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八年级数学下册同步精品讲义（北师大版）
专题1.2 直角三角形
1．复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定；
2．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题；
3．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”；
4．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等；
5. 会用反证法证明相关问题．
知识点01 直角三角形的性质与判定
【知识点】
直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余．
直角三角形的判定定理：有两个锐角互余的三角形是直角三角形．
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c2.
勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．
【知识拓展1】直角三角形的两锐角互余
（2022·黑龙江·八年级校考阶段练习）
1．如图，在中，垂直，平分，已知，则 ．
【即学即练】
（2022春·吉林·八年级期末）
2．如图，已知在中，，，是边上的高，是的角平分线，求的度数．
【知识拓展2】直角三角形的判定
（2022春·江苏盐城·八年级期中）
3．在中，、、的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．，，
【即学即练】
（2022春·山西临汾·八年级期末）
4．下列条件：；；：：：：；：：：：，其中不能确定是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【知识拓展3】直角三角形的作图
（2022春·山东八年级课时练习）
5．如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【即学即练3】
（2022春·河北·八年级专题练习）
6．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点，在小正方形的顶点上，在图中画（点在小正方形的顶点上），使为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）

【知识拓展4】勾股定理及逆定理的实际应用
（2022春·四川成都·八年级校考期中）
7．如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站A、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且．
(1)求修建的公路的长；
(2)若公路修通后，一辆货车从处经过点到处的路程是多少？
【即学即练4】
（2022·陕西咸阳·八年级考阶段练习）
8．今年9月，第十四届全国运动会在我市隆重举行．这是我市人民期待已久的一次盛会，也是宣传西安发展、推介西安之美、展示西安形象的绝好机遇．为美化城市，加大绿化力度，某公园有一块如图所示的四边形空地，现计划在空地上种植花草，经测量，米，米，米，米．求四边形空地的面积．
（2022春·八年级课时练习）
9．定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．
(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长．
【知识拓展5】勾股定理及逆定理的综合问题
（2022·江苏泰州·模拟预测）
10．如图，在四边形中，，，，，，则的长为 ．
【即学即练5】
（2022·陕西榆林·八年级统考期中）
11．（1）如图1，在中，，，，，求的面积；
（2）如图2，在中，，，，求的面积．
【知识拓展6】直角三角形中的坐标问题
（2022春·江苏·八年级专题练习）
12．已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ．
【即学即练6】
（2022春·浙江宁波·八年级校联考期末）
13．如图，已知直线与轴交于点与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为 ．
知识点02 互逆命题与互逆定理
【知识点】
1）反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论-定成立.这种证明方法称为反证法( reduction to absurdity) .
2）互逆命题：在两个命题中，如果-一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．
3）逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．
【知识拓展1】命题的改写
（2022·福建·福州七年级期末）
14．把命题“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……．”的形式：如果 ，那么 ．
【即学即练1】
（2022·山东泰安·七年级期末）
15．把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式： ．
【知识拓展2】逆命题的定义
（2022·吉林白城·七年级期末）
16．命题“若，则”的逆命题是 ．
【即学即练2】
（2022·山西吕梁·七年级期末）
17．如图是家用的双排折叠晾衣架的一部分，在晾衣架折叠或拉伸的过程中，与的大小关系是 ，理由是 ，其逆命题是 ．
【知识拓展3】逆命题的真假判定
（2022·河北·任丘市教育体育局教研室七年级期末）
18．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．全等三角形的对应角相等
C．等边三角形三个角相等 D．直角三角形的两个锐角互余
【即学即练3】
（2022·山东·泰安七年级期末）
19．下列命题的逆命题成立的是（　　）
A．对顶角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
D．两直线平行，同位角相等
【知识拓展4】逆定理
（2022·上海·中考真题）
20．下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
【即学即练4】
（2022·陕西西安市·八年级期末）
21．下列定理中没有逆定理的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等 B．平行四边形的对角线互相平分
C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．全等三角形的对应角相等
【知识拓展5】反证法
（2022 秦都区月考）
22．用反证法证明：任意三角形的三个外角中至多有一个直角．
【即学即练5】
（2022·北京市·八年级期末）
23．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于时，第一步先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于
C．三角形中每个内角都大于 D．三角形中没有一个内角小于
知识点03 直角三角形全等的判定(HL)
【知识点】
直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）
【知识拓展1】添加条件判定直角三角形全等（HL）
（2022·河南八年级校考阶段练习）
24．如图，若要用“HL”证明，则还需补充条件（ ）
A． B． C． D．以上都不正确
【即学即练】
（2022春·福建厦门·八年级校考期中）
25．两直角三角形如图放置，且，若直接应用“”判定≌，则需要添加的一个条件是 ．
【知识拓展2】直角三角形全等判定（HL）的应用
（2022春·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）
26．在课堂上，老师发给每人一张印有（如图所示）的卡片，然后，要同学们尝试画一个，使得.小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示

老师评价：他俩的做法都正确.请你选择一位同学的做法，并说出其作图依据.我选 的做法（填“小赵”或“小刘”），他作图判定的依据是
【即学即练】
（2022春·北京海淀·八年级校考期中）
27．阅读下面材料：
