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3.6 长方体、正方体体积公式的推导
长方体的体积=长×宽×高
V = abh
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
V = a3
例1：一个长方体的长、宽、高分别为am、bm、hm。如果长、宽不变，高增加3m，那么新长方体的体积比原来增加（ ）m3。
A．3ab B．3abh C．（3＋h）ab D．3h
答案：A
分析：长方体的高增加3m，体积增加了一个长方体，长×宽×增加的高＝增加的体积，据此表示出增加的体积即可。
详解：a×b×3＝3ab（m3）
那么新长方体的体积比原来增加（3ab）m3。
故答案为：A
例2：把一个棱长为1米的正方体木块切成棱长为1厘米的正方体小木块，再把这些切成的小木块拼成一排放在地面上，共占地（ ）平方米。
A．1 B．10 C．100 D．1000
答案：C
分析：一个棱长为1米的正方体体积是1立方米，棱长为1厘米的正方体的体积为1立方厘米，1立方米＝1000000立方厘米，故可以切1000000个这样的正方体小木块，边长1厘米的正方形面积是1平方厘米，1000000个这样的小正方体占地1000000平方厘米，1平方米＝10000平方厘米，将1000000平方厘米换算成平方米即可解答。
详解：由分析可知，每个小正方体占地面积为1平方厘米，1000000个棱长为1厘米的小正方体占地面积为1000000平方厘米，1平方米＝10000平方厘米，1000000÷10000＝100，所以1000000平方厘米＝100平方米，即把这些切成的小木块拼成一排放在地面上，共占地100平方米；
故答案为：C
例3：把一根长3米的长方体木料锯成三段，变成三个小长方体，表面积增加了60平方厘米，原来长方体木料的体积是( )立方厘米。
答案：4500
分析：锯成3段，增加了4个面的面积。将60平方厘米除以4，求出底面积。再根据“长方体体积＝底面积×高”列式求出这块木料的体积。
详解：3米＝300厘米
60÷4×300
＝15×300
＝4500（立方厘米）
所以，原来长方体木料的体积是4500立方厘米。
例4：一个正方体的棱长和是48厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
答案： 96 64
分析：正方体有12条棱，且长度都相等，已知正方体的棱长和是48厘米，用48除以12即可求出正方体的棱长。正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此代入数据计算。
详解：48÷12＝4（厘米）
4×4×6＝96（平方厘米）
4×4×4＝64（立方厘米）
则表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米。
基础过关练
一、选择题
1．下图中，三组图形在数学本质上有共同特征，描述准确的是（ ）。
A．每组中两个图形的位置不同。
B．每组中，大图形表示的数量不同。
C．每组中都有一个图形和一个能测量该图形的单位。
D．每组中都有一个小图形和一个大图形。
2．一种牛奶的外包装是长方体，量得外包装盒的尺寸如图（单位：厘米）。根据图中数据判断，牛奶的实际含量可能是（ ）毫升。

A．520 B．540 C．500 D．600
3．图中容积最大的盒子是（ ）。

A．1号 B．2号 C．3号
4．查字典也可帮我们学数学，我们经常见到毫米和毫升。你认为“毫”是什么意思？（ ）
A．细长而尖的毛 B．毛笔 C．千分之一
5．现在将正方体的棱长扩大为原来的2倍，下列表述正确的是（ ）。
A．扩大后这个正方体的棱长和是扩大前的12倍 B．扩大后这个正方体的表面积是扩大前的6倍
C．扩大后这个正方体的体积是扩大前的8倍 D．扩大后这个正方体的体积是扩大前的4倍
