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八年级数学下册同步精品讲义（北师大版）
专题1.4 角平分线
1.会叙述角平分线的性质及判定；
2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题；
3.会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”；
4.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
知识点01 角平分线的性质与判定
【知识点】
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等；
角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上；
辅助线的添加：过角平分线上一点向两边作垂线段。
【知识拓展1】利用角平分线的性质求面积（长度）
（2022春·辽宁抚顺·八年级阶段练习）
1．如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【即学即练】
（北京市燕山区2022-2023学年八年级上学期期末质量监测数学试卷）
2．如图，中，是边的高线，平分，，，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
【知识拓展2】利用角平分线的性质求角度
（2022春·安徽阜阳·八年级校考阶段练习）
3．如图，在四边形中，平分，，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练】
（2022春·河北邢台·八年级校考阶段练习）
4．两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连接并延长．若，则的度数为（　　）
A．6 B．5 C．5 D．4
【知识拓展3】角平分线的相关最值问题
（2022春·山东临沂·八年级统考期中）
5．如图，四边形中，，，连接，，垂足是且，点是边上的一动点，则的最小值是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【即学即练】
（2022春·成都市·八年级阶段练习）
6．如图，在中，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【知识拓展4】角平分线的判定
（2022春·山东临沂·八年级统考期中）
7．如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”这样说的依据是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形角平分线的相交于一点
D．角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
【即学即练4】
（2022春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）
8．如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，，垂足分别为点，，且．
(1)求证：为的角平分线；
(2)若，，求的长．
【知识拓展5】尺规作图与相关计算、证明
（2022春·广东广州·八年级校考期末）
9．如图，已知中，，．
(1)请用尺规作图作的角平分线；（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)过点C作交的延长线于点E，求证：．
【即学即练4】
（2022春·吉林长春·八年级期末）
10．如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若，则点到边的距离是( )
A． B． C． D．
【知识拓展6】角平分线的综合运用
（2022春·湖北荆州·八年级统考期中）
11．如图，在中，，D为边上一点，且，，过点D作于F，作的平分线分别交，于H，G，连接，得到如下结论，①，②，③，④平分，其中正确的是（ ）
A．①③ B．①③④ C．②④ D．①②③④
【即学即练6】
（北京市大兴区2022~2023学年八年级上学期数学期末检测试卷）
12．如图，在中，，的平分线与外角的平分线相交于点M，作的延长线得到射线，作射线，有下面四个结论：
①；
②；
③射线是的角平分线；
④．
所有正确结论的序号是 ．
知识点02 三角形的角平分线
【知识点】
三角形角平分线定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
应用：位置的选择问题
【知识拓展1】三角形的角平分线的应用
（2022·山东滨州·八年级月考）
13．如图，是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（ ）处．
A． B． C． D．
【即学即练1】
（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校二模）
14．如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
【知识拓展2】角平分线定理
（2022春·湖北荆门·八年级校联考期中）
15．如图，在中，是它的角平分线，．
(1)求的值；
(2)求证：；
(3)求的长．
【即学即练2】
（2022春·广东江门·八年级校考阶段练习）
16．（1）模型：如图1，在中，平分，，，求证：．
（2）模型应用：如图2，平分交的延长线于点，求证：．
（3）类比应用：如图3，平分，，，求证：．
【知识拓展3】三角形的角平分线（内心）
（2022·福建福州·八年级福州日升中学校考期中）
17．如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积和周长都为24，则点O到BC的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【即学即练3】
