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3.9 解决问题
高级单位转换成低级单位，用乘进率；低级单位转换成高级单位，用除以进率。
在解决有关体积的实际问题时,要看清已知条件的单位是否统一,如果不统一,要先统一单位,再进行计算。
例1：如图是若干个小正方体拼成的大正方体，要给它的表面涂色，没有涂色的小正方体有（ ）个。
A．8 B．12 C．18 D．24
答案：A
分析：没有涂色的小正方体在大正方体的中间，大正方体棱长－2＝中间正方体的棱长，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，即可求出没有涂色的小正方体个数。
详解：4－2＝2（个）
2×2×2＝8（个）
没有涂色的小正方体有8个。
故答案为：A
例2：如果把长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，那么它的体积扩大到原来的（ ）倍。
A．3 B．3000 C．27
答案：C
分析：假设长方体长为3、宽为2、高为1，长、宽、高都扩大到原来的3倍，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出扩大前后长方体的体积，进而求出它们之间的关系。
详解：假设长方体长为3、宽为2、高为1，
3×2×1＝6
3×3＝9
2×3＝6
1×3＝3
9×6×3＝162
162÷6＝27
如果把长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，那么它的体积扩大到原来的27倍。
故答案为：C
例3：一个长6厘米的长方体木块，刚好能截成两个相同的正方体，每个正方体的表面积是( )，体积是( )。
答案： 54平方厘米/54cm2 27立方厘米/27cm3
分析：一个长6厘米的长方体木块，刚好能截成两个相同的正方体，可知正方体的边长是3厘米，根据S＝6a2，V＝a3解答。
详解：根据题意可知正方体边长是3厘米
表面积：6×32＝6×9＝54（平方厘米）
体积：33＝3×3×3＝27（立方厘米）
每个正方体的表面积是54平方厘米，体积是27立方厘米。
例4：从两个棱长为6厘米的正方体木块上，分别锯掉长6厘米，宽和高都是1厘米的小长方体木块，得到甲乙两种形状的木块，如图所示。则甲的体积( )乙的体积，甲的表面积( )乙的表面积。（填写“＞”“＜”或“＝”）
答案： ＝ ＜
分析：根据题意可知，两个正方体的体积相等，都锯掉一个长是6厘米，宽和高都是1厘米的长方体，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，两个正方体锯掉的体积都相等的长方体，即两个正方体都减去一个相同的体积，甲的体积＝乙的体积；
甲正方体锯掉一个长方体，减少两个长6厘米，宽1厘米的长方形面积，又增加两个同样的面积，同时加又减少两个边长1厘米的正方形面积，所以变面积比原来减少了两个正方形的面积；
乙正方体锯掉一个长方体，减少一个长6厘米，宽1厘米的长方形面积和两个边长1厘米的正方形面积；同时又增加了三个长6厘米，宽1厘米的长方形面积，即乙增加的面积是：6×1×3－6×1－1×1×2＝10平方厘米，所以甲的表面积小于乙的表面积。据此解答。
详解：根据分析可知，从两个棱长为6厘米的正方体木块上，分别锯掉长6厘米，宽和高都是1厘米的小长方体木块，得到甲乙两种形状的木块，如图所示。则甲的体积＝乙的体积，甲的表面积＜乙的表面积。
：基础过关练
一、选择题
1．用铁丝焊接一个长方体框架，同一顶点上的三根铁丝的长度分别是20厘米、15厘米、12厘米，则这个长方体框架的铁丝共长（ ）厘米。
A．47 B．188 C．360
2．如图，一个长和宽均为10cm，高为4cm的长方体容器中盛有一些水，水深3cm。现将一块棱长为5cm的正方体铁块放入容器中，并使其底面与容器底面接触，那么容器中的水（ ）。

A．有部分溢出 B．不会溢出 C．是否溢出不能确定
3．李师傅计划用5块玻璃（如图）粘成一个无盖鱼缸。如果接缝处都要涂上玻璃胶，涂胶的长度至少是（ ）分米。