二、填空题
6．( )毫升＝140立方厘米 2.03米＝( )米( )厘米
8.09升＝( )升( )毫升 100.2cm2＝( )dm2＝( )m2
7．从三个方向看一个空心零件，三种视图如图所示。算一算，这个空心零件的体积是( )cm3，表面积是( )。（单位：cm）

8．王阿姨带100元去药房买单价7.8元/瓶的乙醇消毒液，最多可以买( )瓶；李阿姨买了一大瓶1升的84消毒液，准备分装到容量180毫升的小瓶中，她至少需要( )个这样的小瓶才能分装完。
9．请认真阅读下面的材料，在括号里填上合适的单位名称。
登机时间为起飞前45( )， 如果是国内航班，至少需要提前1.5( )到机场办理登机手续。小件行李是可以直接带上飞机的，无需托运。随身携带的行李，长55( )，宽40( )内，重量限制是5( )；容积小于100( )的液体也可以随身携带。
10．一个透明的塑料盆里装满了l立方厘米的小正方体。李老师从盒里拿出一些准备在数学课上用，还剩下一部分（如图）。李老师拿出了( )个小正方体。
11．明明用一些完全相同的小正方体木块搭出了一个长方体模型（如图），如果用这些木块搭一个底层有3行、每行有3个木块的新长方体模型，那么这个新模型应该有( )层。

三、判断题
12．小军用的橡皮擦体积是27立方分米。( )
13．1盒牛奶的体积是250立方厘米，里面能装250mL的牛奶。( )
14．我国古代数学名著《九章算术》中，集中而正确在给出了立体图形的体积计算公式。( )
15．保温杯的体积比水壶的体积大，所以保温杯的容积一定比这个水壶大。( )
16．与这两个量中，更大。( )
培优提升练
四、计算题
17．计算下面各立体图形的体积。
五、解答题
18．说一说：你在生活中见过的体积最大的物体是什么？体积最小的物体是什么？在生活中能找出哪些体积分别是1立方厘米、1立方分米、1立方米的物体？
19．我们知道了长度单位间、面积单位间的进率，体积单位间的进率是多少呢？
20．迎接建党100周年，学校要新建一间党员活动室，这间活动室从室内量长是10米，宽是8米，高是3米。它的容积是多少？
21．一个长6分米，宽5分米，高4分米的长方体鱼缸，鱼缸里水深3分米，将鱼缸里的一条鱼捞出后，水面高度下降到2.8分米，这条鱼的体积是多少？
22．如图所示，用混凝土浇筑一个无盖的长方体水槽，从外面量，长10分米、宽8分米、高4分米，混凝土厚1分米，根据以上信息计算出这个水槽的容积。
23．一个长方体容器如图所示：里面水深5.6分米。把一个西瓜全部浸没在水中后，容器中溢出5升水。这个西瓜的体积是多少立方分米？
24．小明把672毫升的牛奶倒入一个底面积为96平方厘米的长方体容器中，牛奶在这个长方体容器中深多少厘米？
1．C
分析：由图可知，第一组中，有一种图形和一个能测量长短的单位；第二组中，有一种图形和一个能测量面积的单位；第三组中，有一种图形和一个能测量体积的单位，据此选择。
详解：由分析可得：三组图形在数学本质上有共同特征，描述准确的是每组中都有一个图形和一个能测量该图形的单位。
故答案为：C
2．C
分析：长方体的体积＝长×宽×高，把长8厘米、宽5厘米、高13厘米代入公式即可计算出包装盒的体积。长方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但要从容器里面量长、宽、高，所以牛奶的实际含量小于包装盒的体积。据此选择即可。
详解：包装盒的体积：8×5×13
＝40×13
＝520（立方厘米）
520立方厘米＝520毫升
520＝520，540＞520，500＜520，600＞520，因为牛奶的实际含量小于包装盒的体积，所以牛奶的实际含量可能是500毫升。
故答案为：C
分析：计算长方体容器的体积要从外面量长、宽、高，而计算它的容积则要从里面量长、宽、高。同一个长方体容器，体积比容积大。
3．B
