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3.11 不规则物体体积的计算
可以把橡皮泥捏压成规则的长方体或正方体形状，再测量物体边长，利用长方体或正方体体积计算公式进行计算。
可以用排水法求它的体积。
不规则物体体积=水面上升后的体积 水面上升前的体积
乒乓球不能用排水法来测量，因为乒乓球会浮在水面上。
冰块不能用排水法来测量，因为冰块会融化在水中。
用排水法测量不规则物体的体积需要利用量筒或量杯记录下放入不规则物体前后水位的刻度，水面上升的部分水的体积就是不规则的物体的体积。
例1：把一块不规则石块没入一个棱长为8厘米的装有水的正方体容器中（水未溢出），水面上升了0.5厘米，这块石块的体积是（ ）立方厘米。
A．4 B．16 C．32
答案：C
分析：由题意可知，石块的体积等于上升部分水的体积，利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出这块石块的体积，据此解答。
详解：8×8×0.5
＝64×0.5
＝32（立方厘米）
所以，这块石块的体积是32立方厘米。
故答案为：C
例2：明明在研究如何得到不规则图形的体积时、做了如下的实验。观察他的实验过程，可以得到的结论是：放入石块后，水面升高了( )厘米，这个石块的体积是( )立方厘米。（图中单位：厘米）
答案： 5 750
分析：用放入石块的高度15厘米减去放入前的书面高度10厘米即可求出水面的升高高度；可以先求出石块和水的总体积再减去水的体积进行计算，长方体的体积＝长×宽×高。
详解：15－10＝5（厘米）
15×15×10－15×10×10
＝2250－1500
＝750（立方厘米）
水面升高了5厘米，石块的体积是750立方厘米。
例3：想一想，填一填。
(1)鸡蛋放入前，水的体积是( )mL。
(2)鸡蛋放入后，水和鸡蛋的体积是( )cm3。
(3)鸡蛋的体积是( )cm3。
(4)我发现：求不规则物体的体积可以采用排水法，水面( )的那部分水的体积就是不规则物体的体积。
答案：(1)300(2)360(3)60(4)上升
分析：（1）观察第一个杯子里面水的体积是300mL，即是鸡蛋放入前水的体积；
（2）放入后，水和鸡蛋的体积是360mL，根据1mL＝1cm3，换算单位即可；
（3）用放入后水和鸡蛋的体积减去放入前水的体积即可求出鸡蛋的体积；
（4）通过以上分析可得，利用排水法，水面上升那部分水的体积就相当于不规则物体的体积。
详解：（1）鸡蛋放入前，水的体积是300mL。
（2）360mL＝360cm3
鸡蛋放入后，水和鸡蛋的体积是360cm3。
（3）360－300＝60（mL）＝60（cm3）
鸡蛋的体积是60cm3。
（4）我发现：求不规则物体的体积可以采用排水法，水面上升的那部分水的体积就是不规则物体的体积。
例4：我们学习了用“排水法”测量不规则物体的体积，其中蕴含了转化的数学思想。( )
答案：√
分析：我们在测量不规则物体的体积时，常常把不规则物体转化为规则物体后进行计算。据此解答即可。
详解：由分析可知：
用“排水法”测量不规则物体的体积，其中蕴含了转化的数学思想。原题干说法正确。
故答案为：√
：基础过关练
一、选择题
1．如图是测量一颗铁球体积的过程。
①将400mL的水倒进一个容量为600mL的杯子中；
②将四颗相同的铁球放入水中，结果水没有满；
③再将一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出。
根据以上过程，推测这样一颗铁球的体积大约在（ ）。
A．50cm3～60cm3 B．30cm3～40cm3
C．40cm3～50cm3 D．20cm3～30cm3
2．观察下图。小球和珊瑚的体积相比，（ ）。

A．小球大 B．珊瑚大 C．一样大 D．无法确定
3．一个长5分米、宽4分米、高3分米的长方体玻璃容器的容积是（ ）升，在这个容器中注入40升的水，把一块石头完全浸没在水中，水位上升了5厘米，这块石头的体积是（ ）立方分米。
A．10；40 B．40；60 C．60；10
