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八年级数学下册同步精品讲义（北师大版）
专题4.2 因式分解（十字相乘法与分组分解法）
1.理解十字相乘法的原理，并能用十字相乘法分解因式（二次三项式）；
2.能熟练使用分组分解法分解因式（四项及以上）；
3.能灵活使用因式分解的四种方法，并能解决一些实际问题．
知识点01 因式分解的方法（三）十字相乘法
【知识点】
③十字相乘法：a2+（p+q）a+pq=（a+p）（a+q）
注意：对于二次三项式的因式分解中，当公式法不能匹配时，十字相乘就是我们的首选方法．
【知识拓展1】十字相乘法分解因式
（2022·成都市初二课时练习）
1．运用十字相乘法分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【即学即练】
（2020·四川内江·中考真题）
2．分解因式：
（2022·湖南岳阳·八年级期末）
3．阅读理解题
由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：．
示例：分解因式：．
分解因式：．
多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
(1)尝试：分解因式：；
(2)应用：请用上述方法将多项式：、进行因式分解．
【知识拓展2】先换元再十字相乘
（2022·广西象州·八年级期中）
4．下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程：
解：设，则（第一步）
原式（第二步）
（第三步）
把代入上式，得原式（第四步）
我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，请据此回答下列问题：
（1）该同学因式分解的结果 （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果： ；
（2）请你仿照上面的方法，对多项式进行因式分解．
【即学即练】
（2022·陕西金台·八年级期末）
5．阅读下列材料：
材料1：将一个形如x ＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x ＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A ＋2A＋1＝（A＋1） ，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）
上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；
①分解因式：（x﹣y） ﹣8（x﹣y）＋16；
②分解因式：m（m﹣2）（m ﹣2m﹣2）﹣3
知识点02 因式分解的方法（四）分组分解法
【知识点】
分组分解法：ac+ad+bc+cd=a（c+d）+b（c+d）=（a+b）（c+d）
一般地，分组分解分为三步：
1）将原式的项适当分组；
2）对每一组进行处理（因式分解）
3）将经过处理后的每一组当作一项，再进行分解．
注：分组方法往往不唯一，但殊途同归．有时，分组不当会导致因式分解无法继续进行，此刻切不可气馁，可再尝试新的分组方法，也许“惊喜”就在后面．
【知识拓展1】
（2022·诸暨市初二期中）
6．请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：
当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试一个多项式分组后，再运用提取公因式或乘法公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：
（1）
=
=
=
（2）
=
=
=
（1）根据上面的知识，我们可以将下列多项式进行因式分解：
(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)= (_____________)(_____________)；
=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)= (_____________)(______________)．
（2）分解下列因式：
①；
②．
【即学即练1】
（2022·福建泉州八年级期末）
7．因式分解：
(1) (2)
【知识拓展2】分组分解法解决实际问题
（2022·河南淮滨八年级期末）
8．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解方法叫作分组分解．
例如：．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）三边满足，判断的形状，并说明理由．
【即学即练2】
（2022·广东龙岗·初二期中）
9．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；
（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
知识点03 因式分解的步骤和实际应用
【知识点】
因式分解的一般步骤：
①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．
②在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及以上的可以尝试分组分解法分解因式
③分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．
【知识拓展1】灵活选用分解方法
（2022·江苏南通·八年级月考）
10．因式分解：
（1）3x(a-b)-2y(b-a)； （2)（a2+9）2﹣36a2； （3）(x+1)(x-5)+9．
【即学即练】
（2022·东平县八年级月考）
11．因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【知识拓展2】配方的应用
（2022·四川眉山市·八年级期末）
12．观察下列分解因式的过程：．
解：原式=
像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法．
（1）请你运用上述配方法分解因式：；
（2）代数式是否存在最小值？如果存在，请求出当a、b分别是多少时，此代数式存在最小值，最小值是多少？如果不存在，请说明理由．
【即学即练】
（2022·湖南天元·）
