。
【分析】本题考查植树问题和最小公倍数的求法，关键明确，12和15的最小公倍数就是两路段之间的距离。
23．59只
【分析】即3、4、5的公倍数，如果把这些足球平均分给3个班，则余2只；如果把这些足球平均分给4个班，则余3只，如果平均分给5个班，则余4只。也可以理解为如果把这些足球平均分给3个班，少1只，如果把这些足球平均分给4个班，少1只，如果把这些足球平均分给5个班，少1只，即求3、4和5的最小公倍数少1，先求出3、4、5的最小公倍数，然后减去1，然后进一步解答即可。
【详解】3，4、5的最小公倍数是
则买来篮球：（只）
答：学校至少买来59只篮球。
【分析】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答。
24．甲获胜可能性大；原因见详解
【分析】先把任意两个数的和列出来，看一共有几种情况，再看能被2整除和能被3整除的数的个数，再进行比较，个数越多，获胜的可能性越大，据此解答。
【详解】2＋4＝6
2＋6＝8
2＋7＝9
4＋6＝10
4＋7＝11
6＋7＝13
甲获胜的数字有6，8，10，一共3个；
乙获胜的数字有6，9，一共2个；
和既能被2整除又能被3整除的数字没有，既不能被2整除，又不能被3整除的数有11，13一共2个。
3＞2，甲获胜的可能性大于乙获胜的可能性。
答：甲获胜的可能性大，因为几个数字任意抽取一张，和能被2整除的可能性大于和能被3整除的可能性。
【分析】本题考查可能性大小，明确可能性的大小与数量的多少有关是解答本题的关键。
25．12个；4瓶酒精喷雾；3瓶免洗抑菌洗手液
【分析】先找出48和36的最大公因数，最大公因数就是二年级最多有多少个班；用48、36分别除以最大公因数即可求出每个班分别分得多少瓶酒精喷雾和免洗抑菌洗手液。
【详解】48＝2×2×2×2×3
36＝2×2×3×3
48和36的最大公因数是：2×2×3＝12
48÷12＝4（瓶）
36÷12＝3（瓶）
答：二年级最多可能有12个班，每个班分别分得4瓶酒精喷雾和3瓶免洗抑菌洗手液。
【分析】本题主要考查最大公因数的实际应用。
26．8月9日
【分析】求下一次都到图书馆是几月几日，先求出甲、乙再次都到图书馆所需要的天数，也就是4和5的最小公倍数，根据求最小公倍数的方法，求出4和5的最小公倍数，所以，7月20日甲、乙在图书馆相遇，再过4和5的最小公倍数的天数，也就是下一次都到图书馆是几月几日。
【详解】4和5是互质数，4和5最小公倍数是4×5＝20
31－20＝11（天）
20－11＝9（天）
剩下的9天是8月份的，即8月9日。
答：他们下一次同时到图书馆是8月9日。
【分析】熟练掌握求两个数的最小公倍数的方法是解答本题的关键。
27．11盏
【分析】由于两端都有灯，即间距数＝棵数－1，即间距：41－1＝40（个），由于一个间距是25米，此时的路长是：40×25＝1000米；根据题意，不需要移动的是25米和20米的公倍数的路灯，即100米倍数的路灯不移动，也就是求出每隔100米路灯的盏数，加上开头的那一盏即可。
【详解】41－1＝40（个）
40×25＝1000（米）
25＝5×5；20＝2×2×5
25和20的最小公倍数是：5×5×2×2＝100
1000÷100＋1
＝10＋1
＝11（盏）
答：有11盏路灯不需要移动。
【分析】本题的关键是求出什么样的路灯不移动，然后再按照两端都栽树的方法进行计算即可。
28．42人
【分析】根据题意，求出8和10的最小公倍数，再加上2即可；用质因数分解法可以求两个数的最小公倍数，全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这两个数的最小公倍数；据此解答。
【详解】8＝2×2×2
10＝2×5
所以8和10的最小公倍数是：
2×2×2×5
＝4×2×5
＝8×5
＝40
40＋2＝42（人）
答：这个班至少有42人。
【分析】此题考查了最小公倍数的应用，解答可以用质因数分解法，也可以用短除法。
29．6家
【分析】由题意“30个肉粽平均分给这几家和18个蜜枣粽平均分给这几家都正好分完”最多分给了几家邻居可知：实际上是在求30和18的最大公因数，先把30和18进行分解质因数，根据求两个数的最大公因数的方法：即这两个数的公有质因数的连乘积；进行解答即可。
【详解】30＝2×3×5
18＝2×3×3
18和30的最大公因数：2×3＝6
答：这些粽子最多分给了6家邻居。
【分析】解答该题关键是会求两个数的最大公因数，并用它解决实际问题。
30．6个
【分析】要使正方形尽可能大且没有剩余，则正方形的边长是18和12的最大公因数，据此求出正方形的边长，用18除以边长得到列数，用12除以边长得到行数，行乘列即可求出总个数。
【详解】18＝2×3×3
12＝2×2×3
18和12的最大公因数是：2×3＝6
（18÷6）×（12÷6）
＝3×2
＝6（个）
答：一共可以剪6个这样的正方形。
【分析】此题考查了灵活应用求最大公因数的方法来解决实际问题的能力。

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