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八年级数学下册同步精品讲义（北师大版）
专题2.1-2.3 不等关系、不等式的基本性质、不等式的解集
1．理解不等式的意义，能用不等关系符号刻画现实世界中的数量关系；
2. 掌握不等式的三条基本性质，并能简单应用；
3.认识不等式解集的概念并会在数轴上表示解集。
知识点01 不等式与不等式的基本性质
【知识点】
1、不等式的概念：一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
注意：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
2、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
不等式的基本性质的掌握注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
【知识拓展1】不等式的辨别
例1．
（2022·浙江·八年级练习）
1．下列各式：①1﹣x：②4x+5>0；③x<3；④x2+x﹣1＝0，不等式有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【即学即练】
（2022·黑龙江·哈尔滨市八年级期中）
2．下列式子①；②1>2；③3m-1≤4；④a+2≠a-2中，不等式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2022·浙江余杭·八年级阶段练习）
3．下列选项正确的是（ ）
A．不是负数，表示为
B．不大于3，表示为
C．与4的差是负数，表示为
D．不等于，表示为
【知识拓展2】不等式应用
例2．
（2021·北京市八年级期中）
4．2020年，一直活跃在全球公众视线中的新冠疫苗，成为人类对抗新冠疫情的“关键先生”．然而，研发只是迈出了第一步，疫苗运输的第一关考验，在于温度．作为生物制品，疫苗对温度极其敏感．一般来说，疫苗冷链按照温度的不同，有如下分类：
类型 深度冷链 冻链 冷藏链
温度（t℃） t≤﹣70 ﹣70＜t≤﹣20 2≤t≤8
常见疫苗 埃博拉疫苗 水痘、带状疱疹疫苗 流感疫苗
我国研制的新型冠状病毒灭活疫苗，冷链运输和储存需要在2℃﹣8℃范围内，属于以下哪种冷链运输（　　）
A．深度冷链 B．冻链 C．冷藏链 D．普通运输
【即学即练】
（2022·浙江嘉兴·八年级期末）
5．根据数量关系“x的3倍小于4”，列不等式为 ．
（2022·广东·八年级期末）
6．目前新冠变异毒株“奥密克戎”肆虐全球，疫情防控形势严峻．体温T超过37.3℃的必须如实报告，并主动到发热门诊就诊．体温“超过37.3℃”用不等式表示为（ ）
A．℃ B．℃ C．℃ D．℃
【知识拓展3】不等式的性质
例3．
（2022·湖南汉寿·八年级期末）
7．下列不等式变形中不正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【即学即练】
（2022·浙江新昌·八年级期末）
8．如果，那么下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2022·山东·八年级专项训练）
9．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【知识拓展4】不等式性质的实际运用
例4．
（2022·山东·八年级期末）
10．如图，A、B、M、N四人去公园玩跷跷板．设M和N两人的体重分别为m、n，则m、n的大小关系为（　　）
A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．无法确定
【即学即练】
（2022·湖南汉寿·八年级期末）
11．甲在集市上先买了只羊，平均每只元，稍后又买了2只，平均每只羊元，后来他以每只 元的价格把羊全卖给了乙，结果甲发现赚了钱，赚钱的原因是（　　）
A． B．
C． D．与大小无关
【知识拓展5】根据不等式性质求参数
例5．
（2022·浙江缙云·八年级期末）
12．若，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练】
（2022·浙江西湖·八年级期末）
13．已知．
(1)比较与的大小，并说明理由．
(2)若，求a的取值范围．
知识点02 不等式的解集
【知识点】
1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
3.不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
注意：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．
【知识拓展1】不等式的解
例1．
