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3.12 整理和复习
例1：下面说法正确的是（ ）。
A．正方体的棱长扩大3倍，表面积和体积都扩大9倍。
B．体积相同的正方体，表面积也相等。
C．把一块长方体铁块锻造成一个正方体铁块，体积和表面积都不变。
答案：B
分析：A．假设正方体的棱长为2厘米，然后求出棱长扩大3倍后的正方体的棱长，再分别求出棱长扩大后的正方体的表面积和体积；
B．正方体的体积V＝，正方体的表面积S＝6。由正方体的体积公式可知：当两个正方体的体积相等时，它们的棱长就相等。如果两个正方体的棱长相等，根据正方体的表面积公式可知，它们的棱长总和就相等，它们的表面积就相等；
C．根据体积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积，把一个长方体铁块铸造成正方体，只是形状改变了，也就是它的表面积变了，但是体积没有变。
详解：A．棱长为2厘米的正方体的表面积：6×22＝6×4＝24（平方厘米）
棱长为2厘米的正方体的体积：23＝8（立方厘米）
棱长扩大3倍后的正方体的棱长：2×3＝6（厘米）
棱长为6厘米的正方体的表面积：6×62＝6×36＝216（平方厘米）
表面积扩大的倍数：216÷24＝9
棱长为6厘米的正方体的体积：63＝216（立方厘米）
体积扩大的倍数：216÷8＝27；选项说法错误；
B．体积相等的两个正方体，它们的棱长相等；棱长相等的两个正方体，它们的棱长总和相等，它们的表面积相等。比如，两个正方体的体积都是27立方厘米，则它们的棱长都是3厘米，它们的表面积都是3×3×6＝54（平方厘米），选项说法正确；
C．把一块长方体铁块锻造成一个正方体铁块，体积不变，表面积变了，选项说法错误。
故答案为：B
例2：至少要用（ ）个完全一样的小正方体，才能拼成一个大正方体。
A．4 B．8 C．无法确定
答案：B
分析：小正方体拼成一个大正方体，沿长、宽、高各需要放2个，总共需要2×2×2＝8个，据此解答。
详解：2×2×2
＝4×2
＝8（个）
至少要用8个完全一样的小正方体，才能拼成一个大正方体。
故答案为：B
例3：一个长方体的棱长之和是84cm，已知长方体的长是8cm，宽是6cm，这个长方体的表面积是( )，体积是( )。
答案： 292 336
分析：根据题意，结合长方体的特征，先求出长方体的高，用长方体的棱长之和除以4，求出长、宽、高之和，再减去已知的长和宽的长度；再结合长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2以及长方体的体积公式：长×宽×高，代入数据即可求出答案。
详解：长方体的高：84÷4－（8＋6）
＝21－（8＋6）
＝21－14
＝7（cm）
长方体的表面积：（8×6＋8×7＋6×7）×2
＝（48＋56＋42）×2
＝146×2
＝292（）
长方体的体积：8×6×7
＝48×7
＝336（）
所以这个长方体的表面积是292，体积是336。
例4：在括号里填上适当的数。
4600cm3＝( )dm3 30L＝( )mL
5.7m3＝( )m3( )dm3 42.07dm3＝( )L＝( )mL
答案： 4.6 30000 5 700 42.07 42070
分析：根据1dm3＝1000cm3，1L＝1000mL，1m3＝1000dm3，1dm3＝1L＝1000mL，高级单位换低级单位乘进率，低级单位换高级单位除以进率，依此进行计算即可。
详解：4600÷1000＝4.6，即4600cm3＝4.6dm3
30×1000＝30000，即30L＝30000mL
5.7＝5＋0.7，0.7×1000＝700，即5.7m3＝5m3700dm3
42.07×1000＝42070，即42.07dm3＝42.07L＝42070mL
：基础过关练
一、选择题
1．a3表示（ ）。
A．a×3 B．a＋a＋a C．a×a×a D．a2＋a
2．容积和体积的计算方法相同，容积与体积相比，（ ）。
A．容积大 B．相等 C．容积小 D．无法确定大小
3．下面的图形不能折成正方体的有（ ）个。

A．1 B．2 C．3 D．4
4．用棱长为2分米的两个正方体拼成一个长方体后，表面积与原来相比（ ）。
A．减少4平方分米 B．减少8平方分米 C．增加4平方分米 D．以上答案都不对