已知线段a，b．
求作：，使得斜边，一条直角边．
作法：
（1）作射线、，且．
（2）以A为圆心，线段b长为半径作弧，交射线于点C．
（3）以C为圆心，线段a长为半径作弧，交射线于点B．
（4）连接．则就是所求作的三角形．
上述尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【知识拓展3】直角三角形全等判定（HL）的综合运用
（2022春·河南周口·八年级统考期中）
28．如图，在中，，是过点的直线，于，于点；
(1)若、在的同侧（如图所示）且．求证：；
(2)若、在的两侧（如图所示），且，其他条件不变，与仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
【即学即练3】
（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考期中）
29．已知在中，于点，于点，且，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点为上一点，连接并延长与的延长线相交于点，若，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长至点，使得，过点作交于点，若，求的长．
题组A 基础过关练
（2022春·河北邢台·八年级校考阶段练习）
30．如图，，是的高，且，直接判定的依据是（　　）
A． B． C． D．
（2022春·宁夏银川·八年级阶段练习）
31．在中，若三边长分别是、，，则下列不可能成立的结论是（ ）
A．，， B．：：：：
C． D．：：：：
（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）
32．如图，已知在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（ ）
A．12 B． C．8 D．
（2022·江苏连云港·七年级期末）
33．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若，则；③末位数字是5的数，能被5整除；④对顶角相等．逆命题是假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2022·宜宾市·八年级期末）
34．用反证法证明“在中，对边是，若，则．”第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
（2022·浙江宁波市·八年级期中）
35．下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
（2022·江苏徐州·七年级期末）
36．“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为 ．
（2022春·辽宁葫芦岛·八年级期中）
37．如图，在，，，点在上．
求证：
(1)；
(2)．
（2020春·浙江宁波·八年级校考期中）
38．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
(1)请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形；
(2)请你在图2中画一个以格点为端点，长度为的线段；
(3)请你在图3中画一个以格点为顶点，为直角边的直角三角形．
（2022秋·广东汕尾·八年级校考阶段练习）
39．在四边形中，，，，．
(1)求的度数；
(2)求四边形的面积．
40．2021年12月12日是西安事变85周年纪念日，西安事变及其和平解决在中国社会发展中占有重要的历史地位，为中国社会的发展起到了无可替代的作用．为此，某社区开展了系列纪念活动，如图，有一块三角形空地ABC，社区计划将其布置成展区，区域摆放花草，阴影部分陈列有关西安事变的历史图片，现测得米，米，米，米，且．
(1)求的长；
(2)求阴影部分的面积．
（2022春·河南平顶山·八年级校联考期中）
41．某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向有A向B移动，已知点C处为以城镇，且点C与A、B两点的距离，以沙尘暴中心为圆心，周围以内都会受到沙尘暴影响．
(1)通过计算说明城镇C是否会受到影响；
(2)若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？
（2022春·全国·八年级阶段练习）
42．如图，在中，是过点A的直线，于D，于点E；
(1)若在的同侧（如图1所示）且．求证：；
(2)若在的两侧（如图2所示），其他条件不变，与垂直吗？若垂直请给出证明；若不垂直，请说明理由．
题组B 能力提升练
（2022·山东东营·七年级统考期末）
43．如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能做出（ ）
A．个 B．个 C． 个 D．个
（2022春·浙江杭州·八年级校联考期中）
44．在中它的三边分别为a，b，c，条件：①；②；③；④；中，能确定是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2022春·福建宁德·八年级统考期中）
45．如图，在的方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论正确的有 （填写序号）．
①的形状是直角三角形；
②的周长是；
③点B到边的距离是2；
④若点D在格点上（不与A重合），且满足，这样的D点有3个不同的位置．
（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）
46．在中，，，，于点，则的长为 ．
（2022春·吉林·八年级期末）
47．如图，交于点B，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
（2022·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）
48．在四边形ABCD中，AC、BD交于点E，且∠ACD=∠ADC．
(1)如图1，若AB=AD，求证：∠BAC=2∠BDC；
(2)如图2，在（1）的条件下，若∠BDC=30°，求证：BC=AC．
(3)如图3，若BC＝AD，∠BDC=30°，过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F， 且EF：BE＝2∶11，DF=9，求BD的长．
（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）
49．如图，已知等腰三角形的底边，是腰上的一点，且，．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的长．
（2022春·广东深圳·八年级校考期中）
50．如图，有一张三角形纸片，三边长分别为，，．
(1)求证：；
(2)将沿折叠，使点B与点A重合，求的长．
（2022春·八年级课时练习）
51．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称　 　，　 　．
（2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB．
（3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
（2022·江苏南京·八年级统考期末）
52．在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长为1，我们把三个顶点都是格点的三角形称为格点三角形．按要求完成下列问题：

（1）在图①中，以AB为边画一个格点三角形，使其为等腰三角形；
（2）在图②中，以AB为边画一个格点三角形，使其为钝角三角形且周长为6＋3；
（3）如图③，若以AB为边的格点三角形的面积为3，则这个三角形的周长为 ．
（2022春·北京西城·九年级北京育才学校校考期末）
53．在中，，于点D，于点E，连接．
(1)如图1，当为锐角三角形时，
①依题意补全图形，猜想与之间的数量关系并证明；
②用等式表示线段，，的数量关系，并证明．
(2)如图2，当为钝角时，直接写出线段，，的数量关系．
（2022春·广东佛山·八年级校考阶段练习）
54．如图，为了求平面直角坐标系中任意两点A，B之间的距离，可以为斜边作，则点C的坐标为C（），于是，根据勾股定理可得．反之，可以将代数式的值看做平面内点到点的距离．例如：可将代数式看作平面内点到点的距离．
根据以上材料解决下列问题：
(1)若点，求P，Q两点间的距离；