分析：容器所能容纳物体的体积是容器的容积，由于每个盒子里装的罐子是一样大的，则哪个盒子内装的东西更多，它的容积就越大，据此解答。
详解：第一个盒子装6个，第二个盒子装9个，第三个盒子装8个，所以第二个盒子容积大。
故答案为：B
分析：本题考查了容积，明确容积的定义是解题的关键。
4．C
分析：毫米是长度单位，用来计量物体的长度；毫升是容积单位，用来计量容器的容积，1米＝1000毫米，1升＝1000毫升，则“毫”应表示千分之一。
详解：由分析可知：
我们经常见到毫米和毫升。你认为“毫”表示千分之一。
故答案为：C
分析：本题考查长度和容积，明确长度和容积单位是解题的关键。
5．C
分析：假设正方体的棱长为1，扩大到原来的2倍，根据正方体的棱长和＝棱长×12；正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；分别求出扩大前后正方体的棱长和、表面积和体积，进而求出它们变化前后的关系。
详解：假设正方体的棱长为1，扩大到原来的2倍，
扩大后的棱长：1×2＝2
原来的棱长总和：1×12＝12
扩大后的棱长总和：2×12＝24
24÷12＝2
扩大后这个正方体的棱长和是扩大前的2倍；
原来的表面积：1×1×6＝6
扩大后的表面积：2×2×6＝24
24÷6＝4
扩大后这个正方体的表面积是扩大前的4倍；
原来的体积：1×1×1＝1
扩大后的体积：2×2×2＝8
8÷1＝8
扩大后这个正方体的体积是扩大前的8倍。
故答案为：C
分析：本题主要考查了正方体的棱长和公式、表面积公式、体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。
6． 140 2 3 8 90 1.002 0.01002
分析：根据进率：1立方厘米＝1毫升，1米＝100厘米，1升＝1000毫升，1m2＝100dm2，1dm2＝100cm2；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。
详解：（1）140毫升＝140立方厘米
（2）2.03米＝2米＋0.03米
0.03×100＝3（厘米）
2.03米＝2米3厘米
（3）8.09升＝8升＋0.09升
0.09×1000＝90（毫升）
8.09升＝8升90毫升
（4）100.2÷100＝1.002（dm2）
1.002÷100＝0.01002（m2）
100.2cm2＝1.002dm2＝0.01002m2
7． 22000 5800
分析：通过观察三种视图可知：这个空心零件是从一个长40cm，宽30cm，高20cm的长方体里挖去了一个长10cm，宽10cm，高20cm的长方体（如下图）。

根据“长方体的体积＝长×宽×高”分别求出外面大长方体的体积及里面小长方体的体积，再相减即可求出这个空心零件的体积。
先求出外面大长方体的表面积，再求出边长10cm的正方形的面积，再求出里面小长方体的4个侧面的面积和，最后用大长方体的表面积－2个边长10cm的正方形的面积＋里面小长方体的4个侧面的面积和，即可求出这个零件的表面积。
详解：40×30×20－10×10×20
＝24000－2000
＝22000（cm3）
（40×30＋40×20＋30×20）×2－10×10×2＋10×20×4
＝（1200＋800＋600）×2－200＋800
＝2600×2－200＋800
＝5200－200＋800
＝5000＋800
＝5800（cm2）
所以这个空心零件的体积是22000cm3，表面积是5800cm2。
分析：解决此题关键是根据三视图确定几何体的形状。
8． 12 6
分析：第一个空，最后无论剩下多少钱，只要不够一瓶乙醇消毒液的钱数，就无法购买一瓶乙醇消毒液，带的钱数÷乙醇消毒液单价，结果用去尾法保留近似数即可；
第二个空，最后无论剩下多少84消毒液，都得需要一个小瓶来装，84消毒液的体积÷小瓶容积，结果用进一法保留近似数即可。
详解：100÷7.8≈12（瓶）