A．40 B．38 C．60 D．42
4．（如图）用的小正方体拼成一个长方体后，从前面、右面看到的图形。这个长方体的体积是（ ）。（图中每个小方格的面积是）

A． B． C．
5．一个长方体被挖掉一小块（如图），下面说法正确的是（ ）。

A．表面积不变，体积变小 B．表面积变大，体积不变
C．表面积变大，体积变小 D．表面积不变，体积变大
6．一个长为20厘米的长方体，按图中的横截面切成两段，表面积增加了40平方厘米，原来长方体的体积是（ ）立方厘米。
A．1600 B．800 C．400 D．200
二、填空题
7．如图，用棱长为2cm的小正方体搭成一个魔方，角上少了一个小正方体。现在这个魔方的体积是( )cm3，表面积是( )cm2。
8．一根长2米的长方体木料，沿着横截面将它锯成4段，表面积增加24平方分米，这根木料的体积是( )立方分米。
9．一个长方体的表面积是360平方厘米，它恰好可以切成两个相同的正方体。每个正方体的体积是( )立方厘米。
10．如图分别是长方体纸盒的左面和前面，那么这个纸盒的底面积是( )平方厘米，容积是( )立方厘米（厚度忽略不计）。
11．一根8米长的方钢，把它截成3段时，表面积增加了64平方厘米，原来方钢的体积是( )立方厘米。
三、判断题
12．用8个同样的小正方体拼成一个大正方体，从中拿出一个小正方体后，大正方体的体积减少了，但是表面积不变。( )
13．用2个棱长为1厘米的小正方体拼成一个长方体，长方体的体积是2立方厘米，表面积是12平方厘米。( )
14．如果一个长方体和一个正方体的底面周长相等，高也相等，那么正方体的体积一定大于长方体的体积。( )
15．若一个水池正好能装10m3的水，则10m3既是水池的容积，又是水的体积。( )
16．把3个相同的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积减少了，但体积不变。( )
：培优提升练
四、计算题
17．计算下面图形的体积。（单位：厘米）
（1） （2）
五、解答题
18．建筑工地要打40根水泥方柱，每根方柱横截面的面积是4.5平方分米，长是4米。这些水泥方柱一共是多少方？
19．一个长方体容器，从里面量长30厘米，宽20厘米，水深10厘米，放入一个石头后（全部没过），此时水深12.5厘米，那么这块石头的体积是多少立方厘米？
20．修路工人把10.5立方米的沙子铺在一段长25米、宽3米的路上，可以铺多厚？（用方程解）
21．王叔叔从开车上班改为骑自行车上班，这样一周可以少用15升汽油。按照少用1升汽油可以减少碳排放量620克计算，王叔叔一周可以减少碳排放量多少克？
22．五年级老师用一个从里面量长6分米，宽和高都是4分米的容器装饰办公室。他们在容器内倒进3分米高的水，再放进一块5立方分米的石头，这时容器内所装物体的体积是多少立方分米？
23．下图是李师傅为小明做的一个底面为正方形，内高是20厘米的无盖玻璃容器。

（1）把1升水倒入玻璃容器，水深10厘米，再把一个苹果沉入容器（苹果被水全部淹没），结果水面上升了3厘米，这个苹果的体积是多少立方厘米？
（2）制作这个玻璃容器至少需要玻璃多少平方厘米？
1．B
分析：根据长方体的特征可知，相交于一个顶点的三条棱分别是长方体的长、宽和高，再根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，据此计算解答。
详解：（20＋15＋12）×4
＝47×4
＝188（厘米）
则这个长方体框架的铁丝共长188厘米。
故答案为：B
2．B
分析：由题意可知，设铁块入水后的高度为xcm，根据等量关系：原来水的体积＋铁块入水的体积＝放入铁块后水的体积，据此求出铁块入水后的高度，若铁块入水后的高度高于容器的高度，则水会溢出；反之，则不会溢出。
详解：解：设铁块入水后的高度为xcm。
10×10×3＋5×5×x＝10×10×x
300＋25x＝100x
300＋25x－25x＝100x－25x
75x＝300
75x÷75＝300÷75
x＝4
4＝4
则容器中的水不会溢出。
故答案为：B