(2)若点，点O是坐标原点，判断是什么三角形，并说明理由．
(3)求代数式的最小值．
（2022春·陕西西安·八年级统考期中）
55．问题发现．
(1)如图，等腰直角置于平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是上一点，，则点的坐标为______．
(2)问题探究：如图，若点，的坐标分别为，，其余条件与相同，求经过，两点的直线表达式．
(3)问题解决：国庆前夕，某景区为了提高服务质量，想尽可能美化每一个角落，给游客美的享受．如图，是景区东门的广场一角，，两面墙互相垂直，景区管理部门设计将，墙面布置成历史故事宣传墙，边上用建筑隔板搭出段将该角落与广场其他区域隔开，段布置成时事政治宣传墙，剩余部分为广场角出入口，内部空间放置一些绿植和供游人休息的桌椅，考虑到防疫安全，还需在靠近出入口的处建一个体温检测点．已知，，平分，体温检测点在与的交点处．求点分别到，墙面的距离．
题组C 培优拔尖练
（北京市门头沟区2022—2023学年八年级上学期期末调研数学试卷）
56．如图，在正方形网格内，A、B、C、D四点都在小方格的格点上，则（ ）
A． B． C． D．
（2022春·全国·八年级专题练习）
57．同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有 个．
（2021春·河北承德·八年级统考期末）
58．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形．
（1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ；
（2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ；
（3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形．
（2022春·天津·八年级天津市第五十五中学期末）
59．在等边的两边所在直线上分别有两点为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系．
(1)如图，当点在边上，且时，之间的数量关系是___________．
(2)如图，点在边上，且当时，猜想(1)问的结论还成立吗？若成立请写出结论并证明；若不成立请说明理由．
(3)如图，当分别在边的延长线上时，探索之间的数量关系如何？并给出证明．
（2022春·江苏南京·八年级南京市第一中学阶段练习）
60．定义：如图①，若线段沿点M、N能折成一个直角三角形（其中A、B两点重合），则称点M、N是线段的“”折点；若M是直角顶点，则称M为线段的“”折点．
(1)当，，时，求证：点N是线段的“”折点；
(2)若点M、N是线段的“”折点，且AM为直角边，，，求的长；
(3)如图②，，，，将线段AE沿B、C、D三点折成含2个直角的四边形（其中A、E两点重合），且A、E不是线段AE的“”折点．直接写出的长度．
（2022春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）
61．先阅读下列文字，再回答后面的问题：
已知在平面直角坐标系内有两点、，其两点间的距离可用公式表示，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或．
(1)已知在平行于y轴的直线上，点的纵坐标为5，点的纵坐标为﹣1，则两点间的距离___________
(2)已知一个三角形各顶点坐标为，，，你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
(3)在平面直角坐标系中，已知，，点在坐标轴上，且，直接写出满足条件的所有点的坐标．
（2022·山东威海·七年级统考期末）
62．[问题背景]三边的长分别为,求这个三角形的面积．
小辉同学在解这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为)，再在网格中作出格点(即三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示，这样不需要作的高，借用网格就能计算出的面积为_ ；

[思维拓展]我们把上述求面积的方法叫做构图法，若三边的长分别为,请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为)画出相应的，并求出它的面积:

[探索创新]若三边的长分别为(其中且),请利用构图法求出这个三角形的面积(画出图形并计算面积)．
（2022春·四川成都·八年级校考期中）
63．问题背景：如图1，某车间生产了一个竖直放在地面上的零件，过点A搭了一个支架AC，测得支架AC与地面成角，即；在的中点D处固定了一个激光扫描仪，需要对零件进行扫描，已知扫描光线的张角恒为，即．
问题提出：数学兴趣小组针对这个装置进行探究，研究零件边上的被扫描部分（即线段EF），和未扫到的部分（即线段和线段）之间的数量关系．
问题解决：
(1)先考虑特殊情况：
①如果点E刚好和点A重合，或者点B刚好和点F重合时，________（填“>”，“<”或“=”）；
②当点E位于特殊位置，比如当时，________（填“>”或“<”）；
(2)特殊到一般：猜想：如图2，当时，________，证明你所得到的结论：
(3)研究特殊关系：如果，求出的值．
（2022 渭南期中）
64．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角．
求证：∠1＝∠A+∠B．

试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．##20度
【分析】根据三角形的内角和定理，得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据垂线的定义，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据角之间的数量关系，计算即可得出答案．
【详解】解：在中，，
∴，
又∵平分，
∴．
∵垂直，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、垂线的定义、直角三角形两锐角互余，解本题的关键在理清角之间的关系．
2．．
【分析】先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出的度数即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识是解题的关键．
3．D
【分析】利用三角形的内角和定理求解可判断A，利用平方差公式把变形，再利用勾股定理的逆定理可判断B，再分别计算C，D选项中较短的两边的平方和是否等于最长边的平方，结合勾股定理的逆定理，可判断C，D，从而可得答案．
【详解】解：A．，
，故A不符合题意；
B．，
是直角三角形， 故B不符合题意；
C．，，，
，
为直角三角形， 故C不符合题意；
D．，，，
，
不是直角三角形，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，平方差公式的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握“利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形”是解题的关键．
4．D
【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：，，
，
，
能确定是直角三角形；
，
，
，
能确定是直角三角形；
：：：：，
设，则，，
，，
，
能确定是直角三角形；
：：：：，，
，
不能确定是直角三角形；
综上所述：上列条件不能确定是直角三角形的是，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
5．D
【分析】分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°时，分别画出符合条件的图形，即可解答．
【详解】解：分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°如图
符合条件的格点C的个数是6个
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90°等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
6．为直角三角形，理由详见解析.
【分析】根据勾股定理逆定理和勾股定理进行判断即可.
【详解】解：如图所示.
如图1，在中，
，，
因为，
所以，
即为直角三角形.