（2022·河北·八年级专题练习）
14．下列说法中，正确的是（ ）
A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解
C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集
【即学即练1】
（2022·遂宁市八年级期中）
15．下列各数中，是不等式x＞3的解的是（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．5
（2022·北京顺义·八年级期中）
16．x=3是下列不等式（ ）的一个解．
A．x+1<0 B．x+1<4 C．x+1<3 D．x+1<5
【知识拓展2】不等式的解集
例2．
（2022·山西忻州·八年级期末）
17．下列说法错误的是（ ）
A．不等式的解集是
B．不等式的整数解有无数个
C．不等式的整数解是0
D．是不等式的一个解
【即学即练】
（2022·广东·八年级课时练习）
18．下列说法中，错误的是（　　）
A．不等式x＜5的整数解有无数多个
B．不等式﹣2x＜8的解集是x＜﹣4
C．不等式x＞﹣5的负整数解是有限个
D．﹣40是不等式2x＜﹣8的一个解
【知识拓展3】用数轴表示不等式的解集
例1．
（2022.山东八年级）
19．将下列不等式的解集在数轴上表示出来．
(1)
(2)
(3)
(4)
【即学即练】
20．请用不等式表示如图的解集．
【知识拓展4】根据不等式的解集求参数
例4．
（2022·浙江龙湾·八年级期中）
21．已知不等式（a﹣1）x＞a﹣1的解集是x＜1，则a的取值范围为 ．
【即学即练】
（2022·浙江·温州八年级期中）
22．若不等式（m﹣3）x＞m﹣3，两边同除以（m﹣3），得x＜1，则m的取值范围为 ．
23．对于x≥1的一切实数,不等式≥a都成立,试求a的取值范围.
题组A 基础过关练
（2022·北京市昌平区八年级期中）
24．在 ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 中，属于不等式的有 （ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
（2022·江苏高邮·七年级期末）
25．小明花整数元网购了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格．甲说：“至少15元”，乙说“至多13元”，丙说：“至多10元”．小明说：“你们都猜错了．”则这本书的价格为（　　）
A．12元 B．13元 C．14元 D．无法确定
（2022·江苏·靖江外国语学校模拟预测）
26．下列说法不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
（2022·全国·八年级专题练习）
27．对于不等式4x+7（x-2）＞8不是它的解的是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
（2022·全国·八年级）
28．如果a＜b，c＜0，那么下列不等式成立的是（　　）
A．a+c＜b B．a﹣c＞b﹣c
C．ac+1＜bc+1 D．a（c﹣2）＜b（c﹣2）
（2022·山东·聊城市八年级阶段练习）
29．如果a＞b，c＜0，则ac3 bc3（＞或＜或=）．
（2022·北京市八年级期中）
30．以下是两位同学在复习不等式过程中的对话：
小明说：不等式a＞2a永远都不会成立，因为如果在这个不等式两边同时除以a，就会出现1＞2这样的错误结论！
小丽说：如果a＞b，c＞d，那么一定会得出a﹣c＞b﹣d．
你认为小明的说法 　 　（填“正确”、“不正确”）；小丽的说法 　 　（填“正确”、“不正确”），并选择其中一个人判断阐述你的理由（若认为正确，则进行证明；若认为不正确，则给出反例）
（2022·全国·八年级课前预习）
31．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)x－7＞26
(2)3x＜2x＋1
（2022·全国·八年级课时练习）
32．若，试比较下列各式的大小并说明理由．
（1）与；（2）与．
题组B 能力提升练
（2022·全国·八年级专题练习）
33．下列说法正确的是（　　）
A．x＝﹣3是不等式x＞﹣2的一个解
B．x＝﹣1是不等式x＞﹣2的一个解
C．不等式x＞﹣2的解是x＝﹣3
D．不等式x＞﹣2的解是x＝﹣1
（2022·湖南·永州市八年级阶段练习）
34．关于x的不等式（m－1）x＞m－1可变成形为x＜1，则（ ）
A．m＜－1 B．m＞－1 C．m＞1 D．m＜1
（2022·全国·八年级）
35．已知8x＋1＜－2x，则下列各式中正确的是（ ）
A．10x＋1＞0 B．10x＋1＜0 C．8x－1＞2x D．10x＞－1
（2022·江西·景德镇八年级期中）
36．以下说法正确的是： .