4．如图所示，大圆球的体积是（ ）立方厘米。

A．70 B．50 C．40 D．20
5．下图是测量一颗铁球体积的过程：
①将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中；
②将四颗相同的铁球放入水中，结果水没有满；
③再加一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出。
根据以上过程，推测这样一颗铁球的体积大约在（ ）。
A．60cm3以上，70cm3以下 B．50cm3以上，60cm3以下
C．40cm3以上，50cm3以下 D．30cm3以上，40cm3以下
二、填空题
6．一个沙坑长4米，宽1.5米，深0.6米，这个沙坑的占地面积是( )平方米，容积是( )立方米。
7．一台微波炉的说明书上标明炉腔内部尺寸为400mm×250mm×300mm，它的容积是( )L。
8．把120升水倒入一个长为6分米、宽为5分米的长方体容器里，水面的高度是( )分米。
9．小聪在长方体玻璃容器中摆了若干个体积为1立方厘米的小正方体，如图所示。这个玻璃容器的容积是 立方厘米。
10．有一个长方体玻璃鱼缸，长50厘米，宽34厘米，高25厘米。这个鱼缸前面的玻璃破损，需重新配一块( )平方厘米的玻璃；这个鱼缸最多能注入( )升的水。
三、判断题
11．一瓶酸奶大约有250毫升。( )
12．一个无盖的正方体铁皮容器，可装水1升，造这个容器至少需要5平方米铁皮。( )
13．一瓶眼药水5毫升，现有2.5升眼药水，可以装满2瓶。( )
14．一个杯子能装水1.5dm3，我们就说杯子的体积是1.5dm3。( )
15．一种牛奶盒的标志上印有“250mL”的字样，表示它的体积是250mL。( )
：培优提升练
四、计算题
16．请你计算西红柿的体积。
17．观察下图，计算鱼的体积。
五、解答题
18．学习了“测量不规则物体体积”后，李浩和王乐两位同学用长方体玻璃容器测量一个土豆的体积。实验步骤如下：
（1）测量并记录长方体容器底面的长为8厘米，宽为6厘米，高为10厘米；
（2）把土豆放入容器中，往容器中注水，直到把土豆完全浸没，测量记录此时水面高度为7厘米；
（3）取出容器中的土豆，测量记录此时水面高度为5厘米；
（4）根据测量数据计算得出土豆的体积。
你能根据这两位同学的实验算出这个土豆的体积吗？
19．在一个棱长20分米的正方体水缸中，放入一块不规则的铁块（铁块完全浸入水中）后。水面高度从12分米上升到17分米，请问，这个铁块的体积是多少立方米？
20．一个长方体玻璃容器（如下图），从里面量得长8dm，宽5dm，高6dm。先向容器内注入144L水，再往容器内放一块假山石，假山石完全浸没在水中，这时量得水的深度是46cm。
（1）这个长方体玻璃容器的占地面积是多少平方分米？
（2）这个假山石的体积是多少立方分米？
（3）还需要注入多少升水才能把容器全部注满？
21．下图中的长方体容器底面长为7cm，宽为4cm，如果要用排水法实验求一个不规则石块的体积，在实验中需要记录哪些数据？

22．一个无水观赏鱼缸（如图），里面放有一块高为38厘米，体积为4200立方厘米的假石山。如果水管以每分12升的流量向鱼缸内注水，那么至少要多长时间才能将假石山完全淹没？

23．如图，一个长方体无盖的玻璃容器，从里面量长、宽、高分别是12厘米、10厘米、8厘米，容器中倒入480毫升的水。将一块珊瑚石全部浸入水中，水面离容器口还有1厘米。求投入的这块珊瑚石的体积是多少？
1．C
分析：先根据进率1mL＝1cm3，将400mL换算成400cm3，600mL换算成600cm3；
根据题意，将4颗相同的铁球放入水中，结果水没有满，可知4个铁球的体积要小于（600－400）cm3，那么1个铁球的体积就小于（200÷4）cm3；
再将一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出，可知5个铁球的体积要大于（600－400）cm3，那么1个铁球的体积就大于（200÷5）cm3。据此推测出一颗铁球体积的范围。
