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3.4 长方体、正方体表面积的计算
长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
长方体的表面积：（长×宽+长×高+宽×高）×2
正方体的表面积：棱长×棱长×6
例1：一根长方体石材，底面是边长为2dm正方形，高是0.5m，为方便运输，至少用（ ）dm2大的牛皮纸才能将这根石材包起来。
A．48 B．24 C．20
答案：A
分析：求将这根石材包起来用到的牛皮纸大小，即是求长方体石材的表面积。长方体表面积＝前后面面积＋左右面面积＋上下底面面积，据此解答。
详解：0.5m＝5dm
2×5×2＋2×5×2＋2×2×2
＝20＋20＋8
＝48（dm2）
至少用48 dm2大的牛皮纸才能将这根石材包起来。
故答案为：A
例2：两个一样的正方体，拼成一个长方体，表面积（ ）。
A．增加了 B．减少了 C．不变 D．无法确定
答案：B
分析：如图，两个完全一样的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了两个正方形的面，据此分析。
详解：两个完全一样的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了。
故答案为：B
例3：两个完全相同的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了50平方厘米，原来每个正方体的表面积是( )平方厘米。
答案：150
分析：根据题意可知，将两个相同的正方体拼成了一个长方体，拼成的长方体表面积比原来两个正方体的表面积之和减少了50平方厘米，也就是拼成的长方体表面积比原来两个正方体的表面积之和减少了正方体的2个面的面积，据此可以求出正方体的一个面的面积，然后根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。
详解：50÷2×6
＝25×6
＝150（平方厘米）
即原来每个正方体的表面积是150平方厘米。
例4：一个长方体形状的铁盒，长1.2分米，宽0.8分米，高15厘米，如果围着它的侧面贴一圈商标纸，至少需要商标纸( )平方分米。
答案：6
分析：根据题意，围着长方体铁盒的侧面贴一圈商标纸（上下面不贴），那么贴商标纸的是长方体的前后面、左右面共4个面；根据“长×高×2＋宽×高×2”求出这4个面的面积之和，即是这张商标纸的面积。
详解：15厘米＝1.5分米
1.2×1.5×2＋0.8×1.5×2
＝3.6＋2.4
＝6（平方分米）
即至少需要商标纸6平方分米。
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一、选择题
1．一块长方体木料，长2米，宽和高都是3分米，沿着横截面把它锯成2段，表面积增加了（ ）平方分米。
A．9 B．18 C．27
2．如果沿着虚线切开，下面图（ ）的切法使增加的面的面积最小。
A． B． C．
3．将四个棱长是8cm的正方体拼成一个长方体（见下图），求表面积减少多少，下列算式正确的是（ ）。
A．6×82 B．3×82 C．6×8×4
4．如图所示的物体是由23块棱长为1cm的正方体积木拼搭而成，如果拿走其中的一块，那么剩下物体的表面积与原来相比，不可能是（ ）。

A．不变的 B．减少 C．减少 D．增加
5．一个长方体水池，长20米，宽10米，深2米，占地（ ）平方米。
A．200 B．400 C．520
二、填空题
6．焊接一个正方体框架共用去铁丝60cm，这个正方体的棱长是( )cm，在这个框架的四面粘贴彩纸，至少需要彩纸是( )cm2。
7．把一个长12厘米，宽7厘米，高5厘米的长方体木块，锯成两个完全一样的小长方体木块，表面积至少增加( )平方厘米，最多增加( )平方厘米。
8．把一个长10厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体切成两个大小相等的长方体，表面积最多增加( )平方厘米，最少增加( )平方厘米。
9．灯笼又称灯彩。每逢佳节，家家户户挂起大红灯笼，是我们的传统习俗。李爷爷用木条制作了一个棱长8厘米的正方体灯笼框架，需要木条( )厘米；给灯笼各面蒙上彩纸，需要彩纸( )平方厘米。