分析：本题考查正方体和长方体的体积，求出铁块入水后水的高度是解题的关键。
3．A
分析：看图，围成的无盖鱼缸的长、宽、高分别是60厘米、40厘米和50厘米。由于是无盖的鱼缸，那么涂上玻璃胶时，上面不涂，只需要涂2条长、2条宽以及4条高。据此列式解题即可。
详解：60×2＋40×2＋50×4
＝120＋80＋200
＝400（厘米）
400厘米＝40分米
所以，涂胶的长度至少是40分米。
故答案为：A
分析：本题考查了长方体有关棱长的计算，解题关键是要明确是求哪一些棱长的和。
4．A
分析：的小正方体的棱长为1cm，由前面和右面看到的图形可知，这个长方体的长为1×3＝3cm，宽和高都为2×1＝2cm，再根据长方体的体积公式：V＝abh，据此进行计算即可。
详解：1×3＝3（cm）
2×1＝2（cm）
3×2×2
＝6×2
＝12（cm3）
则这个长方体的体积是12。
故答案为：A
分析：本题考查长方体的体积，明确该长方体的长、宽、高分别是多少是解题的关键。
5．C
分析：从图中可知，在没挖之前，此处外露2个面；挖掉一小块后，此处外露4个面，此时表面积比原来多了2个面，表面积变大。
从图中可知，长方体挖掉一小块后，体积就减少这一小块的体积，体积变小。
详解：一个长方体被挖掉一小块，表面积比原来多了2个面，体积比原来减少了挖掉的这一小块的体积，所以表面积变大，体积变小。
故答案为：C
分析：关键是求有缺口的立体图形的表面积时，要注意缺口的位置，原来这个位置有几个面，挖掉后露出了几个面，与原来的面相比较，是否一样，还是多或少了，进而得出表面积变化。
6．C
分析：根据题意可知，比这个长方体横截成两段，表面积增加两个截面的面积，据此可以求出长方体的底面积，再根据长方体的体积＝底面积×高，把数据代入公式解答。
详解：40÷2×20
＝20×20
＝400（立方厘米）
则原来长方体的体积是400立方厘米。
故答案为：C。
分析：此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
7． 208 216
分析：根据正方体的体积、表面积的意义，从正方体的顶点上挖掉一个小正方体，因为这个小正方体原来外露3个面，挖掉这个小正方体后又外露与原来相同的3个面，所以剩下图形的表面积与原来的表面积不变，体积减少了一个棱长为2cm的小正方体的体积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，正方体的体积公式：V＝a3，据此解答即可。
详解：2×3＝6（cm）
6×6×6－2×2×2
＝216－8
＝208（cm3）
6×6×6
＝36×6
＝216（cm2）
则现在这个魔方的体积是208cm3，表面积是216cm2。
8．80
分析：锯成4段，锯了（4－1）次，每锯1次，增加2个横截面，也就是长方体的底面积，用锯的次数乘2，可得总共增加了多少个底面积，用增加的总表面积除以底面积的个数，可得1个底面积是多少平方分米；由高级单位米转化成低级单位分米，乘进率10，将长方体的高转化成分米为单位，根据长方体体积＝底面积×高，代入数据求值即可。
详解：由分析可得：
（4－1）×2
＝3×2
＝6（个）
24÷6＝4（平方分米）
2米＝2×10＝20分米
4×20＝80（立方分米）
综上所述：一根长2米的长方体木料，沿着横截面将它锯成4段，表面积增加24平方分米，这根木料的体积是80立方分米。
分析：本题考查了通过长方体横截面求长方体的体积，解题的关键是明确切一次会增加两个面，然后横截面等于底面积。
9．216
分析：长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，它恰好可以切成两个相同的正方体，则这个长方体的宽、高相等，长是宽、高的两倍，据此可得出正方体的棱长，根据正方体＝棱长×棱长×棱长，进而得出答案。
详解：360÷（4×2＋2）
＝360÷10
＝36（平方厘米）
因为6×6＝36，所以正方体的棱长为6厘米，
则正方体的体积为：6×6×6＝216（立方厘米）
即每个小正方体的体积是216立方厘米。
