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3.7 长方体、正方体体积公式的应用
与平面接触的这个面叫做底面。
长方体的长和宽相乘就是底面的面积。
长方体或正方体底面的面积叫底面积。
长方体或正方体的体积=底面积×高
V = Sh
例1：玲玲家有一个长方体鱼缸。从里面量，长是60厘米，宽是15厘米，里面盛有水，水里养有一条鱼，此时水面高度是20厘米，如果把这条鱼捞出来，水面将下降到18厘米。这条鱼的体积是（ ）立方厘米。
A．5400 B．1800 C．16200 D．18000
答案：B
分析：根据题意，下降部分水的体积就等于鱼的体积。长方体体积＝长×宽×高，由此列式解答。
详解：60×15×（20－18）
＝900×2
＝1800（立方厘米）
所以，这条鱼的体积是1800立方厘米。
故答案为：B
例2：一个正方体的棱长扩大到原来的2倍后，体积是64dm3，正方体原来的体积是（ ）dm3。
A．8 B．16 C．32 D．128
答案：A
分析：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，正方体的棱长扩大到原来的2倍后，体积扩大到原来的（2×2×2）倍，已知一个数的几倍是多少，求这个数用除法，据此用现在的体积÷扩大到原来的倍数＝原来的体积。
详解：64÷（2×2×2）
＝64÷8
＝8（dm3）
正方体原来的体积是8dm3。
故答案为：A
例3：给一个棱长2厘米的正方体包装盒四周都贴上商标，贴商标的面积是( )平方厘米，这个正方体的体积是( )立方厘米。
答案： 16 8
分析：正方体的特征：6个面都是完全一样的正方形。
根据题意，如果在正方体包装盒四周都贴上商标，那么贴商标的面积等于正方体4个面的面积之和；根据正方形的面积公式S＝a2，求出一个面的面积，再乘4，即可求出贴商标的面积。
根据正方体的体积公式V＝a3，即可求出这个正方体的体积。
详解：2×2×4＝16（平方厘米）
2×2×2＝8（立方厘米）
贴商标的面积是16平方厘米，这个正方体的体积是8立方厘米。
例4：一根长方体的木料长200厘米，横截面积是0.04平方厘米，它的体积是( )立方厘米。
答案：8
分析：横截面积＝宽×高，根据长方体体积＝横截面×长，列式计算即可。
详解：0.04×200＝8（立方厘米）
它的体积是8立方厘米。
：基础过关练
一、选择题
1．一个长方体水缸，长20厘米，宽15厘米，将一块石头投入水中（石头全部浸没）水面上升2厘米，这块石头体积的计算算式是（ ）。
A． B．
C． D．
2．一个长方体油箱，从里面量长5分米，宽4分米，高4分米。如果每升汽油的价格为6.2元，加满这个油箱一共要用（ ）元。
A．469 B．496 C．498
3．把2瓶容量是2升的酱油倒入到500毫升的瓶子中，可以倒（ ）瓶。
A．10 B．4 C．8
4．有甲、乙、丙三个容器，把甲容器装满水倒入乙容器中，乙容器没有倒满，把丙容器的水倒入乙容器中，丙容器的水还有剩余，问最大的容器是（ ）。
A．甲容器 B．乙容器 C．丙容器 D．无法判断
5．一个长方体长x厘米、宽y厘米、高z厘米，如果它的高增加3厘米，那么体积比原来增加（ ）立方厘米。
A．3xy B．3xz C．3yz D．3xyz
二、填空题
6．一个长方体玻璃鱼缸长4分米，宽25厘米，鱼缸内盛有38厘米深的水。将一块假山石完全没入鱼缸中，现在鱼缸内水深41厘米。这块假山石的体积是( )立方厘米。
7．将两块正方体积木拼在一起拼成一个长方体（如图），每块积木的棱长为5厘米，拼成的长方体的体积是( )立方厘米。
8．饺子取“更岁交子”的意思，我国北方有过春节吃饺子的习俗。一般煮一锅饺子大约需要4( )水，吃饺子需用醋调料约10( )。（填合适的容积单位）
9．某品牌矿泉水瓶上标有“净含量毫升”的字样，表示这瓶矿泉水的标准净含量是( )升，实际每瓶最多不超过( )升，最少不少于( )升。
10．在一个长9分米、宽8分米，高5分米的长方体木块上截下一个体积最大的正方体木块，剩余部分的体积是( )立方分米。
三、判断题
11．一个长方体的长、宽、高同时扩大2倍，则表面积和体积扩大8倍。( )
12．若两个长方体的底面积和高分别相等，则它们的体积也相等。( )
13．把3块棱长为2cm的正方体木块拼成一个长方体。这个长方体的表面积是56cm2，体积是24cm3。( )
14．一瓶可乐的容量是2升，雪雪和爸爸、妈妈、哥哥每人喝450毫升就把这瓶可乐喝完了。( )
15．一种矿泉水桶最多能装19L水，19L是指这矿泉水桶的体积。( )