5．一个长方体，底面是一个周长为8厘米的正方形，侧面展开后也是一个正方形，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米。
A．36 B．72 C．48 D．68
6．一辆汽车油箱最多可装下50升油，我们就说这种油箱的（ ）是50升，也可以说油的（ ）是50升。
A．体积；表面积 B．容积；体积 C．体积；质量 D．质量；表面积
二、填空题
7．在括号里填上适当的数。
5060毫升＝( )升 4.3立方分米＝( )立方分米( )立方厘米
1.02立方分米＝( )升( )毫升 11.2升＝( )立方分米＝( )立方厘米
8．下面各图是用棱长为1cm的小正方体拼成的，它们的体积各是多少？
( )cm3；( )cm3；( )cm3。
9．一块棱长10cm的正方体冰块，它的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。
10．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
6040毫升( )6升 7升( )720毫升 140÷35( )120÷30
630÷70( )540÷54 800÷25( )900÷20 360÷12( )720÷24
11．把一根长5米的长方体木料横截成两段，表面积增加0.08平方米，原来这根木料的体积是( )立方米。
12．一个正方体，其中一个面的面积是16平方厘米，它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
三、判断题
13．把一个长方体切成两部分，体积和表面积都没有发生变化。( )
14．用3个棱长为a厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了4a2平方厘米。( )
15．体积是1dm3的正方体，可以分成1000个棱长是1cm的小正方体。( )
16．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，则它的体积也扩大到原来的3倍。( )
17．立方米只是体积单位，不是容积单位。( )
：培优提升练
四、解答题
18．挖一个长8米、宽6米、深2米的蓄水池。

（1）这个蓄水池的占地面积是多少平方米？
（2）如果给这个蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？
（3）这个水池最多能蓄水多少吨？（1立方米的水重1吨）
19．学校要粉刷一间教室的四壁和天花板，门窗不涂。教室的长是8米，宽是6米，高是4米，门窗面积14平方米。如果每平方米需要花12元涂料费，粉刷这个教室需要多少涂料费？
20．一个高是20厘米的长方体容器中盛满了水，现在倒去150毫升，那么水面下降5厘米。原来容器中共有多少毫升水？

21．有一块长方形铁皮（下图），从四个角各切掉一个边长为8厘米的正方形，然后做成一个盒子，这个盒子的长、宽、高各是多少？容积是多少？
22．给一个新修的长55米、宽24米的长方体水池注水，注水速度为每小时200立方米，要注入深1.5米的水大约需要多长时间？
23．一张长240厘米，宽140厘米的铁皮，在4个角分别剪去一个边长是30厘米的正方形，弯折后焊接成一个铁皮水箱。（无盖）
（1）这张铁皮的面积是多少平方米？
（2）如果在水箱外面涂上一层油漆，涂油漆部分的面积是多少平方米？
（3）这个水箱可以装水多少立方米？
1．C
分析：a3表示3个a相乘，即a×a×a；3a表示3个a相加，即a＋a＋a。据此解答。
详解：根据分析可知，a3表示a×a×a。
故答案为：C
分析：本题主要考查了用字母表示数，明确a3和3a的区别是解答本题的关键。
2．D
分析：长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。但计算长方体（或正方体）容器的体积要从外面量长、宽、高，而计算它的容积则要从里面量长、宽、高，所以同一个长方体（或正方体）容器，容积比体积小。
详解：容积和体积的计算方法相同，容积与体积相比。题目中没有指明是否是同一个容器的容积与体积相比，所以无法确定大小。
故答案为：D
分析：物体的容积并不是物体的体积，体积是指物体自身所占空间的大小，容积是指其所能容纳物体的体积。
3．A