（2022·山东枣庄·八年级统考期末）
18．如图，的两直角边、的长分别是9、12．其三条角平分线交于点，将分为三个三角形，则等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：4
题组A 基础过关练
（2022春·北京海淀·八年级期末）
19．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．在、两边高线的交点处 B．在、两内角平分线的交点处
C．在、两边中线的交点处 D．在、两边垂直平分线的交点处
（2022秋·陕西西安·八年级考阶段练习）
20．如图，在中，，平分，垂直平分，若，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．
（2022春·北京朝阳·八年级校考期中）
21．如图，是的角平分线，、分别是和的高，则下列说法正确的是（ ）
A．垂直 B．平分
C．垂直平分 D．垂直平分
（2022春·八年级课时练习）
22．如图，从内一点 出发，把剪成三个三角形(如图1)，边放在同一直线上，点都落在直线上（如图2），直线，则点是的（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三条高的交点
C．三条中线的交点
D．三边中垂线的交点
（2022春·四川成都·八年级统考期末）
23．如图，OE平分∠AOB，EM∥OA，EN⊥OA，若EN＝3，ON＝5，则EM＝ ．
（2022春·吉林长春·八年级期末）
24．如图，在中，、分别平分和，于点D，，若的面积为25，的周长则为 ．
（2022春·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）
25．如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点，则 度．
（2022春·广东梅州·八年级校考阶段练习）
26．数学阅读：古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的面积为，其中，这个公式称为“海伦公式”．
数学应用：如图，在中，已知，，．
(1)请运用海伦公式求的面积；
(2)若，为的两条角平分线，它们的交点为，求的面积．
（2022春·广东惠州·八年级校考阶段练习）
27．请回答下列问题：
(1)已知：和内一点．求作：点，使，且点到 的两边，的距离相等．
(2)如图 ，已知及点，，求作点，使得到，的距离相等，且．
（2022春·福建厦门·八年级校考期中）
28．在内有一点D，过点D分别作，，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上．
(1)如图1，若，请说明点D在的角平分线上．
(2)如图2，若，，，猜想，，具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
（2022春·江苏扬州·八年级阶段练习）
29．如图，已知．
(1)用直尺和圆规按照下列要求作图：作的角平分线；（保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）
(2)过点画射线，使，交的延长线与点，过点画，垂足为，图中相等吗？证明你的结论．
（2023·辽宁大连·八年级统考期中）
30．如图，点M，N是内部两点．尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法．
(1)作：
(2)作的平分线：
(3)求作点P，使，且点P到，的距离相等．
题组B 能力提升练
（2022春·江苏·八年级期中）
31．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，，当最小时，的面积是（　　）
A．2 B．1 C．6 D．7
（2022·广东广州·八年级期中）
32．如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，交AB的延长线于点E，于点F，现有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（ ）
A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④
（2022春·云南昭通·八年级统考期中）
33．如图，在中，P，Q分别是，上的点，作，，垂足分别为M，N，若，，则下列结论：
①平分；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2022春·广东惠州·八年级校考阶段练习）
34．如图，点在线段上（不与点，重合），在的上方分别作和，且，，，连接，交于点 ，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．连接，则平分
（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）
35．如图，任意画一个的，再分别作的两角的角平分线和，、相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
（2022春·吉林·八年级期末）
36．如图，中，，，，，平分，如果点P，点Q分别为，上的动点，那么的最小值是 ．
（2022·江苏宿迁·八年级校考期中）
37．如图，的三边，，的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则 ：：
（2022 寿阳县八年级期末）
38．如图，点在的平分线上，，于，点在上，且，若是上的动点，则的最小值是 ．
（2022春·天津滨海新·八年级校考期中）
39．如图，四边形中，，点为的中点，且平分．
(1)求证：平分；
(2)求证：；
(3)探究：线段、、之间的数量关系，并证明．
（2022春·湖北武汉·八年级校考期中）
40．四边形中，平分．
(1)如图1，若，E是的中点，求证：平分；
(2)如图2，若平分，求证：E是的中点；
(3)在（2）的条件下，若，求四边形的面积．
