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八年级数学下册同步精品讲义（北师大版）
专题1.1 等腰三角形
1.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，并应用他们解决基本的几何问题；
2.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质；
3.掌握等腰三角形的判定定理及其运用；
4.学习等边三角形的性质与判定定理，并能够运用其解决问题；
5.理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明；
6.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题．
知识点01 等腰三角形的性质及其推理
【知识点】
定理：等腰三角形的两个底角相等． 简述：等边对等角．
推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线 底边上的高互相重合（三线合一）．
补充：1）等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等；
2）过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等；
3）两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等．
【知识拓展1】利用等边对等角计算角度
例1.（2022·安徽芜湖·九年级统考期末）
1．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为且点在小量角器上对应的刻度为，那么点在大量角器上对应的刻度为只考虑小于的角( )
A． B． C． D．
【即学即练】
（2022春·成都市·八年级期中）
2．如图，已知， …，以此类推，若，则 ．
【知识拓展2】等腰三角形的性质：“三线合一”求角度
例2.（2022春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）
3．如图，在中，，平分，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（2022春·辽宁大连·八年级期末）
4．如图，在中，，D为的中点，，，求的度数．
【知识拓展3】等腰三角形的性质：“三线合一”求长度
例3.（2022春·广东梅州·八年级校考阶段练习）
5．如图，在 中，， 是 边上除 ， 点外的任意一点，则 ．
【即学即练3】
（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）
6．如图，在中，，平分．若，，则的周长为（ ）
A．11 B．14 C．16 D．18
知识点02 等腰三角形的判定
【知识点】
有两个角相等的三角形是等腰三角形．（简称“等角对等边”）．
等腰三角形的判定方法：
①有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义法）
②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
【知识拓展1】网格中的等腰三角形个数判断
例1.（2022春·浙江衢州·八年级校联考期中）
7．如图，已知每个小方格的边长为1，、两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点，使为等腰三角形，则这样的顶点有（　　）
A．9个 B．8个 C．7个 D．6个
【即学即练】
（2022春·浙江台州·八年级台州市书生中学校考期中）
8．如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（ ）个．
A． B． C． D．
【知识拓展2】根据等角对等边判定等腰三角形
例2.（2022春·广东东莞·八年级期中）
9．已知：如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的周长．
【即学即练】
（2022春·福建厦门·八年级校考期中）
10．如图，点E、F在BC上，，，，与交于点G，求证：是等腰三角形．
【知识拓展3】根据等角对等边证明边相等
例3.（2022·贵州遵义·三模）
11．如图，在 中， 平分 ，， ，，则的周长为（　　）
A．2 B．24 C．27 D．3
【即学即练3】
（2022春·辽宁大连·八年级期末）
12．是等边三角形，点是上一点，点在的延长线上，且．
(1)如图1，当点是的中点时，求证：；
(2)如图2，当点是上任意一点时，取的中点，连接．求的度数
【知识拓展4】等腰三角形的相关操作类问题
例4.（2022·吉林长春·八年级期中）
13．如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
【即学即练4】
（2022春·吉林长春·八年级期末）
14．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．线段的端点在格点上．
(1)在图①中画出一个以为腰的等腰直角三角形；
(2)在图②中画出一个以为底的等腰三角形，其面积为______．
知识点03 等边三角形的性质与判定
【知识点】
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°
等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质．
等边三角形的判定
（1）三边相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形
（3）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【知识拓展1】等边三角形的性质
例1.（2022春·重庆合川·八年级期末）
15．如图，等边中，是边上的高，交于点E，若，则的边长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
【即学即练1】
（2022春·河南南阳·八年级统考期中）
16．如图，中，，，，垂足为，延长到，使，若的周长为，，则的周长是 ．(用含的代数式表示)
【知识拓展2】等边三角形的判定
例2.（2022春·辽宁葫芦岛·八年级期中）
17．如图，中，．点D，E在边上，且．
(1)求的度数；
(2)求证：是等边三角形．
【即学即练2】
（2022春·浙江杭州·八年级校联考期中）
18．如图， 在中，，点分别在边上，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)当时, 求的度数；
(3)若，判断是何种三角形．
【知识拓展3】含30°的直角三角形的性质
例3.（2022春·山东德州·八年级统考期中）
19．如图，大树垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得，他沿方向走了20米，到达D处，测得，则大树的高度为（　　）米.