13． 教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求最值问题．例如：分解因式x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；
例如求代数式2x2+4x-6=2(x+1)2-8，当x= -1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2-4m-5=
（2）当a，b为何值时，多项式2a2+3b2-4a+12b+18有最小值，求出这个最小值．
（3）当a，b为何值时，多项式a2 - 4ab+5b2 - 4a+4b+27有最小值，并求出这个最小值．
【知识拓展3】
（2022·江苏沭阳·期中）
14．阅读理解以下文字：
我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式．通过因式分解，我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目的．这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题．
例如：方程就可以这样来解：
解：原方程可化为
所以或者．
解方程，得
所以解为，．
根据你的理解，结合所学知识，解决以下问题：
（1）解方程：；
（2）解方程：；
（3）已知的三边长为，，，请你判断代数式的值的符号．
【即学即练3】
（2022·上海市静安区初二课时练习）
15．已知，且，都是正整数，试求，的值．
题组A 基础过关练
（2022·全国初二课时练习）
16．若多项式可因式分解成，其中、、均为整数，则之值为何？（　　）
A． B． C． D．
（2022·陕西凤翔·初二期中）
17．计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
（2022·长春市八年级月考）
18．分解因式 ．
（2022·湖南茶陵·初二期末）
19．分解因式x2+3x+2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图）．这样，我们可以得到x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．请利用这种方法，分解因式2x2﹣3x﹣2＝ ．
（2023·四川渠县·八年级期末）
20．因式分解：．
（2023·利辛县第四中学）
21．分解因式：
（1）；
（2）．
（2022·重庆北碚·八年级开学考试）
22．因式分解：
（1）x2+5x﹣6．
（2）x3﹣4xy2．
（2022·江苏南通·八年级期中）
23．分解因式：
（1）； （2）
（2022·上海市静安区实验中学初二课时练习）
24．因式分解：
题组B 能力提升练
（2022浙江杭州市·八年级模拟）
25．对于算式，下列说法错误的是（ ）
A．能被2016整除 B．能被2017整除
C．能被2018整除 D．能被2019整除
（2022·浙江初二月考）
26．如图，设，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
（2022·河北安国·八年级期末）
27．因式分解：2xy+9﹣x2﹣y2＝ ．
利用因式分解计算：（﹣2）2022+（﹣2）2021﹣22020＝ ．
（2022·树德中学都江堰外国语实验学校期中）
28．如果，，那么 .
（2022·贵阳市白云区初二期末）
29．已知，，则代数式的值是 ．
（2022·浙江八年级月考）
30．分解因式
(1)
(2)
(3)
(4)
（2022·江西抚州·八年级期末）
31．阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式
例2：“三一分组”：
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
（1）分解因式：①；
②；
（2）已知的三边满足，试判断的形状．
（2022·石家庄市八年级期末）
32．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：
例1．
例2．
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：
例1．
请你仿照以上例题的方法，解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）分解因式：．
（2022·山东平阴·）
33．王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，
∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0．
即： （m＋n）2＋（n－3）2＝0，
∴m＋n＝0，n－3＝0，
∴m＝－3，n＝3．
为什么要对2n2进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
（1）若x2－4xy＋5y2 ＋2y＋1＝0，求xy的值；
（2）已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，且满足a2－10a＋b2－12b＋61＝0，求此三角形的周长．
（2022·重庆月考）
34．仔细阅读下列解题过程：
若，求的值．
解：
∴
∴
∴
∴
根据以上解题过程，试探究下列问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值；
(3)若，求的值．
题组C 培优拔尖练
（2022·江苏金坛·八年级期末）
35．因式分解： ．
（2022·江苏南京·初二期中）
36．如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是a、b，长方形纸片乙的长和宽分别为a和b（a＞b）．现有这三种纸片各6张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成的不同正方形的个数为 ．
（2022·北京市陈经纶中学分校）
37．阅读下面材料：
分解因式：．
因为，
设．
比较系数得，．解得．
所以．
解答下面问题：在有理数范围内，分解因式 ．
（2022·湖南雨花外国语学校）
38．阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．
（2023 乳山市期中）
39．【阅读材料】
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“”还原，原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.