①由，得；②由，得
③由，得；④由，得
⑤和互为相反数；⑥是不等式的解
（2022·广东·八年级期中）
37．（1）若a＜0，则a 2a；（用“＞”“＜”“＝”填空）
（2）若a＜c＜b＜0，则abc　 　0；（用“＞”“＜”“＝”填空）
（3）若a＜c＜0＜b，化简：4（c﹣a）﹣2（2c﹣b），并判断化简结果的正负．
（2022·北京市顺义区八年级期中）
38．请先阅读下列材料，再解决问题．
例题:已知，求证:
证明:因为，又因为，根据不等式基本性质2，得，再根据不等式基本性质1，在不等式的两边同时加上m，得
仿照上例，证明下题：已知，求证．
（2022·上海市教育学会青浦清河湾中学期中）
39．在“爱心传递”活动中，某校学生积极捐款. 其中六年级的两个班级的捐款情况如下表：
班 级 人数 捐款总额（元） 人均捐款额（元）
（1）班
（2）班
合计 80 900 11.25
小杰在统计时不小心污损了其中的部分数据，但他还记得以下信息：
信息一：六（2）班的捐款额比六（1）班多60元；
信息二：六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元；
请根据表格中留下的数据和以上信息，帮助小杰同学解决下列问题：
(1)六（1）班和六（2）班的捐款总额各是多少元？
(2)六（2）班的学生数至少是多少人？
（2022·山西·太原市八年级阶段练习）
40．利用不等式的性质，解答下列问题．
（1）①如果a﹣b＜0，那么a b；
②如果a﹣b＝0，那么a b；
③如果a﹣b＞0，那么a b；
（2）比较2a与a的大小．
（3）若a＞b，c＞d．
①比较a+c与b+d的大小；
②比较a﹣d与b﹣c的大小．
题组C 培优拔尖练
（2022·湖北老河口·八年级期末）
41．已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0
（2022·全国·八年级）
42．如果a＜b，c＜0，那么下列不等式成立的是（　　）
A．a+c＜b B．a﹣c＞b﹣c
C．ac+1＜bc+1 D．a（c﹣2）＜b（c﹣2）
（2022·江西·景德镇八年级期末）
43．已知表示不超过x的最大整数)，设方程的两个不同实数解为，则 ．
（2022·绵阳市·八年级专题练习）
44．已知，当1（2021·浙江余杭·八年级阶段练习）
45．比较大小，用“”或“”填空：
（1）若，且，则 ．
（2）若，为实数，则 ．
（2021·湖北硚口·七年级期末）
46．当常数 时，式子的最小值是．
（2022·浙江温岭·七年级期末）
47．【发现问题】已知，求的值．
方法一：先解方程组，得出，的值，再代入，求出的值．
方法二：将①②，求出的值．
【提出问题】怎样才能得到方法二呢？
【分析问题】
为了得到方法二，可以将①②，可得．
令等式左边，比较系数可得，求得．
【解决问题】
（1）请你选择一种方法，求的值；
（2）对于方程组利用方法二的思路，求的值；
【迁移应用】
（3）已知，求的范围．
（2022·全国·七年级课时练习）
48．阅读下列材料：
数学问题：已知，且，，试确定的取值范围．
问题解法：，．
又，，．
又，．①
同理得．②
由②①得，
的取值范围是．
完成任务：
（1）在数学问题中的条件下，写出的取值范围是_____．
（2）已知，且，，试确定的取值范围；
（3）已知，，若成立，试确定的取值范围（结果用含a的式子表示）．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】主要依据不等式的定义：用“>”、“≥”、“<”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【详解】解：根据不等式的定义可知，所有式子中是不等式的是②4x+5>0； ③x<3，有2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了不等式的定义，用“>”、“≥”、“<”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子叫作不等式．
2．D
【分析】根据不等式的定义：“用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式”分析即可．
【详解】根据不等式的定义：“用不等号表示两个量间的不等关系的式子叫做不等式”分析可知，上述四个式子都是不等式．
故选D．
【点睛】本题考查了不等式的定义，理解不等式的定义是解题的关键．
3．C
【分析】由题意先根据非负数、负数及各选项的语言表述列出不等式，再与选项中所表示的进行比较即可得出答案．
【详解】解：．不是负数，可表示成，故本选项不符合题意；
．不大于3，可表示成，故本选项不符合题意；
．与4的差是负数，可表示成，故本选项符合题意；
．不等于，表示为，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查不等式的定义，解决本题的关键是理解负数是小于0的数，不大于用数学符号表示是“≤”．
4．C
【分析】直接根据不等式的定义，观察表中t的范围可得答案．
【详解】解：根据图表中 的取值范围得：冷链运输和储存需要在2℃—8℃范围内，属于冷藏链运输．
故选：C．