如图2，在中，
.
在中，.
在中，.
所以，
所以，即为直角三角形.
【点睛】考核知识点：根据勾股定理逆定理画直角三角形.掌握勾股定理逆定理并会运用是关键.
7．(1)
(2)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得，再根据三角形面积公式即可求解；
（2）根据勾股定理求出的长，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∵，
∴，
∴，
答：修建的公路的长是；
（2）在中，，
∴．
答：一辆货车从处经过点到处的路程是．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
8．234平方米
【分析】连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理证明，然后由求解即可．
【详解】解：如图，连接．
在中，，米，米，
所以（米）．
在中，米，米，米，
所以．
所以是直角三角形，且．
所以（平方米）．
所以四边形空地的面积为234平方米．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．(1)是，理由见解析
(2)BN＝12或13
【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝30 AM BN＝25 x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题．
【详解】（1）是．理由如下：
∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，
∴AM2＋NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝30 AM BN＝25 x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，
即（25 x）2＝x2＋25，
解得x＝12；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2．
即x2＝25＋（25 x）2，
解得x＝13，
综上所述，BN＝12或13．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解．
10．
【分析】连接，过点B作交的延长线于点H，根据勾股定理的逆定理得到，再根据含的直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，连接，过点B作交的延长线于点H，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．（1）；（2）
【分析】（1）根据已知边的长度，得出，再根据勾股定理得出的长，最后根据三角形面积公式即可求解；
（2）过作，交的延长线于点，通过设，则，求出的长，再根据勾股定理求出的长，最后用三角形的面积公式计算即可求解．
【详解】（1）解：，，
，
是直角三角形，且，
，
，
，
，
．
（2）解：过作，交的延长线于点，如图2，
，
，
设，则，
由勾股定理得，，
即，
则，
解得：，
，
．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理的运用，根据勾股定理得出是解题的关键．
12．（0，0），（，0），（﹣2，0）
【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情况进行分析即可．
【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，
∴P、A、B三点不能构成三角形．
设点P的坐标为（m，0）．
当△PAC为直角三角形时，
①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠ACP＝90°时，如图，
∵∠ACP＝90°
∴AC2＋PC2＝AP2，
，
解得，m＝，
∴点P的坐标为（，0）；
当△PBC为直角三角形时，
①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠BCP＝90°时，
∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，
∴PO＝BO＝2，
∴点P的坐标为（﹣2，0）．
综上所述点P的坐标为（0，0），（，0），（﹣2，0）．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类．
13．(2，0)或（5，0）
【分析】先求出A，再求出，解得，则点B（2，3），分类讨论直角顶点，当点C为直角顶点时，当点B为直角顶点时，根据△ABC为等腰直角三角形即可求出点C坐标．
【详解】与轴交于点，
∴y=0，x=-1，
∴A(-1，0)，
直线与直线交于点，
，
解得，
∴B（2，3），
当点C为直角顶点时，
∴BC⊥AC，
∴BC∥y轴，
B、C横坐标相同，C（2，0），
当点B为直角顶点时，
∴BC⊥AB，
，k=1，
∴∠BAC=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=，
AC==6，
AO=1，
CO=AC-AO=5，
C（5，0），
C点坐标为（2，0）或（5，0）．
故答案为：（2，0）或（5，0）．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，掌握直角三角形的顶点分两种情况讨论解决问题是关键．
14． 两个角相等 这两个角的余角也相等
【分析】根据命题的概念解答即可．
【详解】解：把命题“等角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式是如果两个角相等，那么这两个角的余角也相等，
故答案为：两个角相等，这两个角的余角也相等．
【点睛】本题考查的是命题的概念，命题写成“如果……那么……”的形式，这时，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
15．如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零
【分析】把原命题的题设放在如果后面，结论放在那么后面即可．
【详解】解：命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零，
故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零．
【点睛】本题考查了命题定理，关键是掌握命题的题设与结论，知道命题的题设放在如果后面，结论放在那么后面．
16．若a-3b
【分析】根据逆命题睥定义求解即可．
【详解】解：若，则的逆命题是若a-3b，
故答案为：若a-3b．
【点睛】本题考查逆命题，熟练掌握逆命题的定义“一个命题的题设是另一个命题结论，结论是另一个命题的题设，这样的两个命题互为逆命题”是解题的关键．
17． 或相等 对顶角相等 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（或相等的两个角是对顶角）
【分析】①根据对顶角的性质进行判断即可；
②对顶角相等；
③根据互逆命题的定义进行解答即可．
【详解】解：∵图中与是对顶角，
∴，
对顶角相等的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
故答案为：∠1=∠2或相等；对顶角相等；如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（或相等的两个角是对顶角）．
【点睛】本题主要考查了对顶角的定义和性质，解题的关键是熟练掌握对顶角的定义，如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．
18．B
【分析】根据已知，把各选项条件与结论互换写出逆命题，再判定结果是否是真命题即可．
【详解】A. 两直线平行，同位角相等的逆命题为同位角相等，两直线平行是真命题，故选项A不合题意；
B. 全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等是假命题，故选项B符合题意；
C. 等边三角形三个角相等的逆命题有三个角相等的三角形是等边三角形是真命题，故选项C不合题意；
D. 直角三角形的两个锐角互余的逆命题两个锐角互余的三角形是直角三角形是真命题，故选项D不合题意．
故选B．
【点睛】本题考查命题与逆命题，掌握把命题变为逆命题的方法，会判断命题真假是解题关键．
19．D