【问题解决】
（1）因式分解：；
（2）因式分解：；
（3）证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
（2022·沙坪坝·重庆八中课时练习）
40．若正整数是4的倍数，那么规定正整数为“四季数”，例如：64是4的倍数，所以64是“四季数”．
（1）已知正整数是任意两个连续偶数的平方差，求证：是“四季数”；
（2）已知一个两位正整数（，其中，为自然数），将其个位上的数字与十位上的数字交换，得到新数，若与的差是“四季数”，请求出所有符合条件的两位正整数．
（2022·南阳市第三中学月考）
41．阅读材料：若，求m、n的值．
解：∵，
∴
∴ ，而，，
∴ 且，
∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则______； _________．
(2)已知的三边a，b，c满足，
关于此三角形的形状的以下命题：①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形．其中所有正确命题的序号为________________．
(3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且，求的周长．
（2022·浙江八年级期末）
42．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正五形，五块是长为，宽为的全等小长方形．且．（以上长度单位：）
（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________．
（2）若每块小长方块的面积为，四个正方形的面积和为．
①试求图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和；
②求的值．
（2022·江西宜春市·八年级期末）
43．小明、小花和老师一起探究一个问题：将因式分解．
小花根据大家的提示，整理出解答过程：
请你依照上述做法，将下列各式因式分解：
（1）；
（2）
（2022·湖南广益实验中学初二月考）
44．阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果：
例：分解因式：
解：如图1，其中，，而
所以
而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式
例：分解因式
解：如图3，其中，，
而，，
所以
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：① ．
② ．
（2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）直接运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可；
（2）ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1 a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1 c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）；
（3）同（2）；
（4）把()当作一个整体，运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可
【详解】（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式；熟练掌握十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．
2．
【分析】先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解．
【详解】
故答案为：．
【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．
3．(1)2，4；
(2)，
【分析】（1）将常数项分解为两数之积，且这两数之和等于一次项系数即可分解；
（2）将常数项分解为两数之积，且这两数之和等于一次项系数即可分解；
【详解】（1）．
故答案为：2，4；
（2）；
．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，明确多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和是解答本题的关键．
4．（1）不彻底，；（2）
【分析】（1）根据因式分解的步骤进行解答即可；
（2）设，再根据不同的方法把原式进行分解即可．
【详解】解：（1）该同学因式分解的结果不彻底，
原式
=；
（2）设，
则
=
=
=
=
=
【点睛】本题考查的是因式分解，在解答此类题目时要注意完全平方公式和十字相乘法的应用．
5．（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2
【分析】（1）将x2+2x-24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；
（2）①令x-y=A，原式可变为A2-8A+16，再利用完全平方公式即可；
②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．
【详解】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；
（2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16，
A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，
所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；
②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3，