【点睛】此题考查的是不等式的概念，掌握不等式的概念：用“>”或“<”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“ ”号表示不等关系的式子也是不等式是解决此题关键．
5．
【分析】根据题意，表示出x的3倍，即可求解．
【详解】解：“x的3倍小于4”，可表示为
故答案为：
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
6．A
【分析】超过即大于，用不等式表示出来即可．
【详解】解：A、表示超过，选项符合题意；
B、表示低于，选项不符合题意；
C、表示不高于，选项不符合题意；
D、表示不高于，选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查不等式的定义，根据定义解题是关键．
7．D
【分析】根据不等式的性质，比较每一个选项变形是否符合不等式的性质，选出正确答案即可．
【详解】A、，得，根据不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式仍然正确，可知A正确，不符合题意；
B、由，得，根据不等两边同时乘一个负数，不等号方向改变，可知B正确，不符合题意；
C、由，得，根据不等两边同时乘一个正数，不等号方向不变，可知C正确，不符合题意；
D、由，得，根据不等两边同时除以一个负数，不等号方向改变，可知D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解决本题的关键．
8．D
【分析】根据不等式的基本性质求解即可．
【详解】解：A、如果，则，错误，不符合题意；
B、如果，则，错误，不符合题意；
C、如果，则，不一定正确，不符合题意；
D、如果，则，正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键．
9．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据不等式的性质1解答即可；
（2）先根据不等式的性质1，再根据不等式的性质2解答；
（3）先根据不等式的性质1，再根据不等式的性质3解答；
（4）根据不等式的性质3解答即可；
【详解】（1）解：，
两边加上得：，
解得：；
（2）解：，
两边加上得：，即，
两边除以得：；
（3）解：，
两边减去得：，即，
两边除以得：；
（4）解：，
两边除以得：．
【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
10．A
【分析】设A，B两人的体重分别为a，b，根据题意列出等式和不等式，即可得出答案．
【详解】解：设A，B两人的体重分别为a，b，
根据题意得：a+m＝n+b，a＞b，
∴m＜n，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的性质，根据题意列出等式和不等式是解题的关键．
11．C
【分析】分别求出买5只羊的总费用和卖掉5只羊的总收入，再利用不等式的性质比较大小即可
【详解】解：由题意，甲买羊共付出（）元，卖羊的共收入元，
∵甲赚了钱，
∴＜，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查列代数式、不等式的基本性质，理解题意，正确列出代数式和不等式是解答的关键．
12．A
【分析】根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：∵，且，
∴a-3<0，
∴a<3，
故选A．
【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
13．(1)3 x＜3 y
(2)a＞0
【分析】（1）根据不等式的基本性质解答即可；
（2）根据不等式的基本性质解答即可．
【详解】（1）解：∵x＞y，
∴ x＜ y，
∴3 x＜3 y；
（2）∵x＞y，3＋ax＞3＋ay，
∴a＞0．
【点睛】本题考查的是不等式的基本性质．（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，解题关键是掌握不等式的基本性质．
14．A
【分析】对A、B、C、D选项进行一一验证，把已知解代入不等式看不等式两边是否成立．
【详解】解：A、当x＝3时，2×3＞1，成立，故A符合题意；
B、当x＝3时，2×3＞1成立，但不是唯一解，例如x＝4也是不等式的解，故B不符合题意；
C、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，故C不符合题意；
D、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，但不是不等式的解集，其解集为：x＞，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题着重考查不等式中不等式的解、唯一解、解集概念之间的区别和联系，是一道非常好的基础题．
15．D
【分析】根据不等式解的定义判断即可．
【详解】解：∵，
∴5是不等式x＞3的解．
故选：D．
【点睛】此题考查了不等式的解的内容，其中，弄清不等式解的定义是解本题的关键．
16．D
【分析】直接将x=3代入各个不等式，不等式成立的即为所选.