分析：本题主要考查的是长方体表面积、正方体体积的应用，解题的关键是熟练掌握计算公式，进而得出答案。
10． 54 216
分析：根据长方体的展开图知，这个长方体的长是9厘米，宽6厘米，高是4厘米，求这个纸盒的底面积，根据长方形的面积＝长×宽解答，且容积＝底面积×高，把数据代入公式解答。
详解：9×6＝54（平方厘米）
9×6×4
＝54×4
＝216（立方厘米）
则这个纸盒的底面积是54平方厘米，容积是216立方厘米。
分析：此题主要考查长方体的底面积和体积公式的灵活运用。
11．12800
分析：把长方体方钢截成3段后，表面积比原来增加了64平方厘米，增加的是这个长方体方钢4个横截面的面积，用64除以4，即可求出长方体横截面的面积，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，进行解答即可。
详解：8米＝800厘米
64÷4×800
＝16×800
＝12800（立方厘米）
即原来方钢的体积是是12800立方厘米。
分析：此题考查长方体的体积公式的计算应用，抓住长方体的切割特点，求出长方体的底面积是解决本题的关键。
12．√
分析：因为2的立方是8，所以用8个同样大的小正方体，拼成了一个大正方体，这个大正方体的棱长是小正方体棱长的2倍，也就是每个小正方体都在顶点处，所以从中任意取走一个小正方体，剩余部分的表面积与原来的大正方体的表面积相等，体积比原来减少了一个小正方体的体积。据此解答。
详解：由分析可知：
用8个同样的小正方体拼成一个大正方体，从中拿出一个小正方体后，大正方体的体积减少了，但是表面积不变。说法正确。
故答案为：√
分析：本题考查正方体的表面积和体积，明确表面积和体积的定义是解题的关键。
13．×
分析：用2个棱长为1厘米的小正方体拼成一个长方体，则该长方体的长为1×2＝2厘米，宽和高都是1厘米，根据长方体的体积公式：V＝abh，长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此进行计算即可。
详解：1×2＝2（厘米）
2×1×1
＝2×1
＝2（立方厘米）
（2×1＋2×1＋1×1）×2
＝（2＋2＋1）×2
＝5×2
＝10（平方厘米）
则长方体的体积是2立方厘米，表面积是10平方厘米。原题干说法错误。
故答案为：×
分析：本题考查长方体的体积和表面积，熟记公式是解题的关键。
14．√
分析：长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，假设长方体和正方体的底面周长都是24厘米，高都是6厘米，分别确定长方体长、宽、高，正方体棱长，求出体积，比较即可。
详解：假设长方体和正方体的底面周长都是24厘米，高都是6厘米。
长方体的长＋宽＝24÷2＝12（厘米）
如果长是10厘米，那么宽是2厘米。
正方体的底面边长是24÷4＝6（厘米）
长方体的体积是10×2×6＝120（立方厘米）
正方体的体积是6×6×6＝216（立方厘米）
216＞120
所以一个长方体和一个正方体的底面周长相等，高也相等，正方体的体积一定大于长方体的体积。
因此题干中的结论是正确的。
故答案为：√
分析：关键是掌握并灵活运用长方体和正方体体积公式。
15．√
分析：物体所占空间的大小叫做物体的体积；
容器所能容纳物体的体积叫做它们的容积。
详解：若一个水池正好能装10m3的水，则10m3既是水池的容积，又是水的体积。
原题说法正确。
故答案为：√
分析：本题考查体积和容积的意义及应用。
16．√
分析：根据题意，把3个相同的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积比原来减少正方体的4个面的面积，拼成的长方体的体积等于3个正方体的体积之和，据此判断。
详解：把3个相同的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积减少了，但体积不变。
原题说法正确。
故答案为：√
分析：本题考查立体图形的拼接，明确把小正方体拼成一个长方体，表面积会变化，体积不变。
17．（1）260立方厘米；（2）187立方厘米
