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3.3 长方体、正方体的展开图
长方体和正方体的展开图都有多种。利用长方体和正方体的展开图可以探究各个面之间的关系。
注意：任何正方体的展开图不能是“田字型”，也不能是“凹字型”。
例1：下面三个图形中，不是正方体表面展开图的是（ ）。
A． B． C．
答案：A
分析：根据正方体展开图的类型，主要分为“1－4－1”型，“2－3－1”型，“2－2－2”型，“3－3”型，据此判断解答即可。
详解：A．不属于正方体展开图的类型，所以不是正方体的展开图；
B．属于“1－4－1”型，是正方体的展开图；
C．属于“1－4－1”型，是正方体的展开图；
故答案为：A
例2：下图中能折成长方体的有（ ）个。

A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C
分析：根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（同时特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等。据此解答即可。
详解：根据长方体展开图的特征可知：能围成长方体；不能围成长方体。
则能折成长方体的有3个。
故答案为：C
例3：在下面的8个面中找出6个面，使它们能组成长方体，这6个面的编号分别是( )。
答案：①⑥④⑦②⑧
分析：长方体中：长4条棱相等，宽4条棱相等，高4条棱相等。长方体的面也是两两相等，由此即可判断。
详解：由分析可得：在下面的8个面中找出6个面，使它们能组成长方体，这6个面的编号分别是①⑥④⑦②⑧。
例4：如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中与汉字“学”相对应的汉字是( )。
答案：思
分析：根据正方体的表面展开图有11中情况，图中涉及到“2—3—1”型，由此可进行折叠验证，得出结论。
详解：动手折叠后发现，“审”与“慎”相对，“学”与“思”相对，“博”与“问”相对。
所以，如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中与汉字“学”相对应的汉字是思。
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一、选择题
1．下列图形中，折叠后不能围成一个长方体的是（ ）。
A．B．C．D．
2．王叔叔打算做一个无盖的长方体鱼缸，已经准备了4块长方形玻璃，其中2块玻璃长6dm，宽4dm，另外2块玻璃长5dm，宽4dm，还需配1块（ ）的玻璃才刚好合适。
A．长6dm；宽5dm B．长4dm；宽4dm C．长6dm；宽4dm
3．如图是一个长方体的展开图，这个长方体的棱长之和是（ ）厘米。
A．160 B．90 C．60 D．40
4．将下图立方体盒子展开，以下各示意图中有可能是它的展开图的是（ ）。
A． B． C． D．
5．下图是一个正方体的展开图，折叠后“祝”所对的是（ ）字。
A．学 B．业 C．进 D．步
二、填空题
6．如图是正方体表面展开图，每两个相对面数字之和是10，请在这个正方体每个表面上填入适当的数。
7．如图是正方体展开图。把它折叠成小正方体，如果“中”字在下面，则与它相对的面的字是( )。

8．在长、宽、高不全相等的长方体中，最多可以有 个面是正方形；在这样的长方体中，有 个长方形的面相同。
9．把一张硬纸板按下图所示的虚线折叠，可以围成一个长方体，这个长方体上标有3的面与标有( )的面相对，标有6的面与标有( )的面相对。
10．下图是一个长方体展开的平面图。如果“建”字在上面，则( )字在下面，“城”字在前面，( )字在后面，“创”字在( )面，“市”字在( )面。
三、判断题
11．观察一个长方体，一次最多可以看到它的2个面。( )
12．一个长方体的所有棱长的长度之和是72厘米，相交于某一个顶点的三条棱之和是18厘米。( )
13．用一根长60cm的铁丝刚好焊成一个长方体框架，这个框架中相交于一个顶点的3条棱的长度和是20cm。( )
14．将左图折叠后可以围成一个正方体，1和3、4和5、2和6分别是相对的面。( )
15．用96厘米长的铁丝围成了一个正方体框架（接头处长度忽略不计），这个正方体的棱长是12厘米。( )
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四、解答题
16．下面是一个无盖的正方体纸盒，底面标有“O”，沿图中粗线将正方体剪开。
（1）你认为（ ）号图形是这个无盖纸盒的展开图。
（2）在你选择的展开图中标出“O”的位置。
17．将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l厘米的正方体．这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米？