【详解】解：A、3+1=4>0，故A不成立；
B、3+1=4，故B不成立；
C、3+1=4>3，故C不成立；
D、3+1=4<5，故D成立；
故选：D.
【点睛】本题主要考查不等式的的解（集），使不等式成立的的未知数的值，就是不等式的解，由所有不等式的解组成的集合就是不等式的解集.
17．C
【分析】解出不等式的解集，根据不等式的解的定义，就是能使不等式成立的未知数的值，就可以作出判断．
【详解】解：A、不等式x 3＞2的解集是x＞5，正确，不符合题意；
B、由于整数包括负整数、0、正整数，所以不等式x＜3的整数解有无数个，正确，不符合题意；
C、不等式x＋3＜3的解集为x＜0，所以不等式x＋3＜3的整数解不能是0，错误，符合题意；
D、由于不等式2x＜3的解集为x＜1.5，所以x＝0是不等式2x＜3的一个解，正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的解集，解答此题关键是掌握解不等式的方法，及整数的分类．
18．B
【分析】先求解不等式，然后根据不等式解集的定义进行判断．
【详解】A、小于5的整数有无数个，正确；
B、不等式﹣2x＜8的解集是x＞﹣4，错误；
C、不等式x＞﹣5的负整数解集有﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，正确；
D、不等式2x＜﹣8的解集是x＜﹣4，因而﹣40是不等式2x＜﹣8的一个解，正确．
故选B．
【点睛】本题考查不等式的解集，求出不等式的解集是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）先将数轴画出来，然后找到这一点，然后大于向右画，在处为空心圆点；
（2）先将数轴画出来，然后找到这一点，然后小于向左画，在处为实心圆点；
（3）先将数轴画出来，然后找到0这一点，然后大于向右画，在0处为实心圆点；
（4）先将数轴画出来，然后找到这一点，然后小于向左画，在处为空心圆点．
【详解】（1）解：数轴上表示如下：
（2）数轴上表示如下：
（3）数轴上表示如下：
（4）数轴上表示如下：
【点睛】本题主要考查用数轴表示不等式的解集，掌握数轴的知识及大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，没有等号画空心圆点是解题的关键．
20．（1）x＜﹣1；（2）x≥1；（3）x≤﹣1；（4）x＞3．
【分析】根据不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示，可得答案．
【详解】解：（1）由数轴表示的不等式的解集，得；
（2）由数轴表示的不等式的解集，得；
（3）由数轴表示的不等式的解集，得；
（4）由数轴表示的不等式的解集，得
21．a＜1
【分析】根据不等式的性质3，可得答案．
【详解】解：∵（a﹣1）x＞a﹣1的解集是x＜1，不等号方向发生了改变，
∴a﹣1＜0，
∴a＜1．
故答案为：a＜1．
【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向改变．
22．
【分析】根据不等式的性质可知，求解即可．
【详解】解：∵不等式（m﹣3）x＞m﹣3，两边同除以（m﹣3），得x＜1，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式两边同时乘或除一个负数，不等式的符号要改变，是解本题的关键．
23．
【分析】将x=1先带入不等式≥a中，解不等式即可得到答案.
【详解】解:解不等式可得x≥3a,由题意知3a≤1,即a≤.
【点睛】此题重点考查学生对不等式解法的理解，把握不等式的解法是解题的关键.