【分析】写出各个命题的逆命题，然后判断是否成立即可．
【详解】解：A、逆命题为相等的角为对顶角，不成立；
B、逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立；
C、逆命题为绝对值相等的两个数相等，不成立；
D、逆命题为同位角相等，两直线平行，成立，
故选D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出各个命题的逆命题，难度不大．
20．A
【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案．
【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；
B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；
D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．
21．D
【分析】先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答．
【详解】解：A、其逆命题是“一个三角形的两个底角相等，则这个三角形是等腰三角形”，正确，所以有逆定理；
B、其逆命题是“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，正确，所以有逆定理；
C、其逆命题是“到角两边的距离相等的点在角平分线上”，正确，所以有逆定理；
D、其逆命题是“两个三角形中，三组角分别对应相等，则这两个三角形全等”，错误，所以没有逆定理；
故选：D．
【点睛】本题考查的是命题与定理的区别，正确的命题叫定理．
22．见解析
【分析】根据反证法的一般步骤、三角形内角和定理解答．
【详解】证明：假设的三个外角中至少有两个直角，
则的三个内角中至少有两个直角，不妨设，
所以，
这与三角形内角和等于相矛盾，
所以任意三角形的三个外角中至多有一个直角．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
23．C
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【详解】解：用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于时，
第一步先假设三角形中每个内角都大于，
故选：C．
【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
24．B
【分析】根据“HL”证明，因图中的斜边为公共边，只需再补充一条直角边即可．
【详解】解：由图可知：为和的斜边，也是公共边，
根据“HL”定理，证明，只需再补充一条直角边相等即可，
即或，
故选：B．
【点睛】本题考查的是利用“HL”证明直角三角形全等，解题的关键是熟练掌握“HL”判定定理．
25．
【分析】根据直角三角形全等的判定解决此题．
【详解】解：添加：．
理由如下：
在和中，
∴≌（）．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解决本题的关键．
26． 小刘(或小赵) （或）
【分析】由图可知小赵同学确定的是两条直角边，根据三角形全等判定定理为 ．
由图可知小刘同学确定了一个直角边和斜边，根据三角形全等判定定理为 ．
【详解】小赵同学画了后，再截取两直角边等于两已知线段，所以确定的依据是定理；
小刘同学画了后，再截取一直角边和一个斜边，所以确定的依据是定理．
故答案为：小刘(或小赵)；（或）
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握每种证明方法，做出判断是解题的关键．
27．A
【分析】由作法可知，根据即可判定三角形全等．
【详解】解：题干尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是．
故选：A．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直角三角形全等的判定．
28．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）由证明，根据全等三角形的性质得出，最后结合得出，即可得出，得证；
（2）与仍垂直．仿照（1）证明即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
（2）解：
理由：∵，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质，根据证明是解题的关键．
29．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一以及直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半分别可得出，；进而得出结论；
（2）由，可证，得出；由可得；从而可以得出；在中，由三角形的内角和定理即可求出的度数；
（3）设，得出,延长至，使得,连接，在上截取，构造等边三角形，证明，进而证明，根据已知条件即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中
，
故答案为：；
（3）解：设，
∵，，
∴，
∴，
∵，
由（2）可得，
∵，
∴，
在中，，
如图，延长至，使得,连接，在上截取，
∴是等边三角形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∵，
设，则，，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形的外角性质，三角形内角和定理，综合应用以上知识是解题的关键．
30．D
【分析】根据即可证明．
【详解】解：∵、是的高，
∴，
在与中，
，
，
故选：D
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
31．D
【分析】分别根据勾股定理及直角三角形的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A．，即，，，可能成立，故本选项正确；
B．：：：：，设，则，解得，，此三角形是直角三角形，故本选项正确；
C．若，则，故本选项正确．
D．：：：：，设，则，，，此三角形不是直角三角形，故本选项错误；
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知勾股定理及直角三角形两锐角互补的性质是解答此题的关键．
32．B
【分析】连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，最后利用割补法求得四边形的面积．
【详解】解：连接，
，，，
cm，
，，
，即，
是直角三角形，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的解直角三角和勾股定理的逆定理判定直角三角形，解决此题的关键是连接，构造直角三角形．
33．C
【分析】先写出命题的逆命题，再对逆命题的真假进行判断即可．
【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②若，则的逆命题是若，则|；也可以是a=-b所以是假命题；
③末位数字是5的数，能被5整除逆命题是能被5整除的数，末位数字是5；末尾数也可以是0，所以是假命题；
④对顶角相等的逆命题是相等的角是对项角，是假命题；
它们的逆命题是假命题的个数是3个．
故选：C．
【点睛】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，用到的知识点是逆命题．
34．C
【分析】熟记反证法的步骤，直接选择即可．
【详解】解：根据反证法的步骤，得
第一步应假设a＞b不成立，即a≤b．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
35．A
【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案．
【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；
B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；
D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．
36．同旁内角互补，两直线平行
【分析】根据题意写出逆命题即可，每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题．