即B2-2B-3=（B-3）（B+1）
=（m2-2m-3）（m2-2m+1）
=（m-3）（m+1）（m-1）2，
所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．
【点睛】本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
6．（1）；；；；；；；；；；；；（2）①；②
【分析】（1）利用分组分解法结合提公因式法和平方差公式因式分解即可；
（2）①利用分组分解法结合提公因式法因式分解即可；
②利用分组分解法结合公式法因式分解即可；
【详解】解：（1）()-()=-= ()()；
=()+()= +()=
故答案为：；；；；；；；；；；；；
（2）①
=
=
②
=
=
=
【点睛】此题考查的是因式分解，掌握利用分组分解法结合提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键．
7．（1）；（2）
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式；
（2）先分组，将多项式的后三项分为一组，再利用完全平方公式以及平方差公式分解因式．
【详解】解：（1）；
（2）．
【点睛】本题考查的知识点是因式分解，掌握因式分解常用方法是解此题的关键，主要有提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等等．
8．（1）；（2）为等腰三角形．理由见解析
【分析】（1）根据题意分组分解，再用提公因式法因式分解；
（2）将等式的左边分组分解，再用提公因式法因式分解，再根据三角形三边关系即可求得进而判断三角形的形状．
【详解】解：（1）
．
（2）为等腰三角形．理由如下：
∵，
∴，
∴．
∵，，为三边，
∴，
∴，
即，
∴为等腰三角形．
【点睛】本题考查了分组分解法，提公因式法因式分解，三角形三边关系，掌握提公因式法因式分解是解题的关键．
9．（1）（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）；（2）△ABC的形状是等边三角形．
【分析】（1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解．
（2）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用非负数的性质求出a、b、c的关系即可．
【详解】（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn
=（9a2+12ab+4b2）﹣（25m2﹣10mn+n2）
=（3a+2b）2﹣（5m﹣n）2
=（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）
（2）由2a2+b2+c2﹣2a（b+c）=0可得：2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac=0
∴（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）=0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2=0
根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，
于是：a﹣b=0，a﹣c=0，
所以,a=b=c．
即：△ABC的形状是等边三角形．
【点睛】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点．
10．（1）（a-b）（3x+2y）；（2）（a+3）2（a-3）2；（3）（x-2）2
【分析】(1)先将式子后面的b-a变为a-b，然后提取公因式求解；
(2)运用平方差公式和完全平方公式求解；
(3)先去括号，再用完全平方公式求解．
【详解】(1) 3x(a-b)-2y(b-a)
=3x(a-b)+2y(a-b)
=(a-b)( 3x＋2y)；
(2)（a2+9）2﹣36a2
=（a2+9）2﹣(6a)2
=（a2+6a+9)( a2-6a+9)
=（a+3）2（a-3）2；
(3) (x+1)(x-5)+9
=
=
=．
【点睛】本题考查了因式分解，需要运用提取公因式和公式法进行求解，熟练掌握因式分解的求解方法是解决本题的关键．
11．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【分析】（1）直接提公因式分解，可得答案；
（2）直接提公因式分解，可得答案；
（3）根据平方差公式分解，可得答案；
（4）根据十字相乘法分解可得答案；
（5）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，可得答案；
（6）根据整式的乘法、合并同类项整理，再利用完全平方公式分解，可得答案；
（7）先提公因式，再根据平方差公式继续分解，可得答案；
（8）先提公因式，再根据十字相乘法分解可得答案；
（9）先利用平方差公式分解，再提公因式，可得答案；
（10）根据整式的乘法、合并同类项整理，再根据完全平方公式分解，可得答案．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
；
（9）
；
（10）
．
【点睛】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底，掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．（1）（a-b）（a+5b）；（2）存在最小值，当a=-1，b=3时，最小值为2．
【分析】(1)理解题意，按题意所给方法分解因式即可；
(2)根据题中所给方法，对原式进行变形求解即可．
【详解】解：(1) ，
，
，
，
；
（2）代数式，
=a2+2a+1+b2-6b+9-1-9+12，
=，
，
∴当，b-3=0即，b=3时原式有最小值，最小值是2．
【点睛】本题主要考查了配方法分解因式，掌握因式分解的方法，正确理解问题情境是解题关键．