18．正方体的6个面上分别写着1、2、3、4、5、6．请你猜一猜，与写有1、4、6的面相对的面上分别写着几？
19．我们学习数学，要学会用数学的眼光去观察，用数学的方法去分析，用数学的语言去表达。数形结合进行观察分析，联系相关数学知识进行解答。
如图，从一张长方形纸上剪下部分（图中阴影部分）后，正好折叠成一个长方体。已知长方体的长、宽、高分别是5厘米，2厘米，3厘米，请问原来长方形纸的面积是多少平方厘米？
20．淘气去商场买礼物，售货员设计了一种长方体礼品盒展开图（如下图）准备包装它。
（1）请观察分析设计图是否存在问题，若有多余部分，请在图中将多余部分画上斜线标注，如果缺少，请直接在图中补充完整。
（2）包装之后，测得这个礼品盒长25cm、宽15cm、高10cm。售货员准备给这个盒子捆扎丝带（如图），已知接头处长18cm，那么至少需要多少厘米长的丝带？
1．B
分析：根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（同时情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等。据此解答即可。
详解：A．根据长方体展开图的特征可知：沿虚线折叠后能围成长方体；
B．不符合长方体展开图的特征，所以不能围成长方体；
C．沿虚线折叠后能围成长方体；
D．沿虚线折叠后能围成长方体。
故答案为：B
分析：此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。
2．A
分析：一个无盖的长方体鱼缸，需要5个面来拼成。题目中已给了其中的4个面，可以根据这4个面的数据，确定第5块玻璃的数据。
详解：根据分析，一个无盖的长方体鱼缸，长和宽组成的底面1个，长和高组成的面2个，宽和高组成的面2个；结合玻璃的的数据，鱼缸的长为6dm，高为4dm，宽为5dm，题目中已知前、后面，和左、右面，缺少底面：长6dm，宽5dm；还需配1块长6dm，宽5dm的玻璃才刚好合适。
故答案为：A
分析：此题考查了长方体的棱长认识，关键能够发挥想象进行分析排除。
3．A
分析：通过观察图形可知，这个长方体的长是20厘米，两条宽与两条高的和是40厘米，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，把数据代入公式解答。
详解：20×4＋40×2
＝80＋80
＝160（厘米）
这个长方体的棱长总和是160厘米。
故答案为：A
分析：此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用，长方体的棱长总和公式及应用，关键是熟记公式。
4．C
分析：观察立方体盒子，“”与“”相邻，“”与两个“”都相邻，且含有标记的三个面相交于一个顶点，据此分析各选项正方体2－3－1型展开图，即可得出结论。
详解：A．折成立方体，含有标记的三个面不相交于一个顶点，“”与“”相对，排除；
B．折成立方体，含有标记的三个面不相交于一个顶点，“”与其中一个“”相对，排除；
C．折成立方体，含有标记的三个面相交于一个顶点，与原立方体符合；
D．折成立方体，含有标记的三个面不相交于一个顶点，“”与其中一个“”相对，排除。
故答案为：C
5．B
分析：2－3－1型正方体展开图，学所对的是进，你所对的是步，剩下两个字相对，据此分析。
详解：根据分析，折叠后“祝”所对的是业字。
故答案为：B
分析：关键是具有一定的空间想象能力，熟悉正方体展开图。
6．5；
3；8
分析：题干中所给图片为“3－3”型的正方体平面展开图，每两个相对面用同一颜色标示出，再计算出正方体每个表面上的数。
详解：正方体的相对面如图所示：
10－7＝3
10－5＝5
10－2＝8
将数字填在对应面上，如图所示：
分析：掌握正方体平面展开图的特征是解题关键。
7．有
分析：中间隔着两个小正方形或拐角形的三个面是正方形的邻面，则“一”、“个”、“国”都是“中”字的邻面；“z”字两端处的小正方形是正方体的对面，则“只”是“个”的相对面，“有”是“中”的对面。
详解：如果“中”字在下面，则与它相对的面的字是“有”。
分析：此题考查正方体展开图的相对面辨别方法，锻炼学生的空间想象能力。
8． 2 4
分析：当长方体的长、宽、高其中有两个是相等的，此时长方体就会有2个面是完全相等的正方形，余下的4个面是完全相等的长方形，据此分析解答。
详解：在长、宽、高不全相等的长方体中，最多可以有2个面是正方形，在这样的长方体中，有4个长方形的面相同。
9． 5 1
分析：根据长方体展开图的特征，此图属于长方体展开图“1－4－1”型，折成长方体后，数字“3”和“5”相对，“6”和“1”相对。
详解：根据长方体展开图的特征，这个长方体上标有3的面与标有5的面相对，标有6的面与标有1的面相对。
分析：根据长方体展开图的特征，结合自身空间想象能力，找到展开图的每个相对面。
