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授课主题 平行线的性质与用尺规作图
知 识 梳 理
知识点一、平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等. 性质2：两直线平行，内错角相等. 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 注：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质． 知识点二、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离． 注：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离． (2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等． 知识点三、尺规作图 1. 定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图． 要点诠释： （1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度． （3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度． 2.八种基本作图（有些今后学到）： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． （6）已知一角、一边做等腰三角形． （7）已知两角、一边做三角形． （8）已知一角、两边做三角形．
例题精讲
考点1:应用平行线的性质求角度 例题： 1．如图，直线a，b被直线c所截，，则的度数是( ) A．130° B．30° C．45° D．50° 第1题图 第2题图 2．如图，将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，若，则( )． A． B． C． D． 3．如图，某地域的江水经过B、C、D三点处拐弯后，水流的方向与原来相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为( ) A．20° B．25° C．35° D．50° 第3题图 第4题图 4．如图，直线，直线与，均相交，若，则________． 5．在一个平面内，已知的两边与的两边分别平行，若，则 ． 6．如图，将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1＝55°，那么∠2＝_____°． 第6题图 第7题图 7．一副三角板按图1的形式摆放，把含45°角的三角板固定，含30°角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为()．在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时，的度数为______． 巩固练习 1．如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是( ) A．∠1+∠2 ∠3=90° B．∠1 ∠2+∠3=90° C．∠1+∠2+∠3=90° D．∠2+∠3 ∠1=180° 第1题图 第2题图 2．如图，，平分交于点E，若，则( ) A． B． C． D． 3．如图，于点，，，则( ) A．112° B．122° C．132° D．142° 第3题图 第4题图 4．如图，直线，点B在直线b上，且，，则的度数为( ) A． B． C． D． 5．如图，，若，则的度数为____． 第5题图 第6题图 6．一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，则的度数为______． 7．如图，，若，，则______． 第7题图 第8题图 8．如图，，，平分，，，为______°． 考点2：平行线的性质与判定的综合应用 例题： 1．如图，点、分别为、上的点，点、为上的点，连接，连接、交于点．已知，，若，求的度数． 请你将下面解答过程填写完整． 解：∵ ∴________ ∴(________________________) ∵ ∴_______ ∴(____________________________) ∴ ∵ ∴ 2．如图，，点E是线段上一点，且，．求的大小． 3．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 4．如图，直线和直线相交于点，连接，点分别在、、上，连接、，是上一点，已知
(1)求证：； (2)若平分，，求的度数．(用表示) 5．三角形ABC中，D是AB上一点，交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接BE，若，，求的度数； (3)如图3，在(2)的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若，BE平分，求的度数． 6．如图所示，直线分别与直线是好点B、F，且，的平分线交直线于点E，的平分线交直线于点C． (1)请判断直线与的位置关系，并说明理由 (2)请判断直线与的位置关系，并说明理由 (3)若，求的度数 巩固练习 1．已知：如图，直线，平分，．求：的度数． 2．如图，已知，． (1)试判断DE与BC的位置关系，并说明理由． (2)若DE平分，，求的度数． 3．在三角形中，于点，是上一点，于点，点在上，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长、交于点，若，请直接写出图中与互余的角，不需要证明． 4．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F． (1)CD与EF平行吗？为什么？ (2)如果∠1=∠2，且∠3=115°，∠A=30°，求∠B的度数． 5．补全解答过程： 如图，EF∥AD，∠1=∠2，若∠BAC=70°，求∠AGD． 解：∵EF∥AD，(已知) ∴∠2=　　　　，(两直线平行，同位角相等)． 又∵∠1=∠2，(已知) ∴∠1=∠3，(等量代换) ∴AB∥　　　　，(　 　　) ∴∠AGD＋∠BAC=180°．(　　 　) ∵∠BAC=70°，(已知) ∴∠AGD=　　　　． 