【详解】解：两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为：同旁内角互补，两直线平行
故答案为：同旁内角互补，两直线平行
【点睛】本题考查了写出原命题的逆命题，掌握逆命题中的题设与结论与原命题互换是解题的关键．
37．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可证明；
（2）由（1）可知，再证明即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴
在和中，
∴
（2）解：由（1）知
∴
在中
∴
∴．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，解题关键是掌握三角形全等的判定方法．
38．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据三角形的面积公式以及等腰三角形的性质，画出图形即可；
（2）画出以1和2为长方形的宽和长的对角线的长即可；
（3）先画出边长为的线段，再画出直角三角形即可．
【详解】（1）如图所示，
，，边上的高为3，则，
（2）
如图，；
（3）如图所示，
，
根据网格的特点作找到格点，连接，，
则，，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理与网格以及勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
39．(1)
(2)
【分析】（1）连接，首先证明是等边三角形，可得，，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，进而可得答案；
（2）过作，利用等腰三角形“三线合一”的性质以及勾股定理计算出 的长，再利用的面积加上的面积可得四边形的面积．
【详解】（1）解：如下图，连接，
∵，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴；
（2）如下图，过点作，
由（1）可知，是等边三角形，
∴，
∴，
又∵为直角三角形，
∴四边形ABCD的面积为
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理的应用等知识，解题关键是正确作出辅助线，把不规则的图形转化成规则的三角形进行求解．
40．(1)10米
(2)阴影部分的面积为76平方米
【分析】（1）利用勾股定理可直接求得的长；
（2）利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，再利用作差法求出阴影部分面积即可．
【详解】（1）∵米，米，且，
∴（米）．
（2）∵米，米，米，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴（平方米），
即阴影部分的面积为76平方米．
【点睛】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键．
41．(1)会受到影响
(2)小时
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，进而得出城镇C是否会受到沙尘暴影响；
（2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出沙尘暴影响该城镇持续的时间．
【详解】（1）解：作于D，
在三角形中，，
∴是直角三角形，即，
，
，
解得∶千米，
所以，城镇C会受到影响．
（2）解：设沙尘暴中心到点E处城镇C开始受到影响，此时千米，
到F处结束影响，此时千米，
，千米，
受影响的时间为（小时）
【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
42．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】(1)由已知条件，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解；
(2)同(1)，先证，再利用角与角之间的关系求证，即可证明．
【详解】（1）证明：∵
∴
在Rt和Rt中，
，
∴，
∴；
（2），理由如下：
同（1）一样可证得，
∴
∵，
∴，
即，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明是解题的关键．
43．D
【分析】可以分A、B、C分别是直角顶点三种情况进行讨论即可解决．
【详解】解：当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D，E，H四个；
当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；
当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．
因而共有6个满足条件的顶点．
故选D．
【点睛】正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．
44．A
【分析】根据三角形的内角和定理，勾股定理逆定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，故①符合题意；
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∴不是直角三角形，故②不符合题意；
∵，
∴最大的角为，
∴不是直角三角形，故③不符合题意；
∵，
设，
此时，
∴不是直角三角形，故④不符合题意；
能确定是直角三角形的条件有1个．
故选：A
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理逆定理，三角形的内角和定理是解题的关键．
45．①②③
【分析】根据勾股定理求出、、的长，即可判断②，再根据勾股定理的逆定理即可判断①，根据三角形面积公式即可判断③和④．
【详解】由勾股定理得：， ， ＝，
，
的形状是直角三角形，且，故结论①正确；
的周长是，故结论②正确；
设点B到边的距离是h，
由三角形面积公式得： ，
h，故结论③正确；
，
∴D点到的距离等于A点到的距离，如图所示，
D点可以是直线m、n上的任意一点，
又∵点D在格点上（不与A重合），
∴这样的D点有 个不同的位置，故结论④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
46．
【分析】先利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用三角形面积法求出的长即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴是直角三角形，且
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形面积，得出是直角三角形是解题的关键．
47．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用证明，即可得到结论；
（2）先由可得，再求解，结合全等三角形的性质可得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，．
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角的和差运算，掌握“利用证明两个直角三角形全等”是解本题的关键．
48．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)BD的长为22
【分析】（1）△ABC和△BCD中，利用三角形内角和定理及等边对等角进行等量代换即可；
（2）先由等角对等边、等量代换得出△ABC是等腰三角形，再由∠BDC=30°，∠BAC=2∠BDC得出△ABC是等边三角形，即可得出结果；
（3）如图，作辅助线，根据等腰三角形三线合一得：CE=ED=CD，由直角三角形30°角的性质得：CF=CD，则CE=CF，利用HL证明Rt△ACE≌Rt△BCF，得∠DCF=∠ACB=60°，则△ABC是等边三角形，设HF=2x，BH=11x，由BH=HD列方程可得结论．
【详解】（1）证明：如图，
在△ABC中，∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
在△BCD中，∠3+∠4+∠6+∠7=180°，
∴∠1+∠2=∠6+∠7，
∵∠ACD=∠ADC，即∠7=∠5+∠6，
∴∠1+∠2=∠6+∠5+∠6，
∵AB=AD，