10．两个完全一样的正方体拼成一个长方体后，其表面积与原来两个正方体表面积之和相比( )。
三、判断题
11．表面积相等的两个长方体，它们的长、宽、高一定分别相等。( )
12．正方体的棱长总和扩大到原来的3倍，表面积扩大到原来的6倍。( )
13．正方体的表面积比长方体的表面积小。( )
14．从一个长方体的顶点处切下一个小正方体后，剩下的物体的表面积不变。( )
15．把两个棱长都是a分米的正方体拼成一个长方体，拼成的这个长方体的表面积是12a2平方分米。( )
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四、计算题
16．计算图形的表面积。
（1） （2）
五、解答题
17．学校要准备一件疫情隔离室，这间隔离室的长是6米，宽是5米，高是3米，门窗的面积是12.2平方米。如果每平方米需要花4元的涂料费，粉刷这个隔离室需要花费多少元？
18．一节长方体通风管长是2米，宽和高都是20厘米，如果做16节这样的通风管，至少需要铁皮多少平方米？
19．一个长方体的饮料盒，长7厘米、宽6厘米、高1.2分米。如果围着它的侧面贴满一圈商标纸，至少需要多少平方厘米的商标纸？
20．有一个棱长为8分米的立方体物体，现要挖去一个长为8分米，宽为1分米，高为1分米的长方体，则剩下部分的表面积是多少？（写出符合要求的全部答案）
21．“水立方”位于北京奥林匹克公园内，在“水立方”内，有一个国际标准的长方体游泳池，它的长是50米，宽是25米，深是2.5米。如果用瓷砖贴游泳池的四周和底面，那么贴瓷砖的面积是多少平方米？
22．李师傅用木板做了一个长方体无盖收纳箱，这个收纳箱长5分米，宽4分米，高3分米。做这个收纳箱用了多少平方分米的木板？
1．B
分析：根据题意可知，把长方体锯成2段，表面积增加了2个正方形的面积，正方形的边长是3分米，根据正方形的面积公式，用3×3×2即可求出增加的表面积。
详解：3×3×2
＝9×2
＝18（平方分米）
一块长方体木料，长2米，宽和高都是3分米，沿着横截面把它锯成2段，表面积增加了18平方分米。
故答案为：B
分析：本题主要考查了立体图形的切拼，明确表面积增加了哪些面是解答题目的关键。
2．C
分析：根据立体图形的切拼可知，把长方体切成两块，会增加2个横截面的面积，分别计算出3个选项中增加的横截面的面积，再比较大小，即可得解。
详解：A．增加的面的面积是：8×3×2＝48
B．增加的面的面积是：8×4×2＝64
C．增加的面的面积是：4×3×2＝24
24＜48＜64
所以选项C的切法使增加的面的面积最小。
故答案为：C
分析：此题主要是抓住长方体的切割特点，求出长方体横截面的面积是解决本题的关键。
3．A
分析：将四个正方体拼接成一个长方体减少了6个面，每个面的面积是8×8＝64cm2，据此求解。
详解：6×（8×8）
＝6×64
＝384（cm2）
表面积减少的面积是384cm2，可用6×82 来计算。
故答案为：A
分析：明确减少的面数是解题的关键。
4．B
分析：由题意可知，如图：若拿走的那块正方体是1号，则表面积比原来减少两个正方形的面积，即1×1×2＝2cm2；若拿走的那块正方体是2号，减少了3个正方形的面积，又增加了3个正方形的面积，则表面积不变；若拿走的那块正方体是3号，则表面积比原来增加了2个正方形的面积，即1×1×2＝2cm2；若拿走的那块正方体位于后面的中间部分，则表面积比原来增加四个正方形的面积，即1×1×4＝4cm2，据此选择即可。
详解：由分析可知：
所示的物体是由23块棱长为1cm的正方体积木拼搭而成，如果拿走其中的一块，那么剩下物体的表面积与原来相比，不可能减少1cm2。
故答案为：B
分析：本题考查表面积，明确表面积的定义是解题的关键。
5．A
分析：要求长方体水池的占地面积就是求长方体的下底面积，用长方形的面积＝长×宽，即可解答。
详解：由分析可知,长方体水池的占地面积:20×10＝200（平方米）
故答案为：A
分析：本题考查的目的是理解水池的占地面积，实际求长方体的下底面积。
6． 5 100
分析：根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，求出这个正方体的棱长；求四面粘贴彩纸的面积，根据正方形面积公式：面积＝棱长×棱长，代入数据，求出一个面的面积，再乘4即可解答。