6．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2 (1)求证：AB∥CD (2)若∠D＝∠3+50°，∠CBD＝70°，求∠C的度数． 7．如图，已知，，． (1)请你判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，平分，试求的度数． 8．如图，，，， ，求：的度数． 请完成下面的推理和计算过程，并在括号内写明依据． ∵(已知) ∴ ( ) ∵(已知) ∴ ∵(已知) ∴ ∴ ∴ ∴( ) ∴ ∵ ∴ ． 考点3：在生活中应用平行线性质和判定 例题： 1．一艘船停留在海面上，如果从船上看灯塔位于北偏东30°，那么从灯塔看船上位于灯塔的( ) A．北偏东30° B．北偏东60° C．南偏西30° D．南偏西60° 2．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是( ) A．102° B．112° C．120° D．128° 第2题图 第3题图 3．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A＝120°，第二次拐的角∠B＝160°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C 是( ) A．120° B．130° C．140° D．150° 4．一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____． 第4题图 第5题图 5．如图，在甲，乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东，若同时开工，则在乙地公路按南偏西 度的走向施工，才能使公路准确接通． 6．如图，∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB＝40°，在射线OB上有一点P，从点P点射出的一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是___________ 7．如图，点是内部一点，交于点．请你画出射线，并且，或的反向延长线交于点． (1)补全图形； (2)判断与的数量关系，并证明． 巩固练习 1．一条船停留在海面上，从船上看灯塔位于北偏东60°方向，那么从灯塔看船位于灯塔的(　　)方向 A．南偏西60° B．西偏南60° C．南偏西30° D．北偏西30° 2．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知，，，则的度数是( ) A． B． C． D． 3．小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段绕点缓慢向上旋转，段则一直保持水平状态上升(即与始终平行)，在该过程中始终等于( ) A． B． C． D． 4．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质斜射进入另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，则的度数是_______． 第4题图 第5题图 5．如图，要修建一条公路，从村沿北偏东75°方向到村，从村沿北偏西25°方向到村．若要保持公路与的方向一致，则的度数为______． 6．如图，在、两处之间要修一条笔直的公路，从地测得公路走向是北偏东，公司要求、两地同时开工，并保证若干天后公路准确接通． (1)地修公路的走向应该是　　 ； (2)若公路长12千米，另一条公路长6千米，且的走向是北偏西，试求到公路的距离？ 7．如图是种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时扶手与支架的夹角和扶手与靠背的夹角的度数． 考点4：平行线中的折点问题 例题： 1．如图，某地域的江水经过B、C、D三点处拐弯后，水流的方向与原来相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为( ) A．20° B．25° C．35° D．50° 第1题图 第2题图 2．如图，直线为直角，则等于( ) A． B． C． D． 3．如图，AB//CD，则图中_______________°； 第3题图 第4题图 4. 如图，，设，那么，，的关系式______． 巩固练习： 1．如图，，，，则( ) A． B． C． D． 第1题图 第2题图 2．如图：，，，的度数为( ) A． B． C． D． 3．如图，已知，，，则____________ 第3题图 第4题图 4．如图，AEFC是折线，AB//CD，那么∠1，∠2，∠3，∠4的大小所满足的关系式为_______________； 考点5：平行线性质与判定的综合问题 例题： 1．已知：直线分别与直线，交于点，．平分，平分，并且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为． 2． (探究)如图①，，点E在直线，之间．求证：． (应用)如图②，，点E在直线，之间．若，，，平分，平分，则的大小为_________． 3．已知：和同一平面内的点． (1)如图1，点在边上，过作交于，交于．根据题意，在图1中补全图形，请写出与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点在的延长线上，，．请判断与的位置关系，并说明理由． (3)如图3，点是外部的一个动点．过作交直线于，交直线于，直接写出与的数量关系，并在图3中补全图形． 4．如图1所示的是北斗七星的位置图，图2将北斗七星分别标为，，，，，，，并顺次首尾连接，若恰好经过点，且，． (1)求的度数． (2)连接，当与满足怎样的数量关系时，，并说明理由． 5．根据所给图形及已知条件，回答下列问题： (1)①如图1所示，已知直线，，那么根据_________可得________； ②如图2，在①的条件下，如果平分，则________； ③如图3，在①、②的条件下，如果，则________． (2)尝试解决下列问题：如图4，已知，，是的平分线，，求的度数． 巩固练习 1．已知两条直线l1，l2，l1∥l2，点A，B在直线l1上，点A在点B的左边，点C，D在直线l2上，且满足． (1)如图①，求证：AD∥BC； (2)点M，N在线段CD上，点M在点N的左边且满足，且AN平分∠CAD； (Ⅰ)如图②，当时，求∠DAM的度数； (Ⅱ)如图③，当时，求∠ACD的度数． 