（2022春·辽宁大连·八年级期末）
41．如图：点 C 在射线上，，且．
(1)实践与操作：利用圆规和直尺，
①以点 B 为圆心为半径画弧交射线于点E，连接；
②作的平分线分别交于 F，交于 G（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写 作法，标明字母）．
(2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明．
题组C 培优拔尖练
（2022·福建福州·八年级期中）
42．如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作于点．下列结论中正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④
（2022春·天津·八年级校考期中）
43．如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论，其中错误的是（ ）

A． B．
C．平分 D．平分
（2022·山东临沂·八年级期中）
44．如图，已知AC平分∠BAD，于点E，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ．
（2022春·北京大兴·八年级统考期中）
45．如图，与都是等边三角形，和相交于点，连接下面结论中，；；不是的平分线；所有正确结论的序号是 ．
（2022春·安徽淮北·八年级校考阶段练习）
46．如图，和中，，，，连接，，与交于点M，与交于点N．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分．其中正确的有　 　．
（2022春·广东东莞·八年级校考期中）
47．如图，，，，，交于点，若点在上．
(1)，求的度数；
(2)求证平分；
(3)连接，求证：．
（2022春·湖南长沙·八年级长沙县湘郡未来实验学校校考阶段练习）
48．如图，在中，，点P是边上的一点，，且，点C关于直线的对称点为D，连接，的边上的高为．
(1)求的大小；
(2)判断直线，是否平行？并说明理由；
(3)求证：．
（2022秋·湖南长沙·八年级湖南师大附中博才实验中学校考期末）
49．我们不妨约定：把“有一组邻边相等”的凸四边形叫做“菠菜四边形”．
(1)如下：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，一定是“菠菜四边形”的是________（填序号）；
(2)如图1，四边形ABCD为“菠菜四边形”，且∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝AB，AE⊥CD于点E，若AE＝4，求四边形ABCD的面积；
(3)①如图2，四边形ABCD为“菠菜四边形”，且AB＝AD，记四边形ABCD，△BOC，△AOD的面积依次为S，，，若．求证：ADBC；
②在①的条件下，延长BA、CD交于点E，记BC＝m，DC＝n，求证：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】过D作于E，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
【详解】解：过D作于E，
∵，对角线平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
2．B
【分析】过点E作于点F，根据角平分线的性质，得出，根据三角形面积公式进行计算即可．
【详解】解：过点E作于点F，如图所示：
∵是边的高线，
∴，
∵平分，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等．
3．B
【分析】过点D作交延长线于E，于F，根据角平分线的性质定理得到，由此证明，推出，再根据求出的度数．
【详解】解：过点D作交延长线于E，于F，
∵平分，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，以及全等三角形的判定和性质定理，熟练掌握各定理并进行推理论证是解题的关键．
4．B
【分析】过点作，一把直尺边缘与的交点为，如图，根据题意得到，根据角平分线的性质定理的逆定理可判断平分，所以，然后根据平行线的性质求解．
【详解】解：过点作，一把直尺边缘与的交点为，如图，
两把直尺为完全相同的长方形，
，
，
平分，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了平行线的性质．
5．D
【分析】根据等角的余角相等求出，再根据垂线段最短可知时最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得．
【详解】解：∵，．
∴，，
∴，
由垂线段最短得，时最小，
此时，．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质并判断出最小时的位置是解题的关键．
6．C
【分析】过点作交于点，交于点，过点作于点，由是的平分线，得出，这时有最小值，即的长度，运用勾股定理求出，再运用，得出的值，即的最小值．
【详解】解：如图所示，
过点作交于点，交于点，过点作于点，
∵是的平分线，
∴，这时有最小值，即的长度，
∵，，，，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
故选：．
【点睛】本题主要考查了轴对称问题，勾股定理，角平分线的性质，解题的关键是找出满足有最小值时点和的位置．
7．D
【分析】根据角平分线的性质定理的逆定理可判断平分．
【详解】∵两把长方形直尺完全相同，
∴P到尺子两边距离相等，即P到角的两边距离相等，
∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的性质定理的逆定理是解决问题的关键．
8．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，再证明，可得，再证明，即可得证；
（2）根据全等三角形的性质可得，进一步可得，从而可得．