详解：60÷12＝5（cm）
5×5×4
＝25×4
＝100（cm2）
焊接一个正方体框架共用去铁丝60cm，这个正方体的棱长是5cm，在这个框架的四面粘贴彩纸，至少需要彩纸是100cm2。
7． 70 168
分析：长方体木块，锯成两个完全一样的小长方体木块，表面积增加2个面，平行于最小的面锯开表面积增加的最少，平行于最大的面锯开表面积增加的最多，宽×高×2＝至少增加的表面积；长×宽×2＝最多增加的表面积，据此列式计算。
详解：7×5×2＝70（平方厘米）
12×7×2＝168（平方厘米）
表面积至少增加70平方厘米，最多增加168平方厘米。
8． 160 80
分析：平行于最大的面切下，切出的截面最大，平行于最小的面切下，切出的截面最小；
详解：10×8×2
＝80×2
＝160（平方厘米）
8×5×2
＝40×2
＝80（平方厘米）
表面积最多增加（160）平方厘米，最少增加（80）平方厘米。
分析：本题考查的是长方形面积公式的应用
9． 96 384
分析：正方体棱长和＝棱长×12，据此列式求出需要木条多少厘米；
正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此求出需要彩纸多少平方厘米。
详解：8×12＝96（厘米）
8×8×6＝384（平方厘米）
所以，需要木条96厘米；需要彩纸384平方厘米。
10．减少了
分析：一个正方体有六个面，两个有12个面，拼成长方体后少了两个面，还剩10个面，据此解答。
详解：因为拼成长方体后少了2个面，所以拼成的长方体的表面积比原来两个正方体的表面积之和减少了。
11．×
分析：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的表面积大小是由长、宽、高的数值根据公式求值决定的。假设其中一个长方体的长5厘米、宽1厘米、高1厘米，另一个长方体的长3厘米，宽2厘米，高1厘米，根据长方体的表面积公式，代入数据解答，再比较即可。
详解：长5厘米、宽1厘米、高1厘米的长方体的表面积是：
（5×1＋5×1＋1×1）×2
＝（5＋5＋1）×2
＝11×2
＝22（平方厘米）
长3厘米，宽2厘米，高1厘米的长方体的表面积是：
（3×2＋3×1＋2×1）×2
＝（6＋3＋2）×2
＝11×2
＝22（平方厘米）
所以两个长方体的表面积相等，它们的长、宽、高也不一定相等。原题干说法错误。
故答案为：×
12．×
分析：正方体的棱长总和＝棱长×12，正方体的棱长扩大到原来的3倍，则正方体的棱长总和扩大到原来的3倍，假设出原来正方体的棱长，根据“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”表示出原来和现在正方体的表面积，最后用除法求出正方体的表面积扩大的倍数，据此解答。
详解：假设原来正方体的棱长为a，现在正方体的棱长为3a。
（3a×12）÷（a×12）
＝36a÷12a
＝3
（3a×3a×6）÷（a×a×6）
＝54a2÷6a2
＝9
所以，正方体的棱长总和扩大到原来的3倍，表面积扩大到原来的9倍。
故答案为：×
分析：掌握正方体的棱长总和与表面积的计算公式是解答题目的关键。
13．×
分析：根据长方体、正方体的表面积的意义，长方体的表面积是指长方体的6个面总面积，正方体的表面积是指正方体的6个面的总面积，因此它们表面积的大小跟各自的棱长及长宽高有关，大小并不一定，可举例说明。
详解：比如长方体的长是3，宽为2，高是1，
长方体的表面积为：
3×2×2＋3×1×2＋2×1×2
＝12＋6＋4
＝22
正方体的棱长是3，则正方体的表面积是3×3×6＝54
22＜54
可见正方体的表面积并不一定比长方体的表面积小。
故答案为：×
分析：此题主要考查正方体、长方体的表面积的意义及计算方法。
14．√
分析：根据题意可知，长方体一个顶点处切去一个小正方体，表面积减少了3个小正方形的面积，同时又增加了3个小正方形的面积，所以表面积没有变化，据此解答。
详解：根据分析可知，从一个长方体的顶点处切去一个小正方体后，剩下的物体的表面积不变。原题干说法正确。
故答案为：√
分析：本题考查长方体的表面积，明确表面积的意义是解答本题的关键。
15．×
分析：两个正方体拼成一个长方体后，减少了2个面，据此解答即可。