详解：400mL＝400cm3
600mL＝600cm3
600－400＝200（cm3）
200÷4＝50（cm3）
200÷5＝40（cm3）
40cm3＜一颗铁球的体积＜50cm3
所以，这样一颗铁球的体积大约在40cm3～50cm3。
故答案为：C
分析：本题考查探索某些实物体积的测量方法，明确水上升部分的体积等于几颗铁球的体积，进而求出铁球的体积范围。
2．B
分析：水面升高的体积就是浸入水中物体的体积，容器相同，比较水面升高的高度即可。
详解：放入小球水面升高：9.5－8＝1.5
放入珊瑚水面升高：12－9.5＝2.5
2.5＞1.5，珊瑚大。
故答案为：B
分析：关键是利用转化思想，将不规则物体的体积转化为长方体进行分析。
3．C
分析：根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，用5×4×3即可求出长方体玻璃容器的容积，然后把单位换算成升；5厘米＝0.5分米，根据物体的体积＝上升部分水的体积，用5×4×0.5即可求出物体的体积，也就是石头的体积。据此解答。
详解：5×4×3＝60（立方分米）
60立方分米＝60升
5厘米＝0.5分米
5×4×0.5＝10（立方分米）
长方体玻璃容器的容积是60升；石头的体积是10立方分米。
故答案为：C
分析：本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，需要注意上升部分水的体积等于石头的体积。
4．B
分析：1毫升等于1立方厘米，根据题意可知，水的体积是200立方厘米，一个大圆球和一个小圆球的体积是（270－200），2个小圆球的体积是（310－270）立方厘米，用（310－270）除以2，求出一个小圆球的体积，再用（270－200）立方厘米减去小圆球的体积即可。
详解：200毫升＝200立方厘米
270毫升＝270立方厘米
310毫升＝310立方厘米
（310－270）÷2
＝40÷2
＝20（立方厘米）
（270－200）－20
＝70－20
＝50（立方厘米）
所以，大圆球的体积是50立方厘米。
故答案为：B
分析：正确理解等量代换的意义，是解答此题的关键。
5．C
分析：由②可知，4个铁球的体积加上水的体积小于杯子的容积，又③可知，5个铁球的体积加上水的体积大于杯子的容积，由此判断。
详解：解：设一个铁球的体积为x立方厘米，
由②可知：4x＋300＜500
4x＋300－300＜500－300
4x＜200
4x÷4＜200÷4
x＜50
由③可知：5x＋300＞500
5x＋300－300＞500－300
5x＞200
5x÷5＞200÷5
x＞40
铁球的体积在40立方厘米以上，50立方厘米以下。
故答案为：C。
分析：本题主要考查了探索某些实物体积的测量方法，通过水是否满溢，判断铁球的体积和水的体积之间的关系，是本题解题的关键。
6． 6 3.6
分析：这个沙坑的占地面积实际是这个沙坑的底面积，利用长方形的面积公式即可得解；再根据长方体的容积公式：V＝abh，代入数据即可求出这个沙坑的容积。
详解：4×1.5＝6（平方米）
4×1.5×0.6＝3.6（立方米）
即这个沙坑的占地面积是6平方米，容积是3.6立方米。
分析：此题的解题关键是掌握长方体的底面积以及体积的计算方法。
7．30
分析：计算微波炉的内部尺寸相当于计算长方体的容积，1L＝1000mL＝1000cm3＝1000000mm3，计算出内部尺寸并进行单位换算即可，小单位转化成大单位除以进率。
详解：400×250×300
＝100000×300
＝30000000（mm3）
30000000mm3 ＝30000000÷1000000＝30L
它的容积是30L。
分析：此题主要考查容积单位与体积单位之间的换算。
8．4
分析：先把120升化为120立方分米，再根据长方体的高＝体积÷长÷宽，用120÷6÷5即可求出水的高度。据此解答。
详解：120升＝120立方分米
120÷6÷5＝4（分米）
水面的高度是4分米。
