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3.2 认识正方体
正方体是（也叫立方体）是由六个完全相同的正方形围成的立体图形。
一个正方体有6个面，每个面完全相同；有12条棱，每条棱长度相等；有8个顶点。
正方体是特殊的长方体。
例1：下面4个立体图形中，正好可以拼成正方体的两个立体图形是（ ）。

A．①和② B．②和④ C．②和③ D．①和④
答案：B
分析：根据正方体的特征，正方体有12条棱，这12条棱都相等，图形①少两个小正方体，图形②少3个小正方体，图形③少60个小正方体，图形④少5个小正方体。据此选择即可。
详解：由分析可知：
正好可以拼成正方体的两个立体图形是②和④。
故答案为：B
例2：下图的物体至少是由（ ）个小立方块摆成的。

A．6 B．7 C．8
答案：A
分析：图形一共有2层，从上往下数，第一层有2个小正方体，第二层有4个小正方体，将每一层小正方体的个数相加求和即可解答。
详解：2＋4＝6（个）
即这个几何体至少是由6个小立方块摆成的。
故答案为：A
例3：把5个大小相同的正方体放在墙角处（如下图）。露在外面的面有( )个。

答案：11
分析：从正面看露在外面的面有4个，从右面看露在外面的面有4个，从上面看露在外面的面有3个，则露在外面的面共有（4＋4＋3）个。
详解：4＋4＋3
＝8＋3
＝11（个）
则露在外面的面有11个。
例4：观察一个长方体或正方体，最多可以看到( )个面。
答案：3
分析：长方体有6个面，其中上面和下面、前面和后面、左面和右面分别是一组相对的面，不可能同时看到相对的两个面，即把长方体或正方体放在一个平面上，从任何角度观察，最多能同时看到3个面。
详解：从不同的角度观察长方体或正方体，可以看到1个面、2个面或3个面。即观察一个长方体或正方体，最多可以看到3个面。
基础过关练
一、选择题
1．如果一个长方体中有四个面都是正方形，那么其它两个面（ ）。
A．一定是长方形 B．一定是正方形 C．无法确定
2．拼成一个大正方体，至少需要（ ）个棱长为3cm的小正方体。
A．8个 B．18个 C．27个
3．我们在小学阶段学了很多数学知识，它们之间有着密切的联系。下面选项中，表示它们之间关系错误的是（ ）。
A． B． C．
4．若拼成一个大的正方体，需要完全一样的小正方体的个数至少是（ ）个。
A．2 B．4 C．8 D．9
5．一个正方体，各面对应1~6六个数。如图所示，4的对面一定是（ ）。
A．1 B．2 C．3 D．5
二、填空题
6．一个正方体的魔方放在桌子上，从正面、上面、左面看到的都是( )；一个足球放在桌子上从左面看到的是( )。
7．四个完全一样的骰子的六个面上分别写着1、2、3、4、5、6，它们叠放在一起（如图）排成一个长方体，则数字3的对面是数字( )。

8．如图，如果把4个棱长是3cm的正方体摞在一起放在墙角的地面上，那么露在外面的总面积应是( )cm2。
9．小学阶段学到了很多数学知识，这些知识之间有着密切的联系。如图，如果A表示长方体，那么B可以表示正方体；如果A表示等腰三角形，那么B可以表示( )；如果A表示( )，那么B可以表示( )。
10．用27个棱长1cm的小正方体拼成一个大正方体，表面涂上红色，其中三面涂色的小正方体有8个。( )
三、判断题
11．正方体是特殊的长方体，有6个面，8个顶点，12条棱。( )
12．用4个完全相等的小正方体可以拼成一个大的正方体。( )
13．从不同的方向看一个物体，看到的图形可能是一样的。( )
14．用4个大小一样的小正方体可以拼成一个稍大的正方体。( )
15．不能在长方体和正方体的各个面上找到互相垂直的线段。( )
培优提升练
四、计算题
16．计算下列图形的棱长和。
五、解答题
17．一个正方体，从正面、左面、上面观察，看到的图形一样吗？长方体呢？