分析：正方体展开图有11种特征，分四种类型，即第一种：“1 4 1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个，此种结构有6种展开图；第二种：“2 2 2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3 3”结构，即每一行放3个正方形，此种结构只有一种展开图；第四种：“1 3 2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形，此种结构有3种展开图。
详解：属于正方体展开图的“1 4 1”型，能折叠成一个正方体；
不属于正方体展开图，不能折叠成一个正方体；
属于正方体展开图的“1 3 2”型，能折叠成一个正方体；
属于正方体展开图的“3 3”型，能折叠成一个正方体。
所以不能折成正方体的有1个。
故答案为：A
分析：本题考查了正方体的展开图的特征，熟练掌握正方体展开图的特征并灵活运用。
4．B
分析：两个正方体拼成一个长方体，表面积减少2个正方形面，每个正方形的边长是2分米，根据正方形的面积公式，用2×2×2即可求出减少的面积。
详解：2×2×2＝8（平方分米）
用棱长为2分米的两个正方体拼成一个长方体后，表面积与原来相比减少8平方分米。
故答案为：B
分析：本题主要考查了立体图形的拼接，明确表面积减少了哪些面是解答本题的关键。
5．B
分析：根据题意可知，长方体的侧面展开后是一个正方形，说明长方体的底面周长和高相等，都是8厘米，因为长方体的底面是正方形，用8÷4，求出底面边长；再根据长方体的表面积公式，代入数据，即可解答。
详解：8÷4＝2（厘米）
2×2×2＋2×8×2＋2×8×2
＝8＋32＋32
＝72（平方厘米）
即这个长方体的表面积是72平方厘米。
故答案为：B
分析：本题考查长方体的侧面展开图和表面积公式，关键是弄清侧面展开后各元素与长方体之间的关系。
6．B
分析：容积是容器能容纳的物体的体积，体积是物体所占空间的大小。据此结合题意，直接解题。
详解：一辆汽车油箱最多可装下50升油，我们就说这种油箱的容积是50升，也可以说油的体积是50升。
故答案为：B
分析：本题考查了体积和容积，掌握体积和容积的定义是解题的关键。
7． 5.06 4 300 1 20 11.2 11200
分析：低级单位换高级单位除以进率，根据1升＝1000毫升，用5060÷1000即可；高级单位换低级单位乘进率，把4.3拆成4＋0.3，再根据1立方分米＝1000立方厘米，用0.3×1000即可；把1.02拆成1＋0.02，根据1立方分米＝1升，1升＝1000毫升，用0.02×1000即可；根据1升＝1立方分米，则11.2升＝11.2立方分米，根据1立方分米＝1000立方厘米，用11.2×1000即可。
详解：5060毫升＝5060÷1000升＝5.06升
4.3立方分米＝4立方分米＋0.3立方分米＝4立方分米＋0.3×1000立方厘米＝4立方分米300立方厘米
1.02立方分米＝1立方分米＋0.02立方分米＝1升0.02×1000毫升＝1升20毫升
11.2升＝11.2立方分米＝11.2×1000立方厘米＝11200立方厘米
8． 4 5 6
分析：根据正方体的体积公式：V＝a3，第一个立体图形是由4个小正方体拼成的；第二个立体图形是由5个小正方体拼成的；第三个立体图形是由6个小正方体拼成的；求它们的体积，应用1个小正方体的体积乘小正方体的个数即可。
详解：1×1×1＝1（cm3）
1×4＝4（cm3）
1×5＝5（cm3）
1×6＝6（cm3）
4cm3；5cm3；6cm3。
9． 600 1000
分析：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。把棱长10cm分别代入表面积、体积公式计算即可。
详解：10×10×6
＝100×6
＝600（cm2）
10×10×10
＝100×10
＝1000（cm3）
所以，它的表面积是600cm2，体积是1000cm3。
10． ＞ ＞ ＝ ＜ ＜ ＝
分析：（1）1升＝1000毫升，据此将6升换算成毫升，再与6040毫升比较大小。
（2）1升＝1000毫升，据此将7升换算成毫升，再与720毫升比较大小。
（3）（4）（5）分别求出两个算式的商，再比较大小。
（6）商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以一个数（0除外），商不变。
详解：6升＝6000毫升，6040毫升＞6000毫升，则6040毫升＞6升
7升＝7000毫升，7000毫升＞720毫升，则7升＞720毫升