【详解】（1）连接，，如图所示：
为的垂直平分线，
，
，，
，
在和中，
，
，
在和中，
，
，
为的角平分线；
（2），
，
又，
，即，
，，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定及线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
9．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）按照用尺规作一个角的平分线的方法进行作图即可；
（2）延长、，交于点F，证明，得出，即，证明，得出，即可证明结论．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的角平分线．
（2）证明：延长、，交于点F，如图所示：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了作一个角的平分线，三角形全等的判定和性质，角平分线的定义，余角的性质，解题的关键是作出辅助线证明和．
10．A
【分析】由作法得平分，过点作于，根据角平分线的性质得到．
【详解】解：，
由作法得平分，
过点作于，
如图，
平分，，，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作法和角平分线的性质．
11．B
【分析】根据等腰三角形性质和三角形外角性质，可证，即可判断①对错；通过反证法推出缺少必要条件，即可判断②对错；根据，得到，从而得到，推出，得到，即可判断③对错；根据等腰三角形性质额全等三角形的性质，可证，得到，即可判断④对错．
【详解】解：，
，
，，
，
在和中，
，
，
，①正确；
，是的角平分线，
，
若正确，则，
，
，
为等腰直角三角形，条件不足，不能判定，②错误；
，
，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，③正确；
，，
平分，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
平分，④正确，
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，正确找出对应的全等三角形并证明是解题关键．
12．①③④
【分析】由角平分线的定义可知．再根据三角形外角的性质得出，即可确定，故①正确；过点M作于点F，于点G，于点H，由角平分线的性质定理可得出．即易证，得出，即说明射线是的角平分线，故③正确；利用反证法，假设，易证，即得出．由，可知，即说明不成立，故②错误；由，即得出．再根据角平分线的定义即得出，最后结合三角形内角和定理即可求出结论，可判断④正确．
【详解】解：∵为的平分线，
∴．
∵，
∴，
∴，故①正确；
如图，过点M作于点F，于点G，于点H，
∵为的平分线，为的平分线，
∴．
又∵，
∴，
∴，即射线是的角平分线，故③正确；
假设，
∴．
∵为的平分线，是的角平分线，
∴，，
∴，即，
∴，即．
∵，
∴，
∴假设不成立，故②错误；
∵，
∴．
∵，
∴，
∴
，
∴④正确．
综上可知所有正确结论的序号是①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查角平分线的定义，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质及三角形内角和的应用等知识．正确作出辅助线构造全等三角形，并利用数形结合的思想是解题关键．
13．D
【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点，把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
【详解】（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处，
共四处，
故选：D．
．
【点睛】此题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记性质是正确解题的关键．
14．A
【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等即可解答．
【详解】根据题意要使集贸市场到三条公路的距离相等即集贸市场应建在三个角的角平分线的交点．
故本题选A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解答本题的关键．
15．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）作于点E，于点F，根据角平分线的性质得，则．
（2）作于点G，则，所以；
（3）由， ，得计算即可．
【详解】（1）作于点E，于点F，
∵是的角平分线，，
所以，
所以．
∴的值是．
（2）作于点G，则，
因为，
所以．
（3）因为， ，
所以．
【点睛】本题考查了角的平分线的性质定理，三角形面积的计算，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键．
16．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；
【分析】（1）由题意得DE=DF，，，即可得出：=AB：AC；
（2）在AB上取点E，使得AE=AC，根据题意可证△ACD≌△AED，从而可求出，，即可求解；
（3）延长BE至M，使EM=DC，连接AM，根据题意可证△ADC≌△AEM，故而得出AE为∠BAM的角平分线，即，即可得出答案；
【详解】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，
∴DE=DF，
∵ ，，
∴：=AB：AC；
（2）如图，在AB上取点E，使得AE=AC，连接DE
又∵ AD平分∠CAE，
∴ ∠CAD=∠DAE，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，
∴ ，
∴ ，
∴AB：AC=BD：CD；
（3）如图延长BE至M，使EM=DC，连接AM，