详解：两个棱长都是a分米的正方体拼成一个长方体后，减少了2个面，则拼成的这个长方体的表面积是：
6×a2×2－2×a2
＝12a2－2a2
＝10a2（平方分米）
原题说法错误。
故答案为：×
分析：明确两个正方体拼成长方体后减少2个面是解题关键。
16．（1）256cm2；（2）150cm2
分析：（1）根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可；
（2）根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可。
详解：（1）（12×4＋12×5＋4×5）×2
＝（48＋60＋20）×2
＝128×2
＝256（cm2）
长方体的表面积是256cm2。
（2）5×5×6
＝25×6
＝150（cm2）
正方体的表面积是150cm2。
17．335.2元
分析：根据题意分析可知，先求出教室的表面积，用表面积减去地面的面积和门窗的面积得到需要粉刷的面积，再用需要粉刷的面积乘以每平方米花的涂料费即可得到粉刷完需要的花费。
详解：（6×5＋6×3＋5×3）×2－6×5－12.2
＝（30＋18＋15）×2－6×5－12.2
＝63×2－6×5－12.2
＝126－30－12.2
＝96－12.2
＝83.8（平方米）
83.8×4＝335.2（元）
答：粉刷这个隔离室需要花费335.2元。
18．25.6平方米
分析：通风管没有左右两个面，长方体的长×宽×2＋长×高×2＝1节通风管的表面积，1节通风管的表面积×16＝16节这样的通风管需要的铁皮面积，据此列式解答。
详解：20厘米＝0.2米
2×0.2×2＋2×0.2×2
＝0.8＋0.8
＝1.6（平方米）
1.6×16＝25.6（平方米）
答：至少需要铁皮25.6平方米。
19．312平方厘米
分析：求商标纸的面积就是求长方体的侧面积，根据长方体的侧面积＝底面周长×高，据此进行计算即可。
详解：1.2分米＝12厘米
（7＋6）×2×12
＝13×2×12
＝26×12
＝312（平方厘米）
答：至少需要312平方厘米的商标纸。
20．382平方分米、398平方分米或414平方分米
分析：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；分三种情况进行计算：从正方体三条棱相交的位置、从正方体上下两个表面之间的位置、从侧面的中间位置挖去一个长方体，分别用割补法求剩下部分的表面积，据此解答。
详解：分两种情况进行计算：
（1）如图：
由图可知，从该位置挖去一个长方体，表面积减少了，是原来的正方体表面积再减去小长方体（1×1）的2个面。
8×8×6－1×1×2
＝64×6－2
＝384－2
＝382（平方分米）
（2）如图：
由图可知，从该位置挖去一个长方体，是减少了长方体（1×1）的2个面，但是又增加了长方体（1×8）的2个面。
8×8×6－1×1×2＋1×8×2
＝64×6－2＋16
＝384－2＋16
＝382＋16
＝398（平方分米）
（3）如图：
由图可知，从该位置挖去一个长方体，是增加了长方体（1×8）的4个面，但是减少了长方体（1×1）的2个面。
8×8×6＋1×8×4－1×1×2
＝64×6＋32－2
＝384＋32－2
＝416－2
＝414（平方分米）
答：剩下部分的表面积是382平方分米、398平方分米或414平方分米。
21．1625平方米
分析：根据题意，需要求5个面的面积和，即四周和底面的面积和。用“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”即可得解。
详解：50×25＋50×2.5×2＋25×2.5×2
＝1250＋250＋125
＝1625（平方米）
答：贴瓷砖的面积是1625平方米。
22．74平方分米
分析：根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把数据代入公式解答。
详解：5×4＋5×3×2＋4×3×2
＝20＋30＋24
＝74（平方分米）
所以做这个收纳箱用了74平方分米的木板。
分析：此题主要考查无盖长方体的表面积公式，解题的关键是熟记公式。

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