：培优提升练
四、解答题
16．要在平地上挖一个长50米、宽30米、深50厘米的长方体土坑，一共要挖出多少方的土？

17．将一块长12分米，宽8分米的长方形铁皮四个角各剪下一个边长为2分米的正方形（如图），然后焊成一个无盖的长方体水槽。这个水槽用了多少铁皮？水槽盛水多少升？（不计铁皮的厚度）
18．杭州亚运会跳水比赛在杭州奥体中心游泳馆举行。杭州奥体中心游泳馆位于杭州市萧山区，与杭州奥体中心体育馆称“化蝶”双馆。在杭州亚运会上，中国跳水“梦之队”在这里包揽了全部十枚金牌。工作人员现在给一个长50米，宽30米的长方体游泳池注水，注水速度是每小时200立方米。要使水深达到1.8米。需要多长时间？
19．一个注满水的长方体鱼缸，里面有一块体积为27立方分米的假山石。已知这个鱼缸的长为4.5分米，宽为2.5分米，高为8分米。若将鱼缸中的假山石取出，水位下降多少分米？
20．“水立方”位于北京奥林匹克公园内，它与一墙之隔的“鸟巢”一起被称为2008年北京奥运会两大标志性建筑物。你知道吗？在水立方内有一个国际标准的长方体游泳池，它的长是50米，宽是25米，深是3米。
（1）在内壁沿池底向上2米处画一条水位线。它的全长是多少米？
（2）如果用瓷砖贴水池的四周和底面，贴瓷砖的面积是多少平方米？
（3）如果池内水深2米，这个游泳池内的水有多少吨？（1立方米水重1吨）
21．一个铁箱长60厘米，宽50厘米，高40厘米，当水深2分米时，铁箱内的水的容积是多少升？将6块完全相同的石块放入铁箱内，石块全部潜入水底后水深2.06分米。每块石块的体积是多少？
22．一个长方体的空油箱，它的长、宽、高分别是5分米、4分米、3分米，向油箱中加入56升汽油，油箱加满了吗？如果每升汽油7.5元，则这次加油一共需要多少钱？
23．一个长方体的容器（如图），里面的水深5厘米，把这个容器盖拧紧后竖放，使长10厘米、宽8厘米的面朝下，这时里面的水深是多少厘米？

1．A
分析：因为石头完全浸没在水中，所以石头的体积等于上升的水的体积，上升的水的体积等于长是20厘米，宽15厘米，高是2厘米的长方体的体积，根据长方体体积长×宽×高，计算即可。
详解：20×15×2
＝300×2
＝600（立方厘米）
这块石头体积的计算算式是20×15×2。
故答案为：A
2．B
分析：根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，求出这个长方体油箱的容积，1立方分米＝1升，把立方分米换算成升，再乘6.2，即可解答。
详解：5×4×4
＝20×4
＝80（立方分米）
80立方分米＝80升
80×6.2＝496（元）
一个长方体油箱，从里面量长5分米，宽4分米，高4分米。如果每升汽油的价格为6.2元，加满这个油箱一共要用496元。
故答案为：B
3．C
分析：1升＝1000毫升，即4毫升＝4000毫升，用4000除以500即可得出答案。
详解：4000÷500＝8（瓶）
把2瓶容量是2升的酱油倒入到500毫升的瓶子中，可以倒（8）瓶。
故答案为：C
分析：本题主要考查单位的换算，解答本题的关键在于知道二者之间的进率。
4．C
分析：把甲容器装满水倒入乙容器中，乙容器没有倒满可知，则甲容器的容量＜乙容器的容量；把丙容器的水倒入乙容器中，丙容器的水还有剩余，则丙容器的容量＞乙容器的容量，依此比较并选择即可。
详解：根据分析可知，甲容器的容量＜乙容器的容量＜丙容器的容量，因此最大的容器是丙容器。
故答案为：C
分析：熟练掌握对容积的认识，是解答此题的关键。
5．A
分析：由题意可知，一个长方体长x厘米、宽y厘米、高z厘米，如果它的高增加3厘米，此时的高为（z＋3）厘米，再根据长方体的体积公式：V＝abh，据此分别求出变化前后长方体的体积，再求出它们的差即可。
详解：x×y×（z＋3）－x×y×z
＝xyz＋3xy－xyz
＝3xy
则体积比原来增加3xy立方厘米。
故答案为：A
分析：本题考查长方体的体积，熟记公式是解题的关键。
6．3000
分析：根据题意，将一块假山石完全没入鱼缸中，鱼缸里的水面由38厘米上升到41厘米，则假山石的体积等于水上升部分的体积；
水上升部分是一个长4分米、宽25厘米、高（41－38）厘米的长方体，先根据进率“1分米＝10厘米”统一单位，再根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这块假山石的体积。
详解：4分米＝40厘米
40×25×（41－38）
＝40×25×3
＝1000×3
＝3000（立方厘米）
这块假山石的体积是3000立方厘米。
7．250