∵ ∠D+∠AEB=180°，
又∵∠AEB+∠AEM=180°，
∴∠D=∠AEM，
在△ADC与△AEM中，
，
∴△ADC≌△AEM（SAS），
∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，
∴AE为∠BAM的角平分线，
故 ，
∴BE：CD=AB：AC；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、以及三角形的面积的应用，正确掌握知识点是解题的关键；
17．B
【分析】设点O到BC的距离为x，根据角平分线的性质定理可得点O到AB，BC，AC的距离相等，都等于x，再根据，即可求解．
【详解】解：设点O到BC的距离为x，
∵O是△ABC的角平分线的交点，
∴点O到AB，BC，AC的距离相等，都等于x，
∵△ABC的面积为24，周长为24，
∴，
解得：x=2．
即点O到BC的距离为2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．
18．C
【分析】根据勾股定理先求出斜边的长，然后利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是9、12、15，所以面积之比就是3：4：5．
【详解】解：的两直角边、的长分别是9、12，
，
过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O为三角形三条角平分线的交点，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝ AB OE： BC OF： AC OD
＝AB：BC：AC＝9：12：15＝3：4：5，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．解题的关键是明确三个三角形的高相等．
19．B
【分析】根据三角形三个内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等即可选择．
【详解】根据三角形的角平分线性质，集贸市场应建在、两内角平分线的交点处．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的角平分线性质，掌握三角形三个内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等是解答本题的关键．
20．D
【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，进而可得，最后可得，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而利用角平分线的性质可得，即可解答．
【详解】解：，
，
平分，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，,
∴,
∴,
，
平分，，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
21．D
【分析】根据角平分线的性质定理得到，由垂直平分线的性质定理解答即可
【详解】垂直平分，理由如下：
∵平分，，，
∴，，且
∴，
∴，且是的角平分线，
∴垂直平分
故选：D
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理是解题的关键
22．A
【分析】根据平行线的性质可得点O到三边的距离相等，点O是三角形三条角平分线的交点即可．
【详解】解：∵直线，
根据平行线性质知点O到BC距离，点O到AC距离，点O到BA距离相等，
∴点O到三边的距离相等
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
故选择A．
【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题关键．
23．
【分析】如图：过E点作EF⊥OB于F，根据角平分线的性质得到∠FOE=∠NOE，EF=EN=3，再证明Rt△OEF≌Rt△OEN得到OF=ON=5；再证明∠MOE=∠MEO可得MO=ME，所以MF=5-ME，然后用勾股定理列方程ME的长即可．
【详解】解：如图：过E点作EF⊥OB于F，
∵OE平分∠AOB，EN⊥OA，EF⊥OB，
∴∠FOE=∠NOE，EF=EN=3，
在Rt△OEF和Rt△OEN中，
∴Rt△OEF≌Rt△OEN（HL），
∴OF=ON=5，
∵ME//OA，
∴∠MOE=∠MEO，
∴∠MOE=∠MEO，
∴MO=ME，
∴MF=5-OM=5-ME，在Rt△EFM中，（5-ME）2+32=ME2，解得ME=．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答本题的关键．
24．
【分析】过点O作于E，作于F，连接根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后根据三角形的面积列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点O作于E，作于F，连接，
∵、分别平分和，，
∴，
∴，
，
∵的面积为25，
∴，
即的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
25．
【分析】根据题意过点作三边的垂线段，根据角平分线的性质可得，，进而判定是的角平分线，根据角平分线的定义即可求得．
【详解】解：如图，过点作三边的垂线段，
三角形的两个外角和的平分线交于点E
在的角平分线上，即是的角平分线
故答案为：
【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，证明是的角平分线是解题的关键．
26．(1)；
(2)．
【分析】（1）把a、b、c的长代入求出p，再代入S计算即可得解；
（2）过点 作 ，，，垂足为 ，，，连接 ，根据角平分线定理可得：，并根据三角形面积计算的长，根据三角形面积公式可得结论．
【详解】（1），，，
，
．