1升＝1000毫升
1000÷180≈6（个）
王阿姨带100元去药房买单价7.8元/瓶的乙醇消毒液，最多可以买12瓶；李阿姨买了一大瓶1升的84消毒液，准备分装到容量180毫升的小瓶中，她至少需要6个这样的小瓶才能分装完。
分析：关键是理解用去尾法和进一法保留近似数的实际意义。
9． 分钟/min 小时/h 厘米/cm 厘米/cm 千克/kg 毫升/mL
分析：根据生活经验以及对时间单位、长度单位、质量单位、容积单位和数据大小的认识，结合实际情况选择合适的单位即可。
详解：登机时间为起飞前45分钟，如果是国内航班，至少需要提前1.5小时到机场办理登机手续。随身携带的行李长55厘米，宽40厘米内，重量限制是5千克；容积小于100毫升的液体也可以随身携带。
分析：本题主要考查根据情境选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择。
10．124
分析：棱长是1厘米的正方体体积是1立方厘米，观察题意可知，透明的塑料盆的长是7厘米，宽是5厘米，高是4厘米，根据长方体的体积公式，用7×5×4即可求出所有正方体的体积，已知1个小正方体是1立方厘米，所以7×5×4÷1所有正方体的个数；已知剩下16个小正方体，用所有的正方体个数减去16个小正方体，即可求出拿出的长方体个数。
详解：7×5×4÷1＝140（个）
140－16＝124（个）
李老师拿出了124个小正方体。
分析：本题主要考查了长方体、正方体体积公式的计算和应用，注意观察长方体对应的长、宽、高有几个小正方体，就可以判断长、宽、高的长度。
11．8
分析：从图中可知，长方体模型的长有6个小正方体，宽有4个小正方体，高有3个小正方体组成；根据长方体的体积公式V＝abh，即可求出搭成这个长方体模型所用小正方体的总个数；
如果用这些木块搭一个底层有3行、每行有3个木块的新长方体模型，求这个新模型的层数，根据长方体的高h＝V÷a÷b，即可求解。
详解：小正方体的总个数：
6×4×3
＝24×3
＝72（个）
层数：
72÷3÷3
＝24÷3
＝8（层）
这个新模型应该有8层。
分析：本题考查长方体体积公式的灵活运用，关键是得出图形拼组所用小正方体的总个数。
12．×
分析：常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，1立方厘米相当于一个手指尖的体积，一个粉笔盒的体积接近1立方分米，棱长为1米的正方体的体积是1立方米，据此选择合适的体积单位。
详解：分析可知，小军用的橡皮擦体积是27立方厘米，不是27立方分米。
故答案为：×
分析：本题主要考查根据情境选择合适的计量单位，结合题中数据联系生活实际选择合适的体积单位是解答题目的关键。
13．×
分析：一个物体的体积是从外面进行测量的，容积是从里面测量的，一般情况，一个物体的体积一定大于它的容积，因为物体都有一定的厚度。据此判断即可。
详解：由分析可知：
1盒牛奶的体积是250立方厘米，所以里面能装的牛奶一定小于250mL，原题干说法错误。
故答案为：×
分析：本题考查体积和容积，明确体积和容积的定义是解题的关键。
14．√
分析：我国古代数学名著《九章算术》中，集中而正确地给出了立体图形的体积计算公式。书中在求底面是正方形的长方体体积时，是这样说的：“方自乘，以高乘之即积尺。”就是说先用边长乘边长得底面积，再乘高就得到长方体的体积。
详解：由分析可知：
我国古代数学名著《九章算术》中，集中而正确在给出了立体图形的体积计算公式。说法正确。
故答案为：√
分析：本题考查常识知识，平时应多注意积累。
15．×
分析：容积是指容器所能容纳液体的体积，容积是从里面量长、宽、高；由此判断即可。
详解：保温杯的体积比水壶的体积大，并不能说明保温杯的容积一定比这个水壶大，因为容积是容器所能容纳物体的体积，容积是从里面量长、宽、高，所以题干的说法是错误的。
故答案为：×