分析：本题考查了长方体体积公式的灵活应用以及容积（体积）单位的换算，要熟练掌握公式。
9．60
分析：根据题意可知，体积为1立方厘米的小正方体的棱长是1厘米，所以这个长方体玻璃容器的长为5厘米，宽为4厘米，高为3厘米，根据长方体的容积公式：V＝abh，代入数据，即可求出这个玻璃容器的容积。
详解：5×4×3＝60（立方厘米）
即这个玻璃容器的容积是60立方厘米。
分析：此题的解题关键是先确定长方体容器的长宽高的数据，再利用长方体的容积公式求解。
10． 1250 42.5
分析：已知这个长方体玻璃鱼缸的长、宽、高分别为50厘米、34厘米、25厘米，要求得鱼缸前面的玻璃的面积是多少，就是求长为50厘米、宽为25厘米的长方形的面积，列式为：50×25；
要求得这个鱼缸最多能注入的水的容积，根据长方体容积＝长×宽×高，列式为：50×34×25。
详解：50×25＝1250（平方厘米）
50×34×25＝42500（立方厘米）＝42.5升
这个鱼缸前面的玻璃破损，需重新配一块（1250）平方厘米的玻璃；这个鱼缸最多能注入（42.5）升的水。
分析：综合考查了有关长方体的知识，需要明确前面的面是一个长方形，同时熟练掌握容积的计算以及体积、容积单位的换算。
11．√
分析：根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，计量比较少的液体，常用毫升作单位，常用符号“mL”表示，据此即可解答。
详解：一瓶酸奶大约有250毫升。原题说法正确。
故答案为：√
分析：此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。
12．×
分析：根据正方体的体积（容积）公式：V＝a3，代入水的体积，可求出正方体的棱长是1分米，这是一个无盖的正方体容器，所以根据正方体的表面积公式，求出5个面的面积即可。
详解：1升＝1立方分米
由a3＝1（立方分米）
所以a＝1（分米）
5×12＝5（平方分米）
即造这个容器至少需要5平方分米的铁皮。
故答案为：×
分析：此题的解题关键是灵活运用正方体的体积（容积）公式和表面积公式解决实际的问题。
13．×
分析：根据题意，先进行单位换算，再用眼药水容积除以一瓶眼药水的容积，即可求出可以装满的瓶数。
详解：2.5×1000÷5
＝2500÷5
＝500（瓶）
所以，一瓶眼药水5毫升，现有2.5升眼药水，可以装满500瓶；故原题干错误。
故答案为：×
分析：熟记：1升＝1000毫升，是解答此题的关键。
14．×
分析：物体所占的空间的大小叫做体积。箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，叫做它们的容积；计算物体的体积要从物体外面去测量，而计算容积要从里面去测量；据此解答。
详解：一个杯子能装水1.5dm3，是对物体内部的测量，因此指的是容积，所以我们就说杯子的容积是1.5dm3。
故答案为：×
分析：解答本题的关键是掌握体积和容积的概念及不同。
15．×
分析：箱子、油桶等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。据此解答即可。
详解：题干中“250mL"表示牛奶盒的容积是250mL，所以原题说法错误；
故答案为：×
分析：本题主要考查对体积和容积概念的理解。一般情况，一个物体的体积一定大于它的容积，因为物体都有一定的厚度。
16．128cm3
分析：水面上升的体积就是西红柿的体积，长×宽×水面上升的高度＝西红柿的体积，据此列式计算。
详解：8×8×（10－8）
＝64×2
＝128（cm3）
17．150cm3
分析：结合图示可知：长方体容器长、宽都是10cm，原来水面高8.5cm，浸没一条鱼后水面上升至10cm；则鱼的体积就相当于上升部分水的体积，因为上升部分是长方体，所以可以套用长方体体积公式来计算，列式为：10×10×（10－8.5）。
详解：10×10×（10－8.5）
＝100×1.5
＝150（cm3）
分析：本题运用了转化思想，把不规则物体的体积转化为规则物体的体积，其中注意关注水面上升的高度。
18．96立方厘米