A．6 B．8 C．10 D．20
【即学即练3】
（2022·福州·八年级校考期末）
20．如图，在等腰中，，为上一点，且，若，，则的长是 ．
【知识拓展4】等边三角形性质与判定综合
例4.（2022西安·八年级统考期中）
21．如图，等边中，，分别在，边上，且，与交于点，于点，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【即学即练4】
（2022·广东·八年级考期中）
22．如图，在中，分别以、为边作等边三角形与等边三角形，连接、，与交于点，连接．有以下四个结论：①；②平分；③；④．其中结论一定正确的个数有（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④
题组A 基础过关练
（2022·浙江温州·模拟预测）
23．如图，在中，，点是延长线上一点，且，已知，，则的面积为（ ）
A．7 B．14 C．21 D．28
（2022春·广西·八年级期中）
24．下列说法中，正确结论的个数为（ ）
（1）关于某一条直线对称的两个图形一定全等；
（2）有一角为，且腰长相等的两个等腰三角形全等；
（3）有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；
（4）如果一个三角形的一个外角的角平分线与这个三角形的一边平行，那么这个三角形一定是等腰三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期中）
25．如图，在中，，D为的中点，于点E，若，则的长为（　　）
A．1.5 B．2 C．1 D．
（2022春·河北石家庄·八年级期中）
26．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的底边长为(　　)
A． B． C．或 D．或
（北京市朝阳区2022－2023学年八年级上学期期末检测数学试题）
27．如图，在中，平分，则 ．
（2022春·江苏南通·八年级期中）
28．如图，在中，、分别是和的平分线，过点E作交于D、交于F，若，，则周长为 ．
（2021春·北京西城·八年级校考期中）
29．如图，点D，E在的边上，，．
求证：．
（2022春·浙江温州·八年级校考期中）
30．在下列网格中，每个小正方形的边长均为1．请按要求画出格点三角形．
(1)在图1中画出一个等腰．
(2)在图2中画出一个，且其三边都不与网格线重合．
（2022春·安徽芜湖·八年级阶段练习）
31．如图，线段AB上两点C、D，，，，连接DE并延长至点M，连接CF并延长至点N，DM，CN交于点P，；
(1)求证：；
(2)求证：是等腰三角形．
（2022春·湖北孝感·八年级统考期末）
32．如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，，交于点P，，垂足为点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
（2022·广东东莞·八年级期中）
33．如图，是等边三角形，点、、分别在、、上；若，，求证：
(1)；
(2)是等边三角形．
题组B 能力提升练
（2020春·浙江宁波·八年级校考期中）
34．如图，是的平分线，， 交于E，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
（2022春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）
35．如图，，，，．则下列4个结论：①；②是等边三角形；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（北京市朝阳区2022－2023学年八年级上学期期末检测数学试题）
36．如图，O是射线上一点，，动点P从点C出发沿射线以的速度运动，动点Q从点O出发沿射线以的速度运动，点P，Q同时出发，设运动时间为，当是等腰三角形时，t的值为（ ）
A．2 B．2或6 C．4或6 D．2或4或6
（2022春·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考阶段练习）
37．如图，在中，，，平分交于点D，，交于点E，若，则的长为 .