140÷35＝4，120÷30＝4，则140÷35＝120÷30
630÷70＝9，540÷54＝10，9＜10，则630÷70＜540÷54
800÷25＝32，900÷20＝45，32＜45，则800÷25＜900÷20
360÷12＝（360×2）÷（12×2）＝720÷24
分析：不同单位的数比较大小，要先换算成同一单位的数，再进行比较，关键是熟记升和毫升之间的进率。两个算式比较大小，可以先求出得数，再进行比较。也可以根据商的变化规律进行比较。
11．0.2
分析：长方体木料沿横截面截成2段，表面积增加了2个横截面，已知表面积增加0.08平方米，用0.08÷2即可求出1个横截面的面积，再根据长方体的体积＝横截面积×长，用0.08÷2×5即可求出长方体木料的体积。据此解答。
详解：0.08÷2×5＝0.2（立方米）
这根木料原来的体积是0.2立方米。
分析：本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，要注意表面积增加了哪些面。
12． 96 64
分析：根据“正方体的表面积公式：S＝6a2”，已知一个面的面积，可以求出正方体的棱长，再根据“正方体的体积公式：V＝a3”，把数据代入公式解答。
详解：（平方厘米）
因为4的平方是16，所以正方体的棱长是4厘米。
（立方厘米）
所以，它的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米。
分析：此题主要考查正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
13．×
分析：一个长方体被切成两部分，如是纵切，则增加两个侧面的面积；如横切，则增加两个底面的面积。把长方体无论怎样切，体积不会有变化，据此解答。
详解：把一个长方体切成两部分，它的表面积会增加，但体积不会改变，原题说法错误。
故答案为：×
分析：理解长方体切割成两个小长方体，表面积会增加是解答本题的关键。
14．√
分析：如图所示，把2个小正方体拼成一个长方体后，表面积比原来减少了2个正方形的面积，把3个小正方体拼成一个长方体后，表面积比原来减少了4个正方形的面积，据此解答。
详解：
a×a×（3－1）×2
＝a×a×2×2
＝4a2（平方厘米）
所以，表面积减少了4a2平方厘米。
故答案为：√
分析：本题主要考查立体图形的切拼，根据图形分析减少部分的面积是解答题目的关键。
15．√
分析：根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出棱长是1cm的正方体的体积，再用体积是1dm3正方体的体积÷棱长是lcm正方体的体积，即可求出可以分成多少个棱长是1cm的正方体，再进行判断。
详解：1dm3＝1000cm3
1000÷（1×1×1）
＝1000÷（1×1）
＝1000÷1
＝1000（个）
则体积是ldm3的正方体，可以分成1000个棱长是lcm的小正方体。原题干说法正确。
故答案为：√
分析：本题考查立体图形的切拼，以及正方体体积公式的应用，注意单位名数的统一。
16．×
分析：根据长方体的体积＝长×宽×高，以及积的变化规律“一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几”可知，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积。
详解：3×3×3＝27
一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，则它的体积也扩大到原来的27倍。
原题说法错误。
故答案为：×
分析：本题考查长方体体积公式以及积的变化规律的应用。
17．×
分析：物体所占空间的大小叫做物体的体积；容器所能容纳物体的体积，叫做它的容积；立方米是体积单位，也是容积单位；由此判断即可。
详解：根据容积和体积的含义可知：立方米是体积单位，也是容积单位，所以原题说法错误。
故答案为：×
分析：熟悉常用的容积单位和体积单位、体积和容积的含义，是解答此题的关键。
18．（1）48平方米；（2）104平方米；（3）96吨
分析：（1）根据长方体的底面积＝长×宽，用8×6即可求出蓄水池的占地面积；
（2）无盖的长方体表面积只有5个面的面积，根据无盖的长方体面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，用8×6＋8×2×2＋6×2×2即可求出抹水泥部分的面积；