分析：根据题意可知，长方体的长为（5＋5）厘米，宽和高都是5厘米，结合长方体的体积公式：，代入数据计算即可。
详解：长方体的长：5＋5＝10（厘米）
长方体的体积：10×5×5
＝50×5
＝250（立方厘米）
所以拼成的长方体的体积是250立方厘米。
8． 升/L 毫升/mL
分析：根据生活经验以及对容积单位和数据大小的认识可知，一般煮一锅饺子大约需要4升水，吃饺子需用醋调料约10毫升。
详解：根据实际情况可知，一般煮一锅饺子大约需要4升水，吃饺子需用醋调料约10毫升。
9． 0.5 0.505 0.495
分析：小单位化大单位除以进率，根据题意可知最多是（500＋5）毫升，最少是（500－5）毫升，再把它们的单位换算成升即可。
详解：（1）1升＝1000毫升，因为500÷1000＝0.5，所以500毫升＝0.5升；
（2）500＋5＝505（毫升），因为505÷1000＝0.505，所以实际每瓶最多不超过0.505升；
（3）500－5＝495（毫升），因为495÷1000＝0.495，所以实际每瓶最少不超过0.495升。
10．235
分析：根据题意，要截下一个体积最大的正方体木块，那么这个正方体的棱长等于长方体的高，再利用长方体和正方体的体积公式，分别求出长方体木块和正方体木块的体积，再用长方体木块的体积减去正方体木块的体积，即可得解。
详解：9×8×5－5×5×5
＝360－125
＝235（立方分米）
即剩余部分的体积是235立方分米。
分析：此题的解题关键是理解正方体的棱长与长方体的长宽高之间的关系，再利用长方体和正方体的体积公式，从而得解。
11．×
分析：设长方体的长是a，宽是b，高是h；扩大后长方体的长是2a，宽是2b，高是2h；根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积公式：体积＝长×宽×高，分别求出原来长方体的表面积和体积；扩大后长方体的表面积和体积，再用扩大后长方形体的表面积÷原来长方体的表面积；扩大后长方体的体积除以原来长方体的体积，再进行比较，即可解答。
详解：设原来长方体的长是a，宽是b，高是h；则扩大后长方体的长是2a，宽是2b，高是2h。
（2a×2b＋2a×2h＋2b×2h）×2÷[（a×b＋a×h＋b×h）×2]
＝（4ab＋4ah＋4bh）÷（ab＋ah＋bh）
＝4×（ab＋ah＋bh）÷（ab＋ah＋bh）
＝4
（2a×2b×2h）÷（a×b×h）
＝（4ab×2h）÷（abh）
＝8abh÷abh
＝8
一个长方体的长、宽、高同时扩大2倍，则表面积扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的8倍。
原题干说法错误。
故答案为：×
12．√
分析：底面积和高分别相等的长方体，根据长方体的体积公式可知：V＝Sh，可得出它们的体积也是相等的，据此解答。
详解：根据分析可得，若两个长方体的底面积和高分别相等，由于它们的体积都是用底面积×高求得，所以它们的体积也是相等的，原题说法正确。
故答案为：√
分析：本题考查了长方体体积公式，长方体的体积是由底面积和高的乘积共同决定的。
13．√
分析：把3块棱长为2cm的正方体木块拼成一个长方体，则该长方体的长为2×3＝6cm，宽和高都为2cm，然后根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，长方体的体积公式：V＝abh，据此进行计算并判断即可。
详解：2×3＝6（cm）
长方体的表面积：（6×2＋6×2＋2×2）×2
＝（12＋12＋4）×2
＝28×2
＝56（cm2）
长方体体积：
6×2×2
＝12×2
＝24（cm3）
则这个长方体的表面积是56cm2，体积是24cm3。题干说法正确。
故答案为：√
14．×
分析：雪雪和爸爸、妈妈、哥哥每人喝450毫升，喝了4个450毫升，用乘法可求出喝的毫升数，把2升乘进率1000化成2000毫升，再作比较，即可确定是否喝完了，据此解答。
详解：450×4＝1800（毫升）
2升＝2000毫升
1800毫升＜2000毫升
所以：一瓶可乐的容量是2升，雪雪和爸爸、妈妈、哥哥每人喝450毫升没把这瓶可乐喝完；原题说法错误。
故答案为：×
分析：本题解答的关键应明确升与毫升之间的进率是1000。
15．×
分析：根据容积的意义，某容器所能容纳别的物体的体积，叫做容器的容积；据此解答即可。
详解：一种矿泉水桶最多能装19L水，19L是指这矿泉水桶的容积。所以原题说法错误。
故答案为：×
分析：本题考查的目的是理解并掌握容积的意义及应用。
16．750方