分析：本题考查容积，明确容积是从里面测量长、宽、高是解题的关键。
16．×
分析：和这两个量中，前者是体积单位，后者是面积单位，由于单位不同，所以无法比较，据此解答。
详解：与这两个量中，因为单位不同，一个是体积单位，一个是面积单位，因此无法比较大小，所以原题干的说法是错误的。
故答案为：×
分析：解答本题的关键是理解和掌握体积单位和面积单位是不同的。
17．800m3；729dm3；90cm3
分析：根据正方体的体积公式V＝a3，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算，求出各立体图形的体积。
详解：（1）16×5×10
＝80×10
＝800（m3）
这个立体图形的体积是800m3。
（2）9×9×9
＝81×9
＝729（dm3）
这个立体图形的体积是729dm3。
（3）3×3×10
＝9×10
＝90（cm3）
这个立体图形的体积是90cm3。
18．见详解
分析：体积是指物体所占空间的大小。
根据生活经验以及对体积单位的认识，一个手指尖的体积约1立方厘米，一个粉笔盒的体积约1立方分米，棱长为1米的正方体的体积是1立方米；据此解答。
详解：我在生活中见过的体积最大的物体是楼房，体积最小的物体是盐粒。
体积是1立方厘米的物体：骰子、糖块；
体积是1立方分米的物体：粉笔盒、魔方；
体积是1立方米的物体：洗衣机、冰柜。
（答案不唯一）
19．见详解
详解：（1）棱长为1分米的正方体，体积是1立方分米，也可看作是棱长10厘米的正方体，由正方体体积的计算公式可以算出它的体积是1000立方厘米，由此得出：1立方分米＝1000立方厘米。
（2）棱长为1米的正方体，体积是1立方米，也可看作是棱长10分米的正方体，由正方体体积的计算公式可以算出它的体积是1000立方分米，由此得出：1立方米＝1000立方分米。
由上可知，1立方分米＝1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，相邻的两个体积单位之间的进率是1000。
20．240立方米
分析：活动室可以看作一个长方体容器，根据长方体体积计算公式，求出活动室的容积。
详解：
（立方米）
答：它的容积是240立方米。
分析：本题考查长方体的容积，解答本题的关键是掌握长方体的容积j计算公式。
21．6立方分米
分析：水面下降部分的水的体积就是鱼的体积，鱼缸长×宽×水面下降的高度＝鱼的体积，据此列式解答。
详解：3－2.8＝0.2（分米）
6×5×0.2
＝30×0.2
＝6（立方分米）
答：这条鱼的体积是6立方分米。
22．144升
分析：观察图形可知，这个水槽从里面测量的长为10－1×2＝8分米，宽为8－1×2＝6分米，高为4－1＝3分米，再根据长方体的容积公式：V＝abh，据此求出这个水槽的容积，结果再根据1立方分米＝1升，把结果化为升作单位。
详解：（10－1×2）×（8－1×2）×（4－1）
＝（10－2）×（8－2）×（4－1）
＝8×6×3
＝48×3
＝144（立方分米）
＝144（升）
答：这个水槽的容积是144升。
23．15立方分米
分析：根据题意可知，水面上升部分再加上溢出部分的水，就是这个西瓜的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出水上升部分的体积，再加上水溢出部分的体积，即可求出西瓜的体积。
详解：5升＝5立方分米
5×5×（6－5.6）＋5
＝25×0.4＋5
＝10＋5
＝15（立方分米）
答：这个西瓜的体积是15立方分米。
24．7厘米
分析：根据1毫升＝1立方厘米，先将单位统一，用牛奶的体积÷长方体容器的底面积即可。
详解：672毫升＝672立方厘米
672÷96＝7（厘米）
答：牛奶在这个长方体容器中深7厘米。

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