（3）根据长方体的体积＝长×宽×高，用8×6×2即可求出水池的容积，再用乘法求出水池最多能蓄水多少吨。
详解：（1）8×6＝48（平方米）
答：这个蓄水池的占地面积是48平方米。
（2）8×6＋8×2×2＋6×2×2
＝48＋32＋24
＝104（平方米）
答：抹水泥部分的面积是104平方米。
（3）8×6×2＝96（立方米）
96×1＝96（吨）
答：这个水池最多能蓄水96吨。
分析：本题主要考查了长方体的表面积公式、体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。
19．1752元
分析：根据题意可知，涂漆的面积＝上、左、右、前、后面的面积－门窗的面积，据此用8×4×2＋4×6×2＋8×6－14即可求出涂漆的面积，再乘12即可求出需要多少涂料费。
详解：8×4×2＋4×6×2＋8×6－14
＝64＋48＋48－14
＝146（平方米）
146×12＝1752（元）
答：粉刷这个教室需要涂料费1752元。
分析：本题主要考查了长方体表面积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。
20．600毫升
分析：根据题意可知，倒去的体积＝水面下降部分的体积，先把150毫升化为150立方厘米，再根据长方体的体积＝底面积×高，用150÷5即可求出长方体容器的底面积，再根据长方体的体积公式，用长方体容器的底面积×20，即可求出容器的容积，最后把单位换算成毫升。
详解：150毫升＝150立方厘米
150÷5＝30（平方厘米）
30×20＝600（立方厘米）
600立方厘米＝600毫升
答：原来容器中共有600毫升水。
分析：本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。
21．40厘米；20厘米；8厘米；6400立方厘米
分析：做成一个长方体的盒子，长方体的长等于长方形的长56厘米减去2条8厘米的边长，长方体的宽等于长方形的宽36厘米减去2条8厘米的边长，长方体的高等于正方形的边长，再根据长方体的容积公式：V＝abh，代入数据即可求出这个盒子的容积。
详解：长：56－8－8＝40（厘米）
宽：36－8－8＝20（厘米）
高：8厘米；
容积：40×20×8＝6400（立方厘米）
答：这个盒子的长是40厘米，宽是20厘米，高是8厘米，容积是6400立方厘米。
分析：此题的解题关键是根据长方体的特征，灵活运用长方体的容积公式求解。
22．9.9小时
分析：先根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出注入水的体积，再除以每小时的注水量求出需要的注水时间，据此解答。
详解：55×24×1.5÷200
＝1320×1.5÷200
＝1980÷200
＝9.9（小时）
答：要注入深1.5米的水大约需要9.9小时。
分析：熟练掌握并灵活运用长方体的体积计算公式是解答题目的关键。
23．（1）3.36平方米；（2）3平方米；（3）0.432立方米
分析：（1）长方形面积＝长×宽，据此列式求出铁皮的面积；
（2）根据题意，围成的无盖长方体水箱，长是（240－2×30）厘米，宽是（140－2×30）厘米，高是30厘米。由于无盖，那么有5个面需要涂油漆，用“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”列式求出涂油漆的面积；
（3）长方体容积＝长×宽×高，据此列式求出可以装水多少立方米。
详解：（1）240×140＝33600（平方厘米）
33600平方厘米＝3.36平方米
答：这张铁皮的面积是3.36平方米。
（2）240－2×30
＝240－60
＝180（厘米）
180厘米＝1.8米
140－2×30
＝140－60
＝80（厘米）
80厘米＝0.8米
30厘米＝0.3米
1.8×0.8＋1.8×0.3×2＋0.8×0.3×2
＝1.44＋1.08＋0.48
＝3（平方米）
答：涂油漆部分的面积是3平方米。
（3）1.8×0.8×0.3
＝1.44×0.3
＝0.432（立方米）
答：这个水箱可以装水0.432立方米。
分析：本题考查了长方体的表面积和容积，熟记并灵活运用公式是解题的关键。

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