∴∠2=∠5，
∴∠1+∠5=∠6+∠5+∠6，
∴∠1=2∠6，
即∠BAC=2∠BDC．
（2）证明：∵∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD，
∵AB=AD，
∴AC=AB，
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠BDC=30°，
∴∠BAC=2∠BDC=60°，
△ABC是等边三角形，
∴BC=AC．
（3）解：如图，过A作AE⊥CD于E，
∵AC=AD，
∴CE=ED=CD，
∵∠BDC=30°，
∴CF=CD，
∴CE=CF，
∵BC=AD=AC，∠AEC=∠BFC=90°，
∴Rt△ACE≌Rt△BCF（HL），
∴∠ACE=∠BCF，
∴∠ACE-∠ACF=∠BCF-∠ACF，
即∠DCF=∠ACB=90°-30°=60°，
∵AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB，
∴AD=AB，
∵AH⊥BD，
∴BH=HD，
∵HF：BH=2：11，DF=9，
设HF=2x，BH=11x，
由BH=HD得：11x=2x+9，
x=1，
∴BD=11x+2x+9=22．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形30°角的性质，等边三角形性质和判定解决问题，第3问有难度，构建辅助线，证明Rt△ACE≌Rt△BCF是关键．
49．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）证明，即可证明是直角三角形；
（2）设，则，根据勾股定理即可求出．
【详解】（1）证明：在中，， ，．
，
，
是直角三角形；
（2）解：设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，能灵活运用定理进行计算是解此题的关键．
50．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，即可得出答案；
（2）由折叠知：，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵在中，，，，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，
即；
（2）解：由折叠知：，为直角三角形，
在中，①，
设，则，
代入①式得
化简得，
解得：，
即CD的长为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．
51．（1）直角梯形，长方形；（2）图见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可；
（2）利用勾股定理计算画出即可；
（3）首先证明△ABC≌△BDC，得出AC＝DE，BC＝BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．
【详解】解：（1）填直角梯形，长方形；
（2）如图，
（3）证明：∵△ABD为等边三角形，
∴AB＝AD，∠ABD＝60°，
∵∠CBE＝60°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC，
即∠ABC＝∠DBE，
又∵BE＝BC，
∴△ABC≌△DBE，
∴BE＝BC，AC＝ED；
连接EC，连接AC．则△BCE为等边三角形，
∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2＝DE2，
∴DC2+BC2＝AC2．
【点睛】此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目．
52．（1）详见解析；（2）详见解析；（3），或
【分析】（1）利用网格在图①中，以AB为边画格点三角形，使其为等腰三角形即可；
（2）利用网格在图②中，以AB为边画格点三角形，使其为钝角三角形且周长为6＋3即可；
（3）利用网格在图③中，以AB为边的格点三角形的面积为3，即可求出这个三角形的周长．
【详解】（1）如图①所示：△ABC1、△ABC2、△ABC3、△ABC4即为所求；
（2）如图②所示：△ABC1、△ABC2 即为所求；两个三角形为钝角三角形且周长为6＋3；

（3）如图③所示：以AB为边的格点三角形的面积为3，
则这个三角形的周长为：3＋＋2、4＋2或3＋＋2．
故答案为：3＋＋2、4＋2或3＋＋2．
【点睛】本题考查了作图 应用与设计作图、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质．
53．(1)①图形见解析；猜想：， 理由见解析；②见解析；
(2)线段，，的数量关系：．
【分析】(1)①依题意补全图形，由直角三角形的性质得出，，即可得出；
②在上截取，可证出是等腰直角三角形，得出，可证明，得出，，可推出，证出是等腰直角三角形，即可得出结论；
(2) 在上截取，连接，由，，可得，由可得，可证，可得，，可推出，可得是等腰直角三角形故，即可得线段，，的数量关系．
【详解】（1）解：①依题意，补全图形，如图1所示．
猜想：，
理由如下：
∵，，
∴，，
∴，
②证明：如图2，在上截取，
连接
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
（2）解：依题意补全图形，如图3所示，
在上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴线段，，的数量关系：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知，证明三角形全等是解题的关键．
54．(1)13
(2)直角三角形，见解析
(3)
【分析】（1）利用距离公式进行求解即可；
（2）利用距离公式，分别求出，利用勾股定理逆定理，得出是直角三角形；
（3）式子表示点到点距离，以及点到点的距离之和的最小值，根据两点之间，线段最短，即可得解．
【详解】（1）解： P，Q两点间的距离为：
；
（2）是直角三角形，
理由如下：
，
，
，
则，
∴是直角三角形；
（3）解：：表示点到点和点的距离之和的最小值，
∴当点在以两点和为端点的线段上时，点到两点和的距离之和最小，其最小值为以两点和为端点的线段长度，
∴的最小值为：
【点睛】本题考查坐标系下两点间的距离．理解并掌握两点间的距离公式是解题的关键．
55．(1)
(2)
(3)，
【分析】过作于，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质即可得到结论；
过作于，根据已知条件得到直线的解析式为，根据勾股定理得到，设，根据勾股定理得到，待定系数法即可得到结论；
以点为坐标原点建立平面直角坐标系，由得直线的解析式为，过作于，根据角平分线的性质得到，证明 ，求得，由知，，根据勾股定理得到，求得直线的解析式为，解方程组即可得到结论．
【详解】（1）如图，过作于，
∴，
∵是等腰直角三角形，点，的坐标分别为，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：；
（2）如图，过作于，
∴，
∵点，的坐标分别为，，
∴，，
∴，
∵
∴，
设直线的解析式为，
则，
∴，
∴直线的解析式为，
设，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得或（不合题意舍去），
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（3）如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，
由得直线的解析式为，
过作于，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则，
∴
∴直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴点分别到，墙面的距离分别为，
【点睛】本题主要考查了一次函数，全等三角形，勾股定理，等腰直角三角形等，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，等腰直角三角形的性质，待定系数法求一次函数的解析式．
56．B
【分析】找出点关于的对称点，连接、，根据轴对称的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据网格的特点，结合勾股定理，得出，，再根据，再根据勾股定理的逆定理，得出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，得出，进而即可得出的度数．