（2022春·河北承德·八年级统考期中）
38．如图，在四边形中，，，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为 ．
（2022春·湖北孝感·八年级统考期末）
39．如图，等边中，点D，E，F分别是边，，延长线上一点，且，连接，，，则 ．
（2022春·福建福州·八年级期末）
40．如图，在中，，．垂足为D，是的角平分线分别交，于点P，E．则下列说法正确的有 ．（写出所有正确的序号）①；②是等边三角形；③；④．
（2022春·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校期末）
41．【感知】如图①，是等边三角形，点D、E分别在边上，且，证明：．
【探究】如图②，是等边三角形，点D、E分别在边的延长线上，且，则图②中全等的三角形是______________________；若此时，，则___________．
【拓展】如图③，在中，，，点D、E分别在的延长线上，且，若，，则的大小为___________．
（2022春·河北承德·八年级统考期中）
42．如图，在等边三角形中，点为边上任意一点，延长至点，使，连接交于点，于点，交于点．
(1)求证：是等边三角形；
(2)求证：；
(3)若，求线段的长（结果用含的代数式表示）．
（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）
43．已知：等边中．
(1)如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足，求的值；
(2)如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A，B重合），点N在CB的延长线上且，求证：．
(3)如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足，求的值．
题组C 培优拔尖练
（2022春·江苏南京·八年级南师附中新城初中校考阶段练习）
44．如图，在中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（2021春·陕西渭南·八年级统考期末）
45．如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O，连接，则①；②；③；④是等边三角形．其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2022春·广东广州·八年级广州市第七十五中学校考期中）
46．如图，中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论，其中不正确的有（ ）
A．是等腰三角形 B．
C．若，则 D．
47．如图，，在射线OA，OB上分别截取，连接，在，上分别截取，连接，…按此规律作下去，记，…，则 ， ．
（2022春·广西·八年级期末）
48．如图，点A为线段外一动点，，，分别以、为边作等边、等边，连接．则线段长的最大值为 ．
（2022春·山东临沂·八年级统考期中）
49．如图，等边三角形的边长为，、、三点在一条直线上，且．若为线段上一动点，则的最小值是 ．
（2022春·湖北孝感·八年级统考期末）
50．在中，，，点O为的中点．
(1)若，两边分别交于E，F两点．
①如图1，当点E，F分别在边和上时，求证：；
②如图2，当点E，F分别在和的延长线上时，连接，若，则　　．
(2)如图3，若，两边分别交边于E，交的延长线于F，连接，若，试求的长．
（2022春·重庆大渡口·九年级校考期中）
51．如图，和都是等腰直角三角形，，，连接并延长与交与点，连接.
(1)如图1，求证：
(2)如图2，绕着顶点旋转，当、、三点共线时，取的中点，连接，求证：；
(3)如图3，若，，连接，当运动到使得时，求的面积.
（2022春·上海普陀·八年级校考期中）
52．如图，已知：是等边三角形，，点D为直线上一点，点E是直线上一点，连接、、．
(1)如图1，当且点D在边上，求证：是等边三角形；
(2)如果的边长为11，且，请直接写出线段的长度；（无需写出解题过程）
(3)当时，
①如图1，当点D在边上，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
②如图2，点D在的反向延长线上，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】连接，，如图，先根据得到，然后根据三角形内角和求出即可．
【详解】解：连接，，如图，
在小量角器上对应的刻度为，
即，
而，
，
，
即点在大量角器上对应的刻度为只考虑小于的角．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
2．
【分析】根据三角形内角和，等边对等角，三角形的外角可得；同理可得，，，即可找到规律得出答案．
【详解】解：∵在中，，，
∴
∵，是的外角，
∴；
同理可得，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，等对等角，三角形的外角的性质，正确找到规律是解题的关键．
3．C
【分析】根据等腰三角形的性质：三线合一即可知
【详解】∵，
∴是等腰三角形，且平分，
∴，，
∴，
∴，
故选：C
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：三线合一求解，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键
4．
【分析】利用等边对等角，三线合一和三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵，D为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．熟练掌握等边对等角，等腰三角形三线合一，是解题的关键．
5．
【分析】过点A作于点D，由勾股定理可得，，再由求解即可得到答案．
【详解】解：如图，过点A作于点D，
∵，，
∴，，，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和三线合一定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
6．D
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得到，即可求出答案．
【详解】解：∵，平分．
∴，
∴的周长为，
故选：D．
【点睛】此题考查了等腰三角形三线合一的性质：底边上的中线、高线及顶角的平分线是同一条线，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
7．B
【分析】当为底时，作的垂直平分线，当为腰时，分别以、点为顶点，以为半径作弧，分别找到格点即可求解．
【详解】解：当为底时，作的垂直平分线，可找出格点的个数有个，
当为腰时，分别以、点为顶点，以为半径作弧，可找出格点的个数有个；
这样的顶点有个．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
8．B
【分析】根据题意，分三种情况：当时，当时，当时，即可解答．
【详解】解：如图所示：
分三种情况：
①当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，，
②当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，，
③当时，作的垂直平分线，交网格线的格点为，，，，
综上所述：使成为等腰三角形，则满足条件的点有个，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，分三种情况讨论是解题的关键．
9．(1)见解析
(2)的周长为