24．C
【分析】用不等号连接而成的式子叫不等式，根据不等式的定义即可完成．
【详解】①是等式；③是代数式；②④⑤是不等式；
即属于不等式的有3个
故选：C
【点睛】本题考查了不等式的概念，理解不等式的概念是关键．
25．C
【分析】根据题目中的说法，可以利用排除法，求得《趣数学》的价格，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
甲、乙、丙的说法都是错误的，
甲的说法错误，说明这本书的价格少于15元，
乙、丙的说法错误，说明这本书的价格高于13元，
又因为明花整数元网购了一本《趣数学》，
所以这本书的价格是14元，
故选：C．
【点睛】本题考查推理与论证，解答本题的关键是明确题意，利用排除法得到书的价格．
26．A
【分析】利用不等式的性质逐项判断，得出答案即可．
【详解】解：、若，则，时不成立，此选项错误，符合题意；
B、若，则，此选项正确，不符合题意；
C、若，则，此选项正确，不符合题意；
D、若，则，此选项正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查不等式的性质，解题关键是熟记不等式的性质：性质、不等式的两边都加上或减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．性质、不等式两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．性质、不等式两边都乘或除以同一个负数，不等号方向改变．
27．D
【分析】根据不等式的解的含义把每个选项的数值代入不等式的左边进行计算，满足左边大于右边的是不等式的解，不满足左边大于右边的就不是不等式的解，从而可得答案.
【详解】解：当x＝5时，4x+7（x-2）＝41＞8，
当x＝4时，4x+7（x-2）＝30＞8，
当x＝3时，4x+7（x-2）＝19＞8，
当x＝2时，4x+7（x-2）＝8．
故知x＝2不是原不等式的解．故A，B，C不符合题意，D符合题意，
故选D
【点睛】本题考查的是不等式的解的含义，理解不等式的解的含义并进行判断是解本题的关键.
28．A
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、由a＜b，c＜0得到：a+c＜b+0，即a+c＜b，故本选项符合题意．
B、当a＝1，b＝2，c＝﹣3时，不等式a﹣c＞b﹣c不成立，故本选项不符合题意．
C、由a＜b，c＜0得到：ac+1＞bc+1，故本选项不符合题意．
D、由于c﹣2＜﹣2，所以a（c﹣2）＞b（c﹣2），故本选项不符合题意．
故选：A
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
29．＜
【分析】根据不等式的基本性质（不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变）判断即可得到答案.
【详解】解：∵c＜0，
∴c3<0，
∵a＞b，
∴ac3＜bc3.（不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变）
故答案为：＜.
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质；
(1)不等式的两边同时加上或者减去同一个数活等式不等号的方向不变；
(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.
30．不正确；不正确；理由见解析
【分析】根据不等式的性质进行解答．
【详解】解：小明和小丽的说法都不正确，理由如下：
选择小明的说法：
当a=0时，a=2a；
当a＜0时，由1＜2得a＞2a．
选择小丽的说法：
当a=c，b=d时，a﹣c＞b﹣d不成立；
故答案为：不正确；不正确．
【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式两边加上（或减去）同一个数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变．
31．(1)x＞33，见解析
(2)x＜1，见解析
【详解】（1）根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，
所以：x－7＋7＞26＋7，
x＞33．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图：
（2）3x＜2x＋1；
解:（2）根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变，
所以：3x－2x＜2x＋1－2x，
x＜1．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图：
32．（1）．理由见解析；（2）．理由见解析.
【分析】（1）先在x＜y的基础上，利用不等式性质2，同乘以3，不等号方向不变，再在此基础上，利用不等式性质1，同减去1，不等号方向不变，故3x-1＜3y-1；
（2）先在x＜y的基础上，利用不等式形式3，同乘以-，不等号方向改变，再在此基础上，利用不等式性质1，同加上6，不等号方向不变，故.