10． 明 文 左 右
分析：根据长方体的特征，长方体的6个面是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等。通过观察长方体的展开图可知，“建”字与“明”字相对，“城”字与“文”字相对，“创”字与“市”字相对。据此解答即可。
详解：根据分析得，如果“建”字在上面，则“明”字在下面，“城”字在前面，“文”字在后面，“创”字在“左”面，“市”字在右面。
分析：本题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。
11．×
分析：长方体中共有6个面，其中3个面两两相对，能看到最多三个面。
详解：长方体中有6个面，其中有3个面两两相对，即相同的面在相对面，只能看到一面，故一次最多能看到3个面。因此本题错误。
分析：本题主要考查的是长方体的表面积，解题的关键是合理运用长方体表面6个面的特征，进而判断本题正误。
12．√
分析：相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高，由“长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4”可知，长＋宽＋高＝长方体的棱长之和÷4，据此解答。
详解：72÷4＝18（厘米）
所以，相交于某一个顶点的三条棱之和是18厘米。
故答案为：√
分析：熟练掌握并灵活运用长方体的棱长之和公式是解答题目的关键。
13．×
分析：把一根长60cm的铁丝焊成一个长方体框架，该长方体框架的棱长总和即为60cm，根据长方体的特征可知，长方体的棱长总和可以表示为（长＋宽＋高）×4，据此解答。
详解：长方体框架中相交于一个点的三条棱的长度之和可以表示为长方体的（长＋宽＋高），根据长方体的棱长总和（长＋宽＋高）×4可知，60÷4＝15（cm），所以这个框架中相交于一个顶点的3条棱的长度和是15cm。
故答案为：×
分析：解答本题的关键是熟练掌握长方体棱长的计算公式。
14．×
分析：在想象中，先试图将展开图还原，判断能否还原成一个正方体，从而解题。
详解：折叠后不能围成一个正方体，原说法错误。
故答案为：×
分析：本题考查了正方体的展开图，有一定空间想象力是解题的关键。
15．×
分析：根据正方体的总棱长公式：L＝12a，用96除以12即可求出这个正方体的棱长。
详解：96÷12＝8（厘米）
则这个正方体的棱长是8厘米。原题干说法错误。
故答案为：×
分析：本题考查正方体的总棱长，熟记公式是解题的关键。
16．（1）③；
（2）见详解
分析：（1）无盖的正方体纸盒展开是由5个相同正方形连成的平面图形。这个无盖的正方体纸盒展开图是“1－4－1”结构少一个“1”，且这个“O"与“4”的四个正方形中的第二个正方形对齐，上层为“4”，下层的“1”，即为“O”面正方形；据此选择即可。
（2）根据题意，这个无盖的正方体纸盒，底面标有“O”，沿图中粗线将正方体剪开后的图形为：。
详解：（1）根据分析可知，这个无盖的正方体纸盒，底面标有“O”，沿图中粗线将正方体剪开后的图形为③；
（2）根据分析可得：
在展开图中标出“O”的位置，如下：。
分析：解答此时，可根据图中做一个无盖正方体纸盒，沿着图中粗线剪开，看看是什么形状。
17．12平方厘米
详解：试题分析：将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l厘米的正方体，剪成后的图形应是
所以这张长方形的硬纸片的长应是4厘米，宽应是3厘米．然后再根据长方形的面积公式进行解答．
解：根据以上分析知这个长方形硬纸片的长应是4厘米，宽是3厘米，它的面积是：
4×3=12（平方厘米）．
答：这个长方形碣纸片的面积最小是12平方厘米．
分析：本题的关键是求出这个长方形硬纸片的长和宽，再根据长方形的面积公式进行计算．
18．1的对面是2 4的对面是5 6的对面是3
详解：略
19．98平方厘米
分析：根据图示可知，原来长方形纸的长是2＋5＋2＋5＝14（厘米），宽是2＋3＋2＝7（厘米），根据长方形面积公式解答即可。
详解：2＋5＋2＋5
＝7＋2＋5
＝9＋5
＝14（厘米）
2＋3＋2
＝5＋2
＝7（厘米）
14×7＝98（平方厘米）
答：原来长方形纸的面积是98平方厘米。
分析：本题考查了长方形面积公式的灵活运用知识，结合题意解答即可。
20．（1）见详解
（2）138厘米
分析：（1）长方体的展开图有1-4-1形式，题目中给出的展开图多了一部分；
（2）求丝带的长度就是求4个高2个长2个宽与接头长度的和。
详解：（1）设计图存在问题，有多余的部分
（2）
＝
＝138（厘米）
答：至少需要138厘米长的丝带。
分析：考查长方体展开图的特点，以及长方体棱长的有关知识，要知道绑丝带的长度相当于几个长宽高的长度，最后加上接头处的长度。

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