【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，可得，进一步即可得证；
（2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的周长，
∵，
∴（），
∴的周长为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
10．见解析
【分析】求出，根据推出，得，由等腰三角形的判定可得结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
11．C
【分析】根据题意在上截取，连接，由可证≌，可得，，可证，可得，进而即可求解．
【详解】解：如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长＝，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，再由“三线合一”的性质及角平分线得出，再由等角对等边即可证明；
（2）延长至，使，连，根据全等三角形的判定得出，，再由其性质结合图形找出各角之间的关系即可得出结果．
【详解】（1）证明：在等边中，，
∴，
∵是的中点，
∴，平分，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2）如图所示，延长至，使，连，
∵为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
∴， ，，
∴
又∵，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】题目主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形，找准各角之间的关系是解题关键．
13．D
【分析】逐个画出图形，即可得到答案．
【详解】解：图①中，∠A=36°，AB=AC，则∠ABC=∠ACB=72°，
以B为顶点，在△ABC内作∠ABC的平分线，则∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形，
而∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，∠ACB=72°，
∴∠ACB=∠BDC=72°，
∴△BDC是等腰三角形，
故直线BD将△ABC分成了两个小等腰三角形，故①符合题意；
图③中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=∠C=45°，
过A作AE⊥BC于E，如图：
则△ABE和△ACE是等腰直角三角形，
故直线AE将△ABC分成了两个小等腰三角形，故③符合题意；
图④中，∠BAC=108°，AB=AC，则∠B=∠C=36°，
以A为顶点，在△ABC内作∠BAF=72°，如图：
则△ABF和△ACF都是等腰三角形，故④符合题意；
图②是等边三角形，没有直线能将它分成两个小的等腰三角形，
故②不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，涉及三角形内角和定理的应用，解题的关键是分别画出图形，计算图中角的大小，用等边对等角判断等腰三角形．
14．(1)作图见解析；
(2)作图见解析，．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可作图；
（2）根据等腰三角形的性质即可作图，利用矩形面积减去三个小的直角三角形面积即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：为所求
（2）解：如图所示：为所求
．
【点睛】本题考查了三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的知识点．
15．B
【分析】设，则，根据含30度角的直角三角形的性质可得，，据此建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设，
，
，
是等边三角形，是边上的高，
，
，
，
，
，即，
解得，
则，
即的边长为4，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．
16．##
【分析】在中，，，证明是等边三角形，再利用，求得长，再根据等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵中，，，
∴是等边三角形．
∵的周长为，
∴，
又∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴长是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，得出是等边三角形是解决本题的关键．
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等边对等角，以及三角形的内角和定理求解即可；
（2）根据，再根据，，和三角形的内角和定理，证明，得到，即可证明为等边三角形．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）证明： ∵，，，
∴，即，
∴，
∴为等边三角形．
【点睛】本题考查等边三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边对等角，以及三角形的内角和是，是解题的关键．
18．(1)证明见详解；
(2)；
(3)等边三角形，理由见详解．
【分析】（1）根据边角边证明，即得即可；
（2）由与三角形的外角性质可得，从而可以求解；
（3）由（2）知，再根据已知可以判定是等边三角形，从而可以判断的形状．
【详解】（1）解：，
，
在和中，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
即，
，
，
；
；
（3）解：是等边三角形，理由如下：
由（2）知，
又，
，
，
，
又，
是等边三角形．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质、等腰三角形与等边三角形的判定等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质、三角形的外角性质是解答此题的关键．
19．C
【分析】利用三角形外角的性质可得，，得到，利用含直角三角形的性质，求解即可．
【详解】解：由题意可得：，米，
∴，
∴米，
在中，，
∴米，
故选：C
【点睛】此题考查了含直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
20．
【分析】过点作于，根据含度的直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质即可求解．
【详解】解：过点作于，
，
，
，
，
，
在等腰中，，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了含度的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握含度的直角三角形的性质，等腰三角形的性质．
21．B
【分析】对于①，根据等边三角形的性质，得，，然后利用“边角边”定理，证明和全等，根据全等三角形对应边相等，对①作出判断；对于②，根据全等三角形对应角相等，得，求出，利用三角形的内角和定理，求出的度数，可对②作出判断；对于③，由，计算得出的度数，结合，，判断三个内角的大小关系，结合等腰三角形的判定方法，即可对③作出判断；对于④，根据，求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，可得到与的数量关系，据此可对④作出判断．
【详解】解：为等边三角形，
，．
在和中，
，
，
，①正确．
，
，
．
，
，②正确．