【详解】解：（1）．理由如下：
，
（不等式的性质2），
（不等式的性质1）．
（2）．理由如下：
，
（不等式的性质3），
（不等式的性质1）．
【点睛】主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
33．B
【分析】根据不等式解集和解的概念求解可得
【详解】解：A．x＝﹣3不是不等式x＞﹣2的一个解，此选项错误；
B．x＝﹣1是不等式x＞﹣2的一个解，此选项正确；
C．不等式x＞﹣2的解有无数个，此选项错误；
D．不等式x＞﹣2的解有无数个，此选项错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查不等式的解集，不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示，不等式的每一个解都在它的解集的范围内.
34．D
【分析】根据不等式的基本性质3求解即可．
【详解】解：∵关于x的不等式（m-1）x>m-1的解集为x<1，
∴m-1<0，
则m<1，
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质3．
35．B
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：由不等式性质得，在不等式8x＋1＜－2x的两边同加上2x，不等号的方向不变，即10x＋1＜0．
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解答的关键，注意符号的变化．
36．②③④
【分析】根据不等式的基本性质得出结论即可．
【详解】解：①由，当时，得，故结论①错误；
②由，得，故结论②正确；
③由，得；故结论③正确；
④由，得；故结论④正确；
⑤和互为相反数，当为奇数时，，故结论⑤错误；
⑥是不等式的解，故结论⑥错误；
故正确的结论为：②③④．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解本题的关键．
37．(1) ＞;(2) ＜;(3) -4a+2b,结果为正
【分析】(1)根据不等式的基本性质即可求解;
(2)根据有理数的乘法法则即可求解;
(3)先化简,再根据根据不等式的基本性质即可求解;
【详解】解:∵a＜0
∴a＞2a
(2) ∵a＜c＜b＜0，
∴ac>0（同号两数相乘得正），
∴abc＜0（不等式两边乘以同一个负数，不等号的方向改变）．
(3) 4（c﹣a）﹣2（2c﹣b）=4c-4a-4c+2b=-4a+2b
∵a＜c＜0＜b
∴-4a＞0, 2b＞0
∴-4a+2b＞0
故结果为正
【点睛】主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
38．见详解.
【分析】根据材料的证明方法，结合不等式性质，即可得到结论成立.
【详解】解：∵，且，
∴，
不等式两边同时减去5y，则
∴.
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质进行解题.
39．(1)六（1）班的捐款额为420元，六（2）班的捐款额为480元
(2)38人
【分析】（1）设六（1）班的捐款额为元，从而可得六（2）班的捐款额为元，再根据合计总捐款额为900元建立方程，解方程即可得；
（2）先求出六（1）班学生数最多不超过42人，再根据合计的学生总人数即可得出答案．
【详解】（1）解：设六（1）班的捐款额为元，则六（2）班的捐款额为元，
由题意得：，
解得，
则，
答：六（1）班的捐款额为420元，六（2）班的捐款额为480元；
（2）解：因为六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元，
所以六（1）班学生数最多不超过（人），
所以六（2）班学生数至少是（人），
答：六（2）班的学生数至少是38人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的应用，正确建立方程和理解不等式的概念是解题关键．
40．（1）①＜；②＝；③＞；（2）a＞0时，2a＞a；a＜0时，2a＜a；（3）①a+c＞b+d；②a﹣d＞b﹣c
【分析】（1）分别根据不等式的性质解答即可；
（2）分，，三种情况讨论；
（3）根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：（1）①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么；
故答案为：；；；
（2）当时，；
时，，即；
时，，即；
（3）①，，
；
②，，
．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是不等式两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
41．A
