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线段最值问题的方法技巧
模型介绍：几何最值中比较常见的是线段最值与线段和差最值，主要来源于两个公理，一是两点之间线段最短，二是垂线段最短，由这两个公理衍生出一些基本定理和基本图形.
常用到的定理是：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
解题思路：利用平移、对称或旋转来变换线段和点的位置， 使动点变定点， 或找出动点的运动轨迹 ( 经常在某直线或某圆周上) ，使之符合基本定理或基本图形来求线段最值或线段和差最值.
类型 1 平移变换
方法技巧 基本型
平移变换 线段AB平移，注意线段AB不能发生旋转，与定点或动点(一般情况下在直线上移动)之间连线组成线段和差最值，利用平行四边形的对边平行且相等来变换线段的位置.
例1、如图，已知直线，点A，B分别在直线b，c 上，且 C，D是平面内的两点， 若求的最小值.
练习题
1、如图，OA 是⊙O的半径，，B是⊙O上一动点，过点B作且(点C 在点B 的上方)，连接 DC，求DC的最小值和最大值.
2、如图，直线，且两条平行线间的距离是2，C是直线b，c外一点，且点 し均且线c的距离 ，点A，B分别在直线b，c上，且AB与直线b所夹的锐角是，E是直线c上一点， ，且过点E的直线EF与直线c 所夹的锐角是，M是EF上一点，连接 AM，求AM的最小值.
类型 2 对称变换
方法技巧 基本型
对称变换 一个点或多个点在同一条直线上移动或在不同直线上移动，利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等来变换线段的位置.
例1、如图，P是直线l上任意一点，A，B是直线l上方的两点，A，B两点到直线l 的距离分别是 1，4即，已知 求的最小值.
练习题
1、如图，P 为AB 的中点，顶点为 P 且在AB 上方的两条射线PM，PN形成的夹角 C是PM 上一点，D是PN上一点，且求 CD的最大值.
2、如图，在矩形ABCD和矩形CEFG中，E是DC上一点，G是BC上一点M是BC上一动点，连接 AM，N是AM的中点,连接ND，NF，求D的最大值.
3、问题提出
（1）如图1，点A，B分别在直线l的两侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，AM＝2，BN＝3，MN＝5，P是直线l上一点，求PA+PB的最小值．
问题探究
（2）如图2，点A，B分别在直线l的同一侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，AM＝3，BN＝4，MN＝7，P是直线l上一点，求PA+PB的最小值．
问题解决
（3）如图3，某市进行河滩治理，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点．如图，OM，ON是两条互相垂直的旅游大道，A，B是位于河中的两座休闲小岛，且岛A与OM的距离为20m，与ON的距离为30m，岛B与OM的距离为40m，与ON的距离为20m．现计划在旅游大道OM处选一点P，修建桥梁PA，PB，通往A，B两岛，并修建桥梁AB，将A，B两岛连起来，计算所修建的所有桥梁的最短长度．（结果保留根号）
类型3 旋转变换
方法技巧 基本型
旋转变换 通过旋转变换，把由三角形内一点发出的三条线段(星型线) 转化为两定点之间的折线(化星为折)，再利用“两点之间，线段最短”求最小值(化折为直).
例1、问题提出：
如图1，△ABC是边长为1 的等边三角形，P 为△ABC 内部一点，连接 PA，PB，PC，求 PA+PB+PC 的最小值.
方法分析：
通过旋转，可把所求问题中的 PA，PB，PC 由分散变为集中，再利用“两点之间，线段最短”求最小值.
问题解决：
如图 2，将△BPA绕点B逆时针旋转60°至，过点作交CB的延长线于点E， 连接设与AB相交于点D，易知∠ABC=120°，由知为等边三角形，因此，故PA+PB+PC=P'A'+P'P+PC，当点P，C共线时，PA+PB+PC最小，最小值是，的长，再在Rt△A'BE 和中解直角三角形，即可求出的长.
学以致用：
(1)如图3，在△ABC 中，∠BAC=30°，AB=4，CA=3，P 为△ABC 内部一点，连接 PA，PB，PC，则 PA+PB+PC 的最小值为 ;
(2)如图4，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=2 ，CA=3，P为△ABC 内部一点，连接 PA，PB，PC，则的最小值为 .
练习题
【问题背景】
数学活动小组在学习《确定圆的条件》时，曾遇到这样一个问题：如图1，草原上有三个放牧点，要修建一个牧民定居点，使得定居点到三个放牧点的距离相等，那么如何确定定居点的位置？
（1）请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出定居点O的位置，使点O到点A，B，C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
【问题探索】
聪明的小智在解决这个问题之后，继续提出新的问题，如图3，在平面内是否存在一点P，使点P到△ABC三个顶点的距离之和最小？
通过不断探究，小智发现可以借助旋转的思想解决这个问题，如图4，把△APC 绕点A逆时针旋转 60°，得到△AP'C'，连接 PP'，可知△APP′为等边三角形，因此 PA+PB+PC＝PP'+PB+P'C'，由两点之间，线段最短，可知PA+PB+PC 的最小值即为点B，P，P′，C′共线时线段BC′的长．
【类比探究】
（2）如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为△ABC 内一点，连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC 的最小值．
【实际应用】
（3）如图6，现要在矩形公园ABCD内，选择一点P，从点P铺设三条输水管道PB，PC，PE，要求PE⊥AD．若AB＝4，BC＝6，请直接写出输水管道长度的最小值．

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