．
又，，
的三个内角均不相等，
不是等腰三角形，③错误．
，，
，
，
，④错误．
综上所述，正确的结论有①②，共2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等边三角形和全等三角形的判定与性质，并准确识图是解题的关键．
22．D
【分析】根据等腰三角形得性质证明，可证明结论①；作作于，于，证明，可证明结论②；在上截取，证明，可证明为等边三角形，由此可证明结论④；根据结论④即可证明结论③．
【详解】解：结论①，
∵等边三角形，等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，故结论①正确；
结论②，如图所示，作于，于，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴点在的平分线上，
∴平方，故故结论②正确；
结论④，在上截取，连接，如图所示，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，故结论④正确；
结论③，由结论④正确，可知，，
∴，即，故结论③错误．
综上所述，正确的有①②④．
故选：．
【点睛】本题主要考查三角形综合题，包括等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
23．A
【分析】过点A作于点E，根据，，得到，结合，得到，过点C作于点F，根据角的平分线的性质，得到，代入面积公式计算即可．
【详解】如图，过点A作于点E，
因为，，
所以，
因为，
所以，
过点C作于点F，
根据角的平分线的性质，得到，
所以，
故选A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一，角的平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
24．C
【分析】利用轴对称的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质一一判断即可．
【详解】解：（1）关于某一条直线对称的两个图形一定全等．正确；
（2）有一角为，且腰长相等的两个等腰三角形全等．错误，角可能是底角，也可以是顶角；
（3）有一个外角是的等腰三角形是等边三角形，正确；
（4）如果一个三角形的一个外角的角平分线与这个三角形的一边平行，那么这个三角形一定是等腰三角形．正确．
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．C
【分析】先由求出，再根据角的性质可得，
【详解】解：∵，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半；等腰三角形的两个底角相等．
26．B
【分析】分已知边是腰长和底边两种情况讨论求解．
【详解】解：是腰长时，底边为，
∵，
∴、、不能组成三角形；
是底边时，腰长为，
、、能够组成三角形；
综上所述，它的腰长为．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，关键在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
27．36
【分析】设的度数为x，根据等腰三角形的性质得到由三角形外角性质得到，再由角平分线定义得出，再根据三角形内角和为，解出x即可．
【详解】解： 设的度数为x，
，
平分，
，
，
解得：，
．
故答案为：36．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和三角形外角性质，解题的关键是能根据位置关系将各角的的大小表示出来．
28．7
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得出，，进而解答即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵、分别是和的平分线，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定，平行线的性质以及角平分线的定义，有效的进行线段的等量代换是解题的关键．
29．见解析
【分析】过点A作于点P，根据等腰三角形的性质，得出，，即可得出答案．
【详解】证明：过点A作于点P，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一，是解题的关键．
30．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可；
（2）根据直角三角形的定义画出图形即可．
【详解】（1）解：利用网格，取格点，连接，，使，如下图（答案不唯一）
（2）解：利用网格，结合勾股定理，取格点，连接，使，如下图（答案不唯一）
【点睛】此题考查了作图——应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定等知识，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
31．(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）由推导出即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明
（2）由得由平行线的性质得所以即可由“等角对等边”证明是等腰三角形．
【详解】（1）
在和中，
；
（2）证明：
∴是等腰三角形．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等式的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，正确找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键．
32．(1)见解析
(2)10
【分析】（1）根据为等边三角形，证明，即可证明；
（2）结合（1）证明为直角三角形，，根据，即可求的长．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
33．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，由此根据证明；
（2）根据得到，，推出，即可证得结论．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴
在和中
∴；
（2）∵，
∴，，
∵
∴
∴是等边三角形．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟记各判定和性质定理是解题的关键．
34．A
【分析】根据三角形内角和定理判定为等腰三角形，然后由角平分线、平行线的性质、等角对等边来找图中的等腰三角形．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴是等腰三角形；
∵，
∴是等腰三角形；
∵，
∴是等腰三角形；
∵，
∴是等腰三角形；
∵，
∴是等腰三角形；
综上，等腰三角形共有5个；
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定．角的等量代换的运用是正确解答本题的关键．
35．D
【分析】根据题意可知是等腰三角形，即可判定①正确，由，，且，即可等到，即可判定②正确，，即可判定③正确，由③可知是等腰三角形，，同理可得，由②可知，故可判定④正确
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
故②正确；
∵，，
∴，
故③正确；
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
同理可得：，
又∵是等边三角形，
∴，
∴，
故④正确；
故选：D