【分析】先根据不等式的基本性质及此不等式的解集判断出k﹣4的符号，再求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，，
∴a﹣1＜0，
∴a＜1，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于k的不等式是解题关键．
42．A
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、由a＜b，c＜0得到：a+c＜b+0，即a+c＜b，故本选项符合题意．
B、当a＝1，b＝2，c＝﹣3时，不等式a﹣c＞b﹣c不成立，故本选项不符合题意．
C、由a＜b，c＜0得到：ac+1＞bc+1，故本选项不符合题意．
D、由于c﹣2＜﹣2，所以a（c﹣2）＞b（c﹣2），故本选项不符合题意．
故选：A
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
43．
【分析】由题意可知{}表示的小数部分，则，根据题意可得，分类讨论，将原方程化简，求得进而进行计算即可．
【详解】由题意得，，
，，
，
，
，
即，
，
当时，
，
原方程为，
即，
，
当时，
，
原方程为，
即，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义下的方程的计算，不等式的性质，实数的小数部分与整数部分，根据题意分析出，再分类讨论以及正确的计算是解题的关键．
44．
【分析】分a>0，a=0，a<0三种情况，根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：当1①当a>0时，1×a∴a+2∵代数式ax+2的值都大于零，
∴a+2≥0，即a≥ 2，
∴a>0；
②当a<0时，2a∴2a+2∵代数式ax+2的值都大于零，
∴2a+2≥0，即a≥ 1，
∴ 1≤a<0；
③当a=0时，ax+2=2>0，
∴满足代数式ax+2的值都大于零；
当 2①当a>0时， 2a∴ 2a+2∵代数式ax+2的值都小于零，
∴ a+2≤0，即a≥2，
∴a≥2；
②当a<0时， a∴ a+2∵代数式ax+2的值都小于零，
∴ 2a+2≤0，即a≥1，
∴不存在这样的a值使ax+2的值小于零；
③当a=0时，ax+2=2>0，
∴不满足代数ax+2的值都小于零，
若同时满足上述情况，则a≥2，
故答案为：a≥2．
【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
45． ＜
＞
【分析】（1）由不等式的性质可得，即可求解．
（2）将两个代数式进行作差，求出差的正负，从而判断出代数式的大小．
【详解】解：（1），且，
，
，
故答案为：．
（2）
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要是考查了比较代数式的大小以及不等式的基本性质，常见的比较大小的方法有：作差法、作商法、两边同时平方等，熟练运用合适的方法进行比较，是解决此类题的关键．
46．2或-8
【分析】分类讨论当时和当时，再具体分类，最后去绝对值并利用原式的最小值为5即可求出m．
【详解】分类讨论（1）当时，
①当时，原式．则；
②当时，原式；
③当时，原式，则．
∵原式的最小值为5，
∴，
∴．
（2）当时，
①当时，原式．则；
②当时，原式；
③当时，原式，则．
∵原式的最小值为5，
∴，
∴．
综上，m为2或-8．
故答案为：2或-8．
【点睛】本题考查解不等式及去绝对值，利用分类讨论的思想是解答本题的关键．
47．（1）2；（2）26；（3）
【分析】（1）利用方法二来求的值；由题意可知；
（2）先根据方法二的基本步骤求出，即可得；
（3）通过方法二得出，再利用不等式的性质进行求解．
【详解】解：（1）利用方法二来求的值；
由题意可知：，
即；
（2）对于方程组，
由①②可得：，
则，
由③④可得：，
，
将代入④可得，
，
则；
（3）已知，
通过方法二计算得：
，
又，
．
【点睛】本题考查了二元一次方程的求解、代数式的求值、不等式的性质，解题的关键是理解材料中的方法二中的基本操作步骤．
48．（1）；（2）的取值范围是；（3）的取值范围是．
【分析】（1）仿照例子，根据不等式的基本性质即可求解；
（2）仿照例子，注意由0＜y＜1到-1＜-y＜0的转化，再由不等式同号可加性进行求解；
（3）仿照例子，注意确定不等式有解集时，a的取值范围，因此要先确定当a＜-2时，关于x、y的不等式存在解集．
【详解】（1），
．
，
，
．
故答案为．
（2），
．
又，
，
．
又，
，
．
同理得，
，
的取值范围是．
（3），
．
又，
，
．
又，
，
．
当时，．
同理得，
，
∴当时，的取值范围是．
【点睛】本题考查不等式的性质；能够根据例子，仿照例子结合不等式的基本性质解题，注意不等式的同号可加性，是隐含的限定条件．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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