分析：（1）长方体体积＝长×宽×高；（2）组合体的体积＝长方体体积＋正方体体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。
详解：（1）13×5×4＝260（立方厘米）
（2）8×4×5＋3×3×3
＝160＋27
＝187（立方厘米）
18．7.2方
分析：根据1平方米＝100平方分米，将4.5平方分米化为0.045平方米，然后根据长方体的体积＝横截面积×长，用0.045×4即可求出1根水泥方柱的体积，再乘40即可求出所有水泥方柱的体积，最后根据1立方米＝1方，将单位换算成方。
详解：4.5平方分米＝0.045平方米
0.045×4×40＝7.2（立方米）
7.2立方米＝7.2方
答：这些水泥柱一共是7.2方。
分析：本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。
19．1500立方厘米
分析：由题意可知，这块石头的体积等于放入石头后上升部分水的体积，上升部分水的体积＝容器的长×容器的宽×上升部分的水面高度，据此解答。
详解：30×20×（12.5－10）
＝600×2.5
＝1500（立方厘米）
答：这块石头的体积是1500立方厘米。
分析：此题考查的目的是理解掌握不规则物体体积的测量方法及应用，长方体的体积公式及应用。
20．0.14米
分析：可以把所铺的道路形状看作是一个长为25米，宽为3米，高（厚）未知的长方体，根据长方体的体积公式（长方体的体积＝长×宽×高），求出长方体的高即道路的厚度。
详解：解：设可以铺x米。
3×25x＝10.5
75x＝10.5
75x÷75＝10.5÷75
x＝0.14
答：可以铺0.14米厚。
分析：本题考查长方体的体积公式在实际生活中的应用以及根据等量关系列方程解决问题。
21．9300克
分析：用一周少用汽油容量乘少用1升汽油可以减少碳排放量重量，求出一周可以减少碳排放量总重量。
详解：15×620＝9300（克）
答：王叔叔一周可以减少碳排放量9300克。
分析：本题根据乘法的意义列出算式，再根据三位数乘两位数的计算方法解答。
22．77立方分米
分析：根据长方体的体积＝长×宽×高，求出容器内水的体积，再将水的体积加上石头的体积，即可求出此时容器内所装物体的体积。
详解：6×4×3＋5
＝24×3＋5
＝72＋5
＝77（立方分米）
答：这时容器内所装物体的体积是77立方分米。
分析：熟练掌握长方体的体积公式是解题的关键。
23．（1）300立方厘米
（2）900平方厘米
分析：（1）已知把1升水倒入玻璃容器，水深10厘米，先根据进率“1升＝1000立方厘米”换算单位，然后根据长方体的底面积S＝V÷h，求出这个容器的底面积；
再把一个苹果完全沉入容器，水面上升了3厘米，则水上升部分的体积等于这个苹果的体积；根据长方体的体积公式V＝Sh，代入数据计算，即可求出这个苹果的体积。
（2）已知这个容器的底面为正方形，由上一题可知容积的底面积为100平方厘米，根据正方形的面积＝边长×边长，确定容器的底面边长为10厘米；
因为这个容器是一个无盖的长方体，求制作这个玻璃容器至少需要玻璃的面积，就是求长方体的底面和4个侧面的面积之和，4个侧面都是长为20厘米、宽为10厘米的长方形，求出一个面的面积，再乘4即是4个侧面的面积之和，最后加上底面积即可。
详解：（1）1升＝1000立方厘米
1000÷10＝100（平方厘米）
100×3＝300（立方厘米）
答：这个苹果的体积是300立方厘米。
（2）100＝10×10
所以，这个长方体容器的底面是边长为10厘米的正方形。
100＋10×20×4
＝100＋800
＝900（平方厘米）
答：制作这个玻璃容器至少需要玻璃900平方厘米。
分析：（1）本题考查长方体体积公式的灵活运用以及体积、容积单位的换算，把求苹果的体积转移到求水上升部分的体积是解题的关键。
（2）弄清无盖长方体容器缺少哪个面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。

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