【点睛】本题考查了等腰三角形判定与性质，等边三角形的判定与性质，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定和性质
36．B
【分析】根据等腰三角形的性质与判定，分两种情况：（1）当点P在线段上时；（2）当点P在的延长线上时．分别列式计算即可求．
【详解】解：分两种情况：（1）当点P在线段上时，
设t时后是等腰三角形，
∵
∴
∴，
即，
解得；
（2）当点P在的延长线上时，此时经过时的时间已用，
当是等腰三角形时，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
即，
解得，，
综上所述，当是等腰三角形时，t的值为2或6．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧是解答本题的关键．
37．
【分析】先根据含直角三角形的性质，得出，再证明，得出，得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是根据含直角三角形的性质和等腰三角形的判定，得出．
38．10
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质证明，，然后根据等角对等边得出，，最后根据线段的和差求解即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等知识，根据等腰三角形的判定得出，是解题的关键．
39．
【分析】连接，证明，设，再由，推导出，则，得．
【详解】解：连接，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
同理，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，根据“等高三角形面积的比等于底边的比”推导出是解题的关键．
40．①②④
【分析】①利用角平分线和互余关系，得到，即可得证；②利用互余关系，得到，利用外角的性质，得到，即可得证；③根据的直角三角形的性质，得到，得到；④利用等角对等边和的直角三角形的性质，即可得证．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴；故①正确；
∵垂足为D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形；故②正确；
在中，，
∴，
∴；故③错误；
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴；故④正确；
综上：正确的是①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定．熟练掌握所对的直角边是斜边的一半，以及三个角是的三角形是等边三角形，是解题的关键．
41．感知：见解析；探究：，，6；拓展：20
【分析】感知：根据证明三角形全等即可；
探究：证明，求出的面积即可；
拓展：先判断出，进而得出，再利用同高的两三角形的面积的比等于底的比求出，的面积，即可得出结论．
【详解】解：感知：如图①中，∵是等边三角形，
∴，，
在和中，，
∴；
探究：与全等，
理由：如图②中，
在等边中，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：，，6；
拓展：如图③中，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴（同高的两三角形的面积比是底的比），
∴，
∵，
∴（同高的两三角形的面积比是底的比），
∴，
故答案为：20．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同高的三角形面积的比等于底的比，解探究的关键是得出，解拓展的关键是求出．
42．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得，可得是等边三角形；
（2）根据证明，即可得证；
（3）据等边三角形的性质可知，根据全等三角形的性质可知，即可表示出的长．
【详解】（1）在等边△ABC中，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
（2）∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴ ，
∵
∴
在 和中，
，
∴，
∴；
（3）∵是等边三角形，且，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∵ ，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
43．(1)3
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出，设,则,可求出答案；
（2）如图2，过点M作交AC于点G，根据可证明，得出，则结论得证；
（3）如图3，过点P作交于点M，根据可证明，得出，得出，则答案可求出．
【详解】（1）∵为等边三角形，
∴，，
∵点M是BC的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
设，则，，
∴，
∴．
（2）如图2，
过点M作交AC于点G，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴．
（3）如图3，

过点P作交AB于点M，
∴为等边三角形，
∴，，
∵P为AC的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵P为AC的中点，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质与判定、含30度角直角三角形的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形．
44．D
【分析】分三种情况分别画出图形，如图，以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形；以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形；以为底边，为顶角的顶点的等腰三角形；从而可得答案．
【详解】解：如图，以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形有
以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形有
，
以为底边，为顶角的顶点的等腰三角形有，
其中是等边三角形，
∴符合条件的点的个数有6个，
故选D．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，等边三角形的判定，做到不重复不遗漏的得到点P是解本题的关键．
45．C
【分析】易证，可得①正确；即可求得，可得②错误；再证明，可得③正确和，即可证明④正确；即可解题．
【详解】解：∵和都是等边三角形
∵，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，①符合题意；
∴，， ，
∵，
∴，②不符合题意；
在和中，
，
∴，
∴，，③符合题意；
∵，
∴是等边三角形，④符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，等边三角形的判定与性质，本题中求证和是解题的关键．
46．D
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义证明，从而可得即可判断A；同理可证即可判断B；根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出的度数即可判断C；根据现有条件无法证明即可判断D．