【详解】解：如图，找出点关于的对称点，连接、，
∵点关于的对称点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了轴对称、网格的特点、勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线，得出是解本题的关键．
57．8
【分析】该题存在两种情况；（1）AB为斜边，则；（2）AB为直角边，或；
【详解】（1）当AB为斜边时，点到直线的距离为，即AB边上的高为，符合要求的C点有4个，如图：
（2）当AB为直角边时，或，符合条件的点有4个，如图；
符合要求的C点有8个；
故答案是8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键．
58． 锐角三角形 或 钝角
【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出x的值；
（3）直接利用已知结合三边关系得出答案．
【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角三角形；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122=x2，
∴x=13，
当12是斜边，
则52+x2=122，
解得：x=，
综上所述：x=13或．
故答案为：13或；
（3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0，
∴a2＞b2+c2，
∴该三角形是钝角三角形．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键．
59．(1)；
(2)成立，；
(3)，见解析
【分析】（1）由，可得是等边三角形，得到，然后由直角三角形的性质即可求解；
（2）在的延长线上截取，连接，可证，得到，从而得到，即可求证；
（3）在上截取，连接，可证得，即可求证．
【详解】（1）解：之间的数量关系．
∵，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）猜想：结论仍然成立．
证明：在的延长线上截取，连接．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3），理由如下：
证明：在上截取，连接
由（2）得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用，作出合适的辅助线，构造出全等三角形．
60．(1)见解析
(2)3或5
(3)2或或．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，N为直角顶点，可得结论；
（2）分两种情况讨论，由勾股定理列出方程可求解；
（3）分三种情况讨论，由勾股定理列出方程可求解．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，N为直角顶点，
∴点N是线段的“”折点；
（2）解：∵点M、N是线段AB的“”折点，且为直角边，
设，则在中，，则，
有两种情况：
①，
即，
解得：；
②，
即，
解得：．
综上所述：的长为3或5；
（3）由图知，，，，设，则，
又∵A、E不是线段的“”折点，则B，C；B，D；C，D可能为“”折点，
即分三种情况：①B，C为线段的“”折点，
则有，
解得：；
②B，D为线段的“”折点，
则有，
解得：；
③C，D为线段的“”折点，
则有，
解得：．
综上所述：的长度为2或或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了勾股定理，理解“”折点的定义并运用是解题的关键．
61．(1)；
(2)直角三角形，理由见解析；
(3)点的坐标为，，，．
【分析】（1）根据题中的距离公式，求解即可；
（2）根据题中的距离公式，求得、、，再利用勾股定理的逆定理，即可判定；
（3）分两种情况，点在轴和点在轴上两种情况，利用距离公式，求解即可．
【详解】（1）解：由距离公式可得：两点间的距离为，
故答案为：；
（2）直角三角形，理由如下：
∵，，
由距离公式可得：，，
∵，即
∴为直角三角形，；
（3）当点在轴上时，设，
则，
当时，，，，与题意不符，舍去；
当时，，
由题意可得：，解得，即；
当时，，，
由题意可得：，解得，即；
当点在轴上时，设
则，
∴
∵
∴，解得
即或，
综上，点的坐标为，，，．
【点睛】此题考查了坐标与图形，勾股定理以及勾股定理的逆定理，两点间距离公式，绝对值的化简等，解题的关键是理解题意，掌握两点间距离公式，学会利用分类讨论的思想求解问题．
62．（1）5（2）3.5a2（3）4mn．
【分析】（1）依据图像的特点用割补法进行计算即可；
（2）a是直角边长为a，2a的直角三角形的斜边；是直角边长为a，3a的直角三角形的斜边；是直角边长为2a，3a的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；
（3）是以2m，n为直角边的直角三角形的斜边长；是以2m，3n为直角边的直角三角形的斜边长；是以4m，2n为直角边的直角三角形的斜边长；继而可作出三角形，然后求得三角形的面积．
【详解】（1）△ABC的面积＝3×4 ×2×2 ×1×4 ×2×3＝5，
故答案为：5；
（2）如图：由图可得，S△ABC＝3a×3a ×a×2a ×2a×3a ×a×3a＝3.5a2；

（3）如图，AB=，AC=，BC=
∴S△ABC＝4m×3n ×2m×n ×2m×3n ×4m×2n＝4mn．

【点睛】此题考查了勾股定理的应用以及三角形面积问题．注意掌握利用勾股定理的知识画长度为无理数的线段是解此题的关键．
63．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）连接，先证明是等边三角形，即，当F点与B点重合时，即，根据“三线合一”可得，即有，同理：如果点E刚好和点A重合，同样有；问题得解；先证明是等边三角形，根据等腰三角形的性质可得，再结合含角的直角三角形的性质可以求出，即问题得解；
（2）将绕D点逆时针旋转120°至，连接，先证明，再证明，问题即可得解；
（3）将绕D点逆时针旋转至，连接，根据（2）中的方法，同理可证明：，，再证明是直角三角形，，结合含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）如图，连接根据题意有，，即，
∵点D为中点，
∴，
∴是等边三角形，（此结论也适用于第（2）和（3）问）
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
当F点与B点重合时，如上图左图，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理：如果点E刚好和点A重合，同样有，
故答案为：；
当时，如图，
∵，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
将绕D点逆时针旋转至连接如图，
根据旋转的性质有：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：；
（3）将绕D点逆时针旋转至，连接如图，
根据（2）中的方法，同理可证明：，，
∴，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∵在（1）中已证明，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理等知识，合理构筑辅助线，证明三角形全等是解答本题的关键．
64．见解析
【分析】首先假设三角形的一个外角不等于与它不相邻的两个内角的和，根据三角形的内角和等于180°，得到矛盾，所以假设不成立，进而证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【详解】已知：如图，∠1是△ABC的一个外角，
求证：∠1＝∠A+∠B，
证明：假设∠1≠∠A+∠B，
在△ABC中，∠A+∠B+∠2＝180°，如下图所示：

∴∠A+∠B＝180°﹣∠2，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠2，
∴∠1＝∠A+∠B，
与假设相矛盾，
∴假设不成立，
∴原命题成立即：∠1＝∠A+∠B．
【点睛】本题考查了反证法的运用，反证法的一般解题步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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