18．五一期间，外地游客小明到“广州市场步行街”买到一个礼物，这个礼物的礼盒是一个正方体，这个礼盒用打包带按如图所示方法捆起来（打结处打包带长20厘米），一共要用多少厘米的打包带？
19．冰墩墩毛绒玩具的包装盒是棱长为20厘米的正方体。刘老师买了2个，把它们用彩带捆起来（如图）。至少需要多长的彩带？（接头处忽略不计）
20．把8个棱长是1厘米的小正方体拼在一起（如图），从上面，正面和左面看到的图形面积和是多少？最多取走几个小正方体使得从正面看到的图形不变？
21．这学期我们认识了新的几何图形：长方体和正方体。它们之间有怎样的关系？请你用图或文字表示出它们的关系。
22．一个长方体的铁块，被截成两个完全相等的正方体。两个正方体棱长之和比原来长方体棱长之和增加了16厘米。求原来长方体的长是多少厘米？
1．B
分析：若一个长方体的长、宽、高都相等，则这个长方体就是正方体，据此解答即可。
详解：由分析可知：
如果一个长方体中有四个面都是正方形，则这个图形就是正方体，那么其它两个面一定是正方形。
故答案为：B
分析：本题考查正方体的特征，明确正方体是特殊的长方体是解题的关键。
2．A
分析：将正方体的棱长扩大到原来的2倍，变成3×2＝6（cm），这样需要的小正方体的数量是最少的。此时每条棱上有2个小正方体，那么至少需要2×2×2＝8（个）小正方体。
详解：2×2×2＝8（个）
所以，拼成一个大正方体，至少需要8个棱长为3cm的小正方体。
故答案为：A
分析：本题考查了立体图形的切拼，掌握正方体的特征是解题关键。
3．B
分析：整数包括偶数和奇数，奇数和偶数范围不交叉；
立体图形中包括长方体和正方体，正方体是特殊的长方体，所以长方体包含正方体；
按角分，三角形可以分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
据此，判断各个图的正误即可。
详解：A．奇数和偶数是整数范围内两个不交叉的概念，表示出的关系是正确的；
B．立体图形中包括长方体和正方体，长方体包含正方体，表示出的关系是错误的；
C．三角形按角分可以分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，表示出的关系是正确的。
故答案为：B
分析：本题考查了奇数和偶数、长方体和正方体以及三角形的分类，属于综合性基础题，掌握相关概念是解题的关键。
4．C
分析：正方体有6个面，都是完全一样的正方形，据此分析。
详解：如图，若拼成一个大的正方体，需要完全一样的小正方体的个数至少是8个。
故答案为：C
分析：关键是熟悉正方体特征，此题容易想成如图这种情况。
5．C
分析：正方体有六个面且六个面都是正方形，正方体中相邻的面不相对，由左图和中图可知，1和2、3、4、6是相邻面，则1和5是相对面，由中图和右图可知，3和1、2、5、6是相邻面，则3和4是相对面，剩下的2和6是相对面，据此解答。
详解：分析可知，1的对面是5，3的对面是4，2的对面是6，所以4的对面一定是3。
故答案为：C
分析：掌握正方体的特征理解相邻的面一定不是相对面是解答题目的关键。
6． 正方形 圆
分析：因为正方体的六个面都是正方形，所以从正面、上面、左面看到的都是正方形；一个足球是球形所以无论从哪个方向看都是一个圆。据此填空即可。
详解：由分析可知：
一个正方体的魔方放在桌子上，从正面、上面、左面看到的都是正方形；一个足球放在桌子上从左面看到的是圆。
分析：本题考查从不同方向观察物体，明确正方体和球形的特点是解题的关键。
7．2
分析：骰子是正方体，正方体有6个面，正方体中相邻的两个面一定不是相对面，由图可知，1和2、3、4、5是相邻面，则1和6是相对面，2和1、4、5是相邻面，则2和3是相对面，剩下的4和5是相对面，据此解答。