分析：先根据进率“1米＝100厘米”把50厘米换算成0.5米；然后根据长方体的体积＝长×宽×高，以及进率“1立方米＝1米”，即可求出要挖出土的体积。
详解：50厘米＝0.5米
50×30×0.5
＝1500×0.5
＝750（立方米）
750立方米＝750方
答：一共要挖出750方的土。
17．80平方分米；64升
分析：观察图形可知，这个无盖的长方体的长为12－2×2＝8分米，宽是8－2×2＝4分米，高是2分米，求铁皮的面积就是求长方体五个面的面积（除去上面），五个面的面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×高，据此进行计算求出铁皮的面积；再根据长方体的容积公式：V＝abh，据此计算即可。
详解：12－2×2
＝12－4
＝8（分米）
8－2×2
＝8－4
＝4（分米）
（8×2＋4×2）×2＋8×4
＝（16＋8）×2＋32
＝24×2＋32
＝48＋32
＝80（平方分米）
8×4×2
＝32×2
＝64（立方分米）
64立方分米＝64升
答：这个水槽用了80平方分米的铁皮，水槽盛水64升。
18．13.5小时
分析：根据长方体的体积＝长×宽×高，用50×30×1.8即可求出水深达到1.8米时水的体积，再除以200即可求出到达1.8米时需要的时间。
详解：50×30×1.8＝2700（立方米）
2700÷200＝13.5（小时）
答：需要13.5小时。
19．2.4分米
分析：水位下降的体积就是假山石的体积，假山石的体积÷底面积＝水位下降的高度，据此列式解答。
详解：27÷（4.5×2.5）
＝27÷11.25
＝2.4（分米）
答：水位下降2.4分米。
20．（1）150米
（2）1700平方米
（3）2500吨
分析：（1）水位线的全长就是长方体底面周长，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，列式解答即可；
（2）贴瓷砖的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答；
（3）根据长方体体积＝长×宽×高，求出水的体积，水的体积×1立方米水的吨数＝游泳池内水的吨数，列式解答即可。
详解：（1）
（米）
答：它的全长是150米。
（2）
（平方米）
答：贴瓷砖的面积是1700平方米。
（3）（吨）
答：这个游泳池内的水有2500吨。
21．60升；0.3立方分米
分析：（1）先根据进率：1分米＝10厘米，将铁箱的长60厘米、宽50厘米分别换算成6分米、5分米；已知铁箱内水深为2分米，求水的容积，根据长方体的体积＝长×宽×高，以及进率：1立方分米＝1升，即可求解。
（2）将6块完全相同的石块浸入铁箱后，水深2.06分米；那么水面上升了（2.06－2）分米，水上升部分的体积等于6块石块的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出6块石块的体积，再除以6，即是每块石块的体积。
详解：（1）60厘米＝6分米
50厘米＝5分米
6×5×2＝60（立方分米）
60立方分米＝60升
（2）6块石块的体积：
6×5×（2.06－2）
＝6×5×0.06
＝30×0.06
＝1.8（立方分米）
每块石块的体积：
1.8÷6＝0.3（立方分米）
答：铁箱内的水的容积是60升，每块石块的体积是0.3立方分米。
分析：（1）本题考查长方体体积公式的运用以及长度单位、体积与容积单位的换算。
（2）本题考查不规则物体体积的求法，把求石块的体积转移到求水上升部分的体积是解题的关键。
22．没加满； 420元
分析：油箱的容积＝长×宽×高，求出油箱的容积和56升做对比，比56大则没加满；总价＝单价×数量，则用7.5×56即可求出这次加油需要的钱数。
详解：5×4×3
＝20×3
＝60（立方分米）
＝60（升）
60＞56
则邮箱没加满。
56×7.5＝420（元）
答：油箱没加满，这次加油一共需要420元。
分析：此题主要考查长方体的容积公式，熟练掌握总价、单价以及数量之间的关系也是解题的关键。
23．12.5厘米
分析：水的体积不管怎么放都是不变的，水的体积＝容器的底面积×水面高度，则用20×10×5先求出水的体积，再用水的体积除以容器新的底面积，即可求出此时水的深度是多少厘米。
详解：20×10×5÷（8×10）
＝1000÷80
＝12.5（厘米）
答：这时容器里面的水深是12.5厘米。
分析：明确水的体积不管如何摆放容器都是不变的是解题的关键。

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