（2）过点 作 ，，，垂足为 ，，，连接 ，
， 为 的两条角平分线，
，
，
，
解得 ，
故 ．
【点睛】本题考查了二次根式的应用和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，并根据新公式代入计算．
27．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据点C是内一点，使，且点到 的两边，的距离相等，即点P在的角平分线和线段的中垂线的交点处．
（2）根据点，使得到，的距离相等，且，即点P在的角平分线和线段的中垂线的交点处．
【详解】（1）连接，作线段的中垂线如图所示，作的角平分线如图所示，则的角平分线和线段的中垂线相交，交点为P，
（2）连接，作线段的中垂线如图所示，作的角平分线如图所示，则的角平分线和线段的中垂线相交，交点为P，
【点睛】本题主要考查了线段的中垂线和角平分线的性质，掌握中垂线和角平分线的作法是解题的关键．
28．(1)见解析
(2)，证明见解析；
【分析】（1）证明，得到，即可得证；
（2）过点作，交于点，证明和，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，
∴点D在的角平分线上；
（2），理由如下：
过点作，交于点，
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
在和中，
∴·
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及角平分线的判定．熟练掌握到角两边距离相等的点在角平分线上，以及通过添加辅助线构造三角形全等，是解题的关键．
29．(1)见解析
(2),理由见解析
【分析】（1）根据题意作的角平分线；
（2）根据题意补全图形，根据平行线的性质，角平分线的定义得出，进而可得，根据三线合一即可得出结论．
【详解】（1）如图所示，为的角平分线；
（2）结论：
证明：如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ (三线合一)
【点睛】本题考查了作角平分线，平行线的性质角平分线的定义，等角对等边，三线合一，掌握以上知识是解题的关键．
30．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角）作；
（2）利用基本作图作平分；
（3）作线段的垂直平分线交于点．
【详解】（1）如图1，图2，即为所求．
（2）如图1，射线即为所求．
（3）如图1，点即为所求．
【点睛】本题考查作图——复杂作图，涉及到角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟悉基本作图的方法和步骤．
31．B
【分析】过点作于，由角平分线的作法可知，是的角平分线，利用角平分线的性质得出，根据过直线外一点到直线的垂线段最短， 最短为2，由直角三角形全等的判定和性质可得出，利用线段间的数量关系及三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图，
由角平分线的作法可知，是的角平分线，
点为线段上的一个动点，最短，
，
，
，
，
，，
，
，
，
的面积．
故选：B．
【点睛】本题考查的是作图基本操作，角平分线的性质，直角三角形全等的判定和性质，过直线外一点到直线的垂线段最短等，理解题意，然后熟练掌握运用角平分线的性质是解题的关键．
32．C
【分析】①根据角平分线的性质进行判断；②利用的直角三角形的性质，进行判断；③连接，，得到，进而得到，证明，得到，推出，进行判断；④由，得到，证明，得到，利用等量代换，即可得证．
【详解】解：∵平分，，，
∴；故①正确；
∵，
∴，
∴，即：；故②正确；
在和中：
，
∴，
∴，
连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，，
∴，即：，
∴不平分；故③错误；
∴；故④正确；
综上：正确的有：①②④；
故选C．
【点睛】本题考查角平分线的性质，中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，中垂线的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键．
33．C
【分析】根据，，可以判定平分，，继而判定，，结合，得到，判定，却无法判定．
【详解】因为，，，，
所以平分，，
所以，，
因为，
所以，
所以，
却无法判定，
故①②③正确，④错误．
故选C．
【点睛】本题考查了角的平分线的判定定理，直角三角形的全等判定和性质，平行线的判定，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
34．B
【分析】先通过证明，并根据全等三角形的性质即可证明A选项正确；由外角的性质及等腰三角形的定义，可证明C选项正确；连接，过点C作于点G，于点H，根据角平分线生物判定定理证明D选项正确；无法证明B选项．
【详解】，
，
即，
，，
，
，故A选项正确；
，
∵，
，故C选项正确；
如图，连接，过点C作于点G，于点H，
，
，
，
，
平分，故D选项正确；
当时，需成立，与题意矛盾，故B选项正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了去哪等三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的性质，角平分线的判定，外角的性质等熟练掌握知识点是解题的关键．
35．C
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出即可判定①；如图所示，过点P作于F，于G，于H，利用角平分线的性质得到即可判断②；证明，得到，，即可判断④；再证明，得到，同理可证， 推出即可判断⑤；根据现有条件无法证明③．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵的两条角平分线和交于，
∴，
，
，故①正确；
，
如图所示，过点P作于F，于G，于H，
∴，
∴，