详解：分析可知，四个完全一样的骰子的六个面上分别写着1、2、3、4、5、6，它们叠放在一起（如图）排成一个长方体，则数字3的对面是数字2。
分析：掌握正方体的特征，根据正方体中相邻的面不相对找出各数字的相对面是解答题目的关键。
8．81
分析：观察图形可知，从正面看露在外面的面有2个，从右面看露在外面的面有4个，从上面看露在外面的面有3个，所以露在外面的面共有2＋4＋3＝9个，根据正方形的面积公式：S＝a2，据此求出一个正方形的面积，再乘个数即可。
详解：2＋4＋3＝9（个）
3×3×9
＝9×9
＝81（cm2）
则露在外面的总面积应是81cm2。
分析：本题考查正方体的认识，明确露在外面的面的个数是解题的关键。
9． 等边三角形 长方形 正方形
分析：长方体和正方体的关系是长方体包括正方体，正方体是特殊的长方体；等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包含等边三角形；长方形和正方形的关系是长方形包括正方形，正方形是特殊的长方形；类似关系还有方程是含有未知数的等式，等式是含有等号的式子等，据此填空。
详解：如上图，如果A表示等腰三角形，那么B可以表示等边三角形；如果A表示长方形，那么B可以表示正方形。
分析：关键是熟练理解并掌握所学知识的意义与它们之间的联系。
10．√
分析：因为有27小正方体，27＝3×3×3，所以每条棱上有3个小正方体，三面涂色的小正方体只能在大正方体8个顶点上，据此解答即可。
详解：由分析可知：27＝3×3×3，即大正方体的每条棱上有3个小正方体，三面涂色的小正方体只能在大正方体的顶点上，正方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个。
故答案为：√
分析：本题考查组合图形的涂色问题，熟练掌握正方体的特征是关键。
11．√
详解：正方体可以看成长、宽、高都相等的长方体，即正方体是特殊的长方体。正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。如下图，正方体有6个面，8个顶点，12条棱。即原题说法正确。
故答案为：√
12．×
分析：根据长方体和正方体的特征可知，用4个一样大小的小正方体木块就可以拼成一个大一些的长方体，用8个一样大小的小正方体木块才可以拼成一个大正方体。据此解答。
详解：根据正方体的特征，用4个小正方体不可以拼成一个大正方体。如下图：
所以原题干说法错误。
故答案为：×
分析：本题考查了立体图形的拼接以及长方体和正方体的认识。
13．√
分析：对于一般的物体，从不同的位置观察物体，所看到的形状是不同的；但有特殊情况，如果这个物体是正方体，那么从正面、侧面和上面看到的都是一个正方形，即看到的形状一样；据此判断即可。
详解：如图：从不同的方向观察这个正方体，看到的图形是一样的。所以原题说法正确。
故答案为：√
分析：本题考查了从不同的方向观察物体，解答此题的关键：根据题意，找出实例论证即可。
14．×
分析：用同样的大小的正方体可以拼成一个大正方体，每条棱长上至少需要2个小正方体，由此即可解答。
详解：2×2×2＝8（个）
则用8个大小一样的小正方体可以拼成一个稍大的正方体。原题干说法错误。
故答案为：×
分析：此题考查了小正方体拼组大正方体的方法的灵活应用，需要的小正方体的总个数是：大正方体每条棱长上的小正方体的个数的3次方。
15．×
分析：正方体是特殊的长方体，长方体的每个面是长方形，长方形相邻的两条边是互相垂直的，同理正方体每个面上也能找到互相垂直的线段。
详解：长方体和正方体的各个面上能找到互相垂直的线段，所以这句话不对。
故答案为：×
分析：相交成直角的两条线段是互相垂直的。
16．60cm；60cm
分析：长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，正方体的棱长和＝棱长×12