2.如图1，AB∥CD，直线AE分别交AB、CD于点A、E．点F是直线AE上一点，连结BF，BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，BP与EP交于点P． (1)若点F是线段AE上一点，且BF⊥AE，求∠P的度数； (2)若点F是直线AE上一动点(点F与点A不重合)，请直接写出∠P与∠AFB之间的数量关系． 3．已知，，，试解答下列问题： (1)如图①，则__________，则与的位置关系为__________ (2)如图②，若点E、F在线段上，且始终保持，．则的度数等于__________； (3)在第(2)题的条件下，若平行移动到图③所示 ①在移动的过程中，与的数量关系是否发生改变，若不改变，求出它们之间的数量关系；若改变，请说明理由． ②当时，求的度数． 4．已知△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G． (1)如图1，若∠ACB＝90°，∠A＝50°，直接求出∠G的度数； (2)如图2，若∠ACB≠90°，试判断∠G与∠A的数量关系，并证明你的结论； 5．如图1，D是△ABC延长线上的一点，CEAB． (1)求证：∠ACD＝∠A+∠B； (2)如图2，过点A作BC的平行线交CE于点H，CF平分∠ECD，FA平分∠HAD，若∠BAD＝70°，求∠F的度数． (3)如图3，AHBD，G为CD上一点，Q为AC上一点，GR平分∠QGD交AH于R，QN平分∠AQG交AH于N，QMGR，猜想∠MQN与∠ACB的关系，说明理由． 考点6：应用尺规作图作已知角 例题： 1．下面出示的的尺规作图题，题中符号代表的内容正确的是( ) 如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF=∠AOB 作法：(1)以①为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q； (2)作射线EG，并以点E为圆心②长为半径画弧交EG于点D； (3)以点D为圆心③长为半径画弧交(2)步中所画弧于点F； (4)作④，∠DEF即为所求作的角． A．①表示点E B．②表示PQ C．③表示OQ D．④表示射线EF 2.如图，线段交于． (1)尺规作图：以点为顶点，射线为一边，在的右侧作，使．(要求：不写作法，但保留作图痕迹并写出结论) (2)判断与的位置关系并说明理由； 3．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，王师傅开车在一条公路上经过点B和点C处两次拐弯后继续前行，且前行方向和原来的方向AB相同．已知第一次的拐角为∠ABC，请借助圆规和直尺作出第二次拐弯后的拐角∠BCD． 巩固练习 1．作图题：已知∠α，线段m、n，请按下列步骤完成作图(不需要写作法，保留作图痕迹) (1)作∠MON＝∠α (2)在边OM上截取OA＝m，在边ON上截取OB＝n． (3)作直线AB． 2．如图，已知中，，点在上． (1)试用直尺和圆规在上找一点，使(不写作法，但需保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下，若；求证：． 3．如图所示，已知和． (1)以为一边在的外部画，； (2)画出的平分线； (3)量一量，的度数是多少？ 考点7：与平行线有关的作图问题 例题： 1．如图所示的方格纸中，每个方格均为边长为1的正方形，我们把每个小正方形的顶点称为格点，已知都是格点．请按以下要求作图(注：下列求作的点均是格点) (1)过点作一条线段，使平行且等于； (2)过点作线段的垂线段； (3)过点作线段的垂线段，并判断与的位置关系； (4)求的面积． 2．如图，所有小正方形的边长都是1个单位，A B C均在格点上仅用无刻度直尺画图： (1)过点A画线段的平行线； (2)过点B画线段的垂线，垂足为B； (3)过点C画线段的垂线，垂足为E； (4)线段的长度是点C到直线________的距离； (5)线段 的大小关系是_________(用“<”连接)，理由是__________________． 3．如图，平面上有一条直线AB以及AB外一点P，请你只用一块含30°角的三角板经过P点画直线CD使CD∥AB，简单说明你的画法． 4．如图，所有小正方形的边长都是1个单位，A B C均在格点上仅用无刻度直尺画图： (1)过点A画线段的平行线； (2)过点B画线段的垂线，垂足为B； (3)过点C画线段的垂线，垂足为E； (4)线段的长度是点C到直线________的距离； (5)线段 的大小关系是_________(用“<”连接)，理由是__________________． 巩固练习 1．如图，点P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，交于点E； (2)过点P画的垂线，垂足为H； (3)过点P画的平行线； (4)若每个小正方形的边长是1，则点P到的距离是___________； (5)线段的大小关系是_____________________(用“<”连接)． 2．利用网格画图，每个小正方形边长均为1 (1)过点C画AB的平行线CD； (2)仅用直尺,过点C画AB的垂线，垂足为E； (3)连接CA、CB，在线段CA、CB、CE中，线段______最短，理由___________． (4)直接写出△ABC的面积为 _________． 3．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点都在格点上． 找一格点，使得直线，画出直线； 找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； 找一格点，使得直线，画出直线； 连接，则线段的大小关系是 (用“”连接)． 4．已知方格纸上点O和线段AB，根据下列要求画图： (1)画直线OA； (2)过B点画直线OA的垂线，垂足为D； (3)取线段AB的中点E，过点E画BD的平行线，交AO于点F． 5．如图，直线CD与直线AB相交于C，解答下列问题. (1)过点P画PQ∥CD，交AB于点Q； (2)过点P画PR⊥CD，垂足为R，连接PC，判断PC与PR的大小，并说明理由

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