∴是的角平分线，故②正确；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，故④正确；
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证，
∵，
∴，
∴，故⑤正确；
根据现有条件，无法证明，故③错误，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质及判定，三角形内角和定理等等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
36．##2.4
【分析】作点Q关于的对称点E，作，首先根据角平分线的对称性得到，然后利用面积法求出，进而求解即可．
【详解】解：如图所示，作点Q关于的对称点E，作，
∵平分，
∴点E在线段上，
∴，
∴的最小值为的长度，
∵，
∴，即，
∴解得，
∴的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，直角三角形的等面积法求斜边上的高，属于综合题，熟练掌握直角三角形的性质及角平分线的性质是解决本题的关键．
37．4：6：5
【分析】过点作三边的高，根据角平分线性质得到 ，根据三角形面积公式得到面积之比等于三边之比即可得到答案．
【详解】解：过点作于点，于点，于点，
、、是的三条角平分线，
，
，，的长分别为40，50，60，
：：：：：：4：6：5
故答案为：4：6：5．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握辅助线的做法，注意数形结合思想的运用是解题关键．
38．6
【分析】根据角平分线的定义可得，求出，再根据直角三角形的性质求得，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到结果．
【详解】是角平分线上的一点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点是上一个动点，
的最小值为到距离，
的最小值，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，熟记性质并作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
39．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；
（2）利用，证明，根据全等三角形对应角相等，可得，同理可得，然后求出，再根据垂直的定义即可证明；
（3）根据全等三角形对应边相等，可得，，然后根据线段之间的数量关系，即可得出结论．
【详解】（1）证明：过点作于，
∵，平分，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴平分；
（2）证明：在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
40．(1)见解析
(2)见解析
(3)48
【分析】（1）过点E作，垂足为F．证明，，从而可得结论；
（2）如图2，延长相交于点F．证明，．可得．再证明．可得结论；
（3）证明，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）证明：过点E作，垂足为F．
∵，
∴．
又∵，
∴
∴
∵平分，，，
∴．
∵E是的中点，
∴，
∴．
又∵，
∴平分．
（2）证明：如图2，延长相交于点F．
∵平分，平分，
∴
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴．
∴E是的中点．
（3）解：由（2）得：，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理与判定定理的应用，作出合适的辅助线，构建三角形全等是解本题的关键．
41．(1)图见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）①如图，以点 B 为圆心为半径画弧交射线于点E，连接；
②以B为圆心，任意长为半径作弧，交于点N，O，再分别以N，O为圆心，大于长为半径画弧交于一点，连接B至该点并延长交于 F，交于 G；
（2）根据作图可证可得，再根据题意证明可得，进而即可求证．
【详解】（1）①作线段，如图所示；
②作角平分线，如图所示
（2）由作图可得，在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了作图—角平分线和全等三角形的判定和性质，正确的作出图象是解决本题的关键．
42．D
【分析】根据直角三角形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，可证明；根据角平分线的性质，过点作于，可计算出，，并证明；根据题目给定的条件，无法证明；根据结论①，角平分线的性质可证，由此即可求解．
【详解】解：结论①，
∵，，平方，
∴，，
∴，
∵，
∴，故结论①正确；
结论②，如图所示，过点作于，
∵平方，，
∴，
∴，，
∴，故结论②正确；
结论③，
∵，，平方，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，且由结论①正确得，，
在中，，即，
∴，
∴条件不足，无法证明，故结论③错误；
结论④，
由结论①正确得，，即，由角平分线的性质，，可证，
∴，故结论④正确．
综上所述，正确的有①②④．
故选：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质的综合，掌握直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角的判定和性质是解题的关键．
43．D
【分析】先证明，根据全等三角形的性质依次进行判断即可．
【详解】解：，
，
在和中，
，
（SAS），
，，
故A选项不符合题意；
，
，
，
故B选项不符合题意；
过点作于点，过点作于点，如图所示：

，
，
即，
，
，
在和中，
，
（HL），
，
即平分，
故C选项不符合题意；