详解：（6＋4＋5）×4
＝15×4
＝60（cm）
5×12＝60（cm）
分析：本题考查了长方体和正方体的特征，它们都有12条棱。
17．一样；不一样
分析：正方体12条棱长都一样，每个面的形状都是一样的正方形面，所以从正面、左面、上面观察，看到的图形一样。长方体相对的两个面的形状一样，从前面和后面看到的一样，左面和右面看到的一样。只有当两个面的形状是一样的时候，看到才会一样。据此解答。
详解：由分析可知，正方体的各个面都一样，所以从正面、左面、上面观察，看到的图形一样。长方体的各个面不完全相同，所以从正面、左面、上面观察，看到的图形不一样。
答：一个正方体，从正面、左面、上面观察，看到的图形一样；一个长方体，从正面、左面、上面观察，看到的图形不一样。
18．660厘米
分析：由图可知，正方体上下两个面分别需要计算4条棱的长度，四个侧面分别需要计算2条棱的长度，－共需要计算（4×2＋2×4）条正方体的棱长，再乘正方体每条棱的长度，最后加上打结处打包带的长度，据此解答。
详解：（4×2＋2×4）×40＋20
＝（8＋8）×40＋20
＝16×40＋20
＝640＋20
＝660（厘米）
答：一共要用660厘米的打包带。
分析：本题主要考查正方体棱长之和的应用，分析图形求出需要计算棱长的数量是解答题目的关键。
19．240厘米
分析：从图中可知，这两个正方体组合成一个长为20厘米，宽为20厘米，高为20×2＝40厘米的长方体；捆扎这个包装盒至少需要彩带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高，据此解答。
详解：20×2＝40（厘米）
20×2＋20×2＋40×4
＝40＋40＋160
＝240（厘米）
答：至少需要240厘米长的彩带。
分析：本题属于长方体的棱长总和的实际应用，解答关键是弄清是如何捆扎的，也就是弄清是求哪些棱的长度和。
20．16平方厘米；3个
分析：已知每个小正方体的棱长是1厘米，则每个面的面积是1平方厘米；观察几何体，从上面看到6个面，从正面看到5个面，从左面看到5个面；一共可以看到（6＋5＋5）个面，再乘每个面的面积即可。
观察几何体，从下层取走第一行的1个小正方体，第二行的2个小正方体，从正面看到图形不变，据此解答。
详解：6＋5＋5＝16（个）
1×1×16＝16（平方厘米）
如图：
答：从上面，正面和左面看到的图形面积和是16平方厘米。最多取走3个小正方体使得从正面看到的图形不变。
分析：先从上面、正面、左面数出看到的小正方形的个数，再求每个小正方形的面积。
取走小正方体又不影响从正面看到的图形，根据从正面观察几何体的特点，试着多次取，得出结论。
21．见详解
分析：长方体和正方体都有6个面，8个顶点，12条棱。长方体每个面都是长方形，特殊情况有两个面是正方形，长方体最多有6个面是长方形，长方形的12条棱可以分成4组，相对的棱的长度相等；相交于同一顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的 长、宽、高。正方体可以看成是 长、宽、高都相等的长方体。
详解：正方体可以看成是 长、宽、高都相等的长方体。用集合图表示长方体和正方体的关系是：
分析：此题主要考查了长方体的特征，要正确理解和掌握长方体的特征，平时注意基础知识的积累。
22．4厘米
分析：长方体能截成两个正方体，那说明长方体有两个面是正方形，如果宽和高相等，长应是高和宽的2倍，增加了8条和宽与高相等的棱。可先求高和宽，再求长方体的长。
详解：16÷8＝2（厘米）
2×2＝4（厘米）
答：原来长方体的长是4厘米。
分析：本题考查正方体的特征，明确正方体的特征是解题的关键。

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