【详解】解：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，则选项A正确，不符合题意；
同理可得：，
∴，则选项B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，则选项C正确，不符合题意；
若，则，根据已知条件无法证明这一点，
∴不一定等于，则选项D不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义及平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，根据两直线平行，内错角相等以及等角对等边来判定等腰三角形是解答本题的关键．
47． 27
【分析】利用等边对等角，以及三角形内角和，和外角的性质，进行推导，抽象概括出相应的规律，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：均为等腰三角形，
∴，
，
，
∴；
故答案为：27，．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和以及外角的性质．熟练掌握等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键．
48．5
【分析】连接，首先根据等边三角形的性质，可证得，再根据三角形三边之间的关系，可得，可知当E、B、C在同一直线上时，最长，即可求出线段长的最大值即可．
【详解】解：如图：连接，
、都为等边三角形，
，，，
，即，
在与中，
，
，
，
∴当E、B、C在同一直线上时，最长，
∴线段长的最大值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边之间的关系，线段最大值问题，作出辅助线，证得是解题的关键．
49．
【分析】连接交于点，过点作直线，根据全等三角形的性质，得出是等边三角形，，进而得出与关于直线对称，再根据平角的定义，得出，进而得出，再根据等腰三角形的三线合一的性质，得出，，进而得出、关于直线对称，再根据两点之间，线段最短，得出当点与重合时，的值最小，进而即可得出的最小值．
【详解】解：如图，连接交于点，过点作直线，
∵是等边三角形，，
∴是等边三角形，，
∵、、三点在一条直线上，
∴ 与关于直线对称，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴、关于直线对称，
∴当点与重合时，的值最小，最小值为线段的长．
故答案为：
【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题、等边三角形的性质、三线合一的性质，解题的关键是学会找对称点，形成两点之间的线段来解决最短问题，属于中考常考题型．
50．(1)①见解析；②18
(2)2
【分析】（1）①由“”可证，可得；
②由“”可证，可得，即可求解；
（2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】（1）①证明：如图1，连接，
∵，，
∴.
∵点O为的中点，
∴，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：如图2，连接，
同理可证：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：18；
（2）解：如图3，连接，过点O作，交的延长线于点H，
∵，，点O为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
51．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据题意得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明；
（2）延长至点H使，连接，，根据全等三角形的性质得出，利用平行四边形的判定和性质得出，，最后利用全等三角形的判定和性质及勾股定理即可证明；
（3）作 平行于交于点J，连接，根据平行线的性质得出，，再由等腰三角形及等边三角形的判定得出是等腰三角形，即，是等边三角形，过J作的垂线交于点K，再利用含30度角的三角形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）由（1）得，
∴，
，
即，
延长至点H使，连接，，
∵，
∴四边形是平行四边形，即，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
即 ；
（3）作 平行于交于点J，连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，即，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
过J作的垂线交于点K，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，等腰三角形及等边三角形的判定和性质，理解题意，作出相应的辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
52．(1)证明见解析
(2)线段的长度为或
(3)①成立，理由见解析；②成立，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出，，再根据平行线的性质，得出，再根据等量代换，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等边三角形的判定定理，即可得出结论；
（2）①当点在边上时，根据角之间的数量关系，得出，再根据等边三角形的性质和三线合一的性质，即可得出线段的长度；②点在边的延长线上时，根据角之间的数量关系，得出，进而得出，再根据直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据线段之间的数量关系，即可得出线段的长度；
（3）①在上截取，连接，根据等边三角形的判定定理，得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出，再根据邻补角互补，得出，再根据平行线的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，进而得出，再根据三角形的外角的性质和角之间的数量关系，得出，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等边三角形的判定定理，即可得出结论；②过作交的延长线于点，根据等边三角形的判定定理，得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出，再根据平行线的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等边三角形的判定定理，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：①当点在边上时，
∵，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，边长为11，
∴，；
②点在边的延长线上时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，线段的长度为或；
（3）解：①成立，理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形；
②成立，理由如下：
如图，过作交的延长线于点，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、三角形的外角的性质，解本题的关键在证明三角形全等和运用分类讨论思想．
答案第1页，共2页
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