分析：水面下降的体积就是土豆的体积，根据长方体体积公式，容器的长×宽×水面下降的高度＝土豆体积，列式解答即可。
详解：
（立方厘米）
答：这个土豆的体积是96立方厘米。
分析：关键是利用转化思想，将不规则物体的体积转化为长方体进行计算。
19．2立方米
分析：根据物体的体积等于上升部分水的体积，物体的体积＝长×宽×上升部分的高度，用20×20×（17－12）即可求出长方体铁块的体积，再将单位换算成立方米；据此解答。
详解：20×20×（17－12）
＝20×20×5
＝2000（立方分米）
2000立方分米＝2立方米
答：这个铁块的体积是2立方米。
分析：本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，注意物体的体积等于上升部分水的体积。
20．（1）40平方分米
（2）40立方分米
（3）56升
分析：（1）要求长方体玻璃容器的占地面积就是求长方体的底面面积，根据长方体的底面面积＝长×宽，据此解答。
（2）要求假山石的体积可以采用两种方法解答：第一种方法，根据假山石完全浸没在水中这时水的深度和长方体的体积公式，算出水和假山石的体积，再减去原来注入水的体积就是这个假山石的体积；第二种方法，先算出原来注入水后的深度，用放入假山石后的深度减去原来注入水时的深度就是假山石的高，再根据长方体的体积公式计算即可。
（3）用这个长方体玻璃容器高减去放入假山石后的深度就是需要加入的水的高，根据长方体体积公式计算，最后进行单位换算，据此解答。
详解：（1）8×5＝40（平方分米）
答：这个长方体玻璃容器的占地面积是40平方分米。
（2）方法一：
46厘米＝4.6分米
8×5×4.6
＝40×4.6
＝184（立方分米）
144升＝144立方分米
184－144＝40（立方分米）
方法二：
144÷（8×5）
＝144÷40
＝3.6（分米）
46厘米＝4.6分米
4.6－3.6＝1（分米）
8×5×1＝40（立方分米）
答：这个假山石的体积是40立方分米。
（3）6－4.6＝1.4（分米）
8×5×1.4
＝40×1.4
＝56（立方分米）
＝56（升）
答：还需要注入56升水才能把容器全部注满。
分析：本题考查有关长方体计算的实际问题，关键是要搞清楚所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行解题。
21．原来水面的高度和放入不规则石块后的水面高度。
分析：利用排水法求出不规则石块的体积，就是用放入不规则石块后的水的体积减去原来水的体积，已知长方体的底面边长，还需知道水面高度，也就是要记录原来水面的高度和放入珊瑚后的水面高度。
详解：原来水面的高度和放入不规则石块后的水面高度
分析：本题考查了长方体体积公式的灵活应用。掌握长方体体积计算方法是解答的关键。
22．3.45分
分析：因为要完全淹没假山石，所以最终水的高度和假山石的高度相等。根据长方体体积＝长×宽×高，计算出水和假山石的体积和，再将体积和减去假山石的体积，求出水的体积。将水的体积除以注水的速度，即可求出注水需要的时间。
详解：48×25×38－4200
＝45600－4200
＝41400（立方厘米）
41400立方厘米＝41.4立方分米＝41.4升
41.4÷12＝3.45（分）
答：至少要3.45分钟才能将假石山完全淹没。
分析：本题考查了长方体的体积，熟练掌握长方体体积公式是关键。
23．360立方厘米
分析：先根据“高＝长方体的体积÷长×宽”求出容器中水的高度，再求出放入珊瑚石后上升的水面高度，珊瑚石的体积＝容器的底面积×上升部分水的高度，据此解答。
详解：480毫升＝480立方厘米
480÷12÷10
＝40÷10
＝4（厘米）
8－1－4＝3（厘米）
12×10×3
＝120×3
＝360（立方厘米）
答：投入的这块珊瑚石的体积是360立方厘米。
分析：本题主要考查计算不规则物体的体积，求出放入珊瑚石后上升的水面高度是解答题目的关键。

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