假设平分，
则，
平分，
，
，
（ASA），
，
，，
，
假设不成立，
不平分，
故D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
44．①③④
【分析】过作，交的延长线于，证，进而得出①③正确，再证，进而得到④正确即可．
【详解】解：如图，过作，交的延长线于，如图所示：
平分，，，
，
又，
在和中，
，
∴，
，，
∴，即，
又，，
，，故①正确；②错误；
，
，
又，
，故③正确；
在和中，
，
∴，
，
，故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
45．①②③④
【分析】由“”可证，可得；由全等三角形的性质可得，由外角的性质和三角形内角和定理可得；由全等三角形的性质可得，由三角形面积公式可得，由角平分线的性质可得平分；由全等三角形的性质可得，由“”可证，由全等三角形的性质得出，证明是等边三角形，可得，可得，即可求解．
【详解】解：∵与都是等边三角形，
∴，
∴，，，
∴，
∴，故①正确，
∵，
∴，
∵，
∴，故正确；
如图，过点A作，，
∵，
∴，
∵，，
∴平分，故正确；
如图，在线段上截取，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及角之间的关系，证明是解本题的关键．
46．(1)见解析
(2)见解析
(3)②
【分析】（1）根据证明即可得出答案；
（2）根据，得出，利用三角形内角和定理，求出，即可得出答案；
（3）作于K，于J，根据全等三角形的性质，得出，，证明，根据角平分线的性质，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
又，
∵，
∴，
∴．
（3）解：结论：②
理由：作于K，于J，如图所示：
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分．
不妨设①成立，则，则，显然不可能，故①错误．
故答案为：②．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，角平分线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定和性质．
47．(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据得，利用SAS证明，即可得，根据可得，即可得；
（2）过点C作，，即，由（1）得，即可得，，利用AAS可证明，得，即可得；
（3）在上截取，连接，利用AAS证明，得，，根据角之间的关系得，即可得是等边三角形，则，根据，即可得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
在和中，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，过点C作，，
即，
由（1）得，
∴，，
在和中，
∴（AAS），
∴，
∴平分；
（3）证明：如图所示，在上截取，连接，
在和中，
∴（AAS），
∴，，
∴
=
=
= ，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，等边三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
48．(1)
(2)平行，见解析
(3)见解析
【分析】（1）由，，得．由点C关于直线的对称点为D，，，则，，即可得到答案；
（2）取中点E，连接，证明为等边三角形，为等腰三角形，得到，，得到
．由的边上的高为．即可得到结论；
（3）过点A作，的垂线，垂足分别为G，F．由角平分线的性质得到，由，得到，即点A在的平分线上．进一步即可得结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
∵点C关于直线的对称点为D，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：直线，平行．理由：
∵，
∴．
取中点E，连接，
则，
∴为等边三角形，
∴，，
∴为等腰三角形，
∴，
∴．
∵的边上的高为．
∴，
∴．
（3）证明：过点A作，的垂线，垂足分别为G，F．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点A在的平分线上．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴中，，
∴．
【点睛】此题考查了角平分线的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．
49．(1)③ ④
(2)16
(3)①见解析；②见解析
【分析】（1）根据菠菜四边形的定义结合各个特殊四边形的定义即可得出结论；
（2）过A作，交CB的延长线于F，求出四边形AFCE是矩形，则，求出，得出，有全等的出AE=AF=3，，求出，求出，代入求解即可；
（3）记面积为，则，，根据已知条件可得，进而可得，得出
由平分线的性质结合等腰三角形的性质可得BD平分，过点D作于点H，作于点N，则DH=DN,则，由此即可得出结论．
【详解】（1）根据菱形于正方形的定义值，一定是菠菜四边形的是菱形与正方形，
故答案为：③④
（2）如图，过A作，交CB的延长线于F，
∴ 四边形AFCE是矩形
则
四边形AFCE是正方形，
即四边形ABCD的面积为16
（3）①记，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
如图：作，
∴
∴ AMAD
∴四边形AMND为平行四边形
∴ADMN
∴ADBC
②∵ADBC
∴
又∵AD＝AB
∴
∴
∴BD平分
如图：
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，三角形的面积，角平分线的性质，对于同第登高的三角形的面积相等的推到是关键．
答案第1页，共2页
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