13．（1）；（2）当，时，最小值为4；（3）当，时，最小值为19．
【分析】（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可；
（2）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答；
（3）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答．
【详解】解：（1）．
故答案为；
（2）
，
∴当，时，有最小值，最小值为4；
（3）
，
当，时，多项式有最小值19．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式、以及非负数的性质，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
14．（1）x1=0或x2=5；（2）x1 =-1，x2=3；（3）见解析
【分析】（1）提取公因式分解因式，可得两个一元一次方程，可得方程的解；
（2）公式法分解因式，可得两个一元一次方程，可得方程的解；
（3）将代数式变形后得：（y+4-x）（y+4+x），根据三角形的三边关系得：x+y-4＞0，x-y+4＞0，y+4+x＞0，则y2-8y+16-x2＞0
【详解】解：（1），
∴，
∴x=0或x-5=0，
∴x1=0或x2=5；
（2）（x+3）2-4x2=0，
∴（x+3+2x）（x+3-2x）=0，
∴（3x+3）（-x+3）=0，
∴3x+3=0或-x+3=0，
解方程得：x1 =-1，x2=3；
（3）∵△ABC的三边长为4，x，y，
∴x+y＞4，x+4＞y，
∴x+y-4＞0，x-y+4＞0，y+4+x＞0，
∵y2-8y+16-x2=（y-4-x）（y-4+x）＜0，
即代数式y2-8y+16-x2的值的符号为负号．
【点睛】本题考查了平方差公式分解因式、三角形的三边关系，运用平方差公式是解题的难点，准确判断三边关系来求解．
15．x=3，y=2．
【分析】运用十字相乘法对等式的左边进行因式分解，再根据，的值均是正整数进行讨论即可得出答案．
【详解】∵，且，都是正整数
∴是正整数，是整数，
又∵，7是正整数，
∴，均是正整数，
又∵7=7×1，
∴或，
解得，
解得（不符合题意，舍去）
所以x=3，y=2．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握十字相乘法分解因式并确定出关于x、y的方程组是解题的关键．
16．A
【分析】首先利用十字交乘法将因式分解，继而求得，的值．
【详解】解：利用十字交乘法将因式分解，
可得：．
，，
．
故选A．
【点睛】本题考查十字相乘法分解因式的知识．注意型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数分解成两个因数，的积，把常数项分解成两个因数，的积，并使正好是一次项，那么可以直接写成结果：．
17．D
【分析】运用十字相乘的方法来分解即可．
【详解】解：=（x-6）（x+1）．
故选D．
【点睛】本题考查了运用十字相乘的方法来分解因式，熟练掌握该方法是解决本题的关键．
18．
【分析】把-4写成-4×1，又-4+1=-3，所以利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】∵-4=-4×1，又-4+1=-3
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
19．（2x+1）（x﹣2）
【分析】根据题中的方法将原式分解即可．
【详解】解：原式＝（2x+1）（x﹣2），
故答案为（2x+1）（x﹣2）
【点睛】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．（x-y+5）（x-y-5）
【分析】根据分组分解法的法则原则将x2-2xy+y2为一组，-25为一组，再利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式=（x2-2xy+y2）-25
=（x-y）2-52
=（x-y+5）（x-y-5）．
【点睛】本题考查分组分解法分解因式，掌握分组分解法的分组原则，即因式分解在组内能进行，在组与组之间也能进行，是正确解答的关键．
21．（1）；（2）．
【分析】（1）先提取公因式xy,然后再运用公式法分解即可；
（2）采用分组法、再运用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：（1）
=）
=；
（2）
=
=．
【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握分组法、提取公因式法和公式法是解答本题的关键．
22．（1）（x-1）（x+6）；（2）x（x-2y）（x+2y）
【分析】（1）利用十字相乘法分解即可；
（2）先提公因式x，再利用平方差公式即可分解；
【详解】解：（1）原式=（x-1）（x+6）；
（2）原式=x（x2-4y2）=x（x-2y）（x+2y）．
【点睛】此题考查了十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解时要分解到每一个因式再也不能分解为止．
23．（1）；（2）
【分析】（1）先进行多项式乘法去括号，再合并同类项，最后因式分解即可；（2）先提取公因数，再利用完全平方公式分解因式．
【详解】解：原式，
，
；
（2）解：原式，
；
【点睛】本题主要考查因式分解的方法：十字相乘法、提取公因式法、公式法，以及整式乘法运算．掌握因式分解的基本方法是解答本题的关键．
24．
【分析】将（x-y）当做一个整体，发现-50=-5×10，-5+10=5，因此利用十字相乘法进行分解即可．
【详解】
=．
【点睛】本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，对二次三项式进行因式分解时，若无法使用公式法和提取公因式法因式分解，则考虑使用十字相乘法分解．本题中注意整体思想的运用．
25．A
【分析】根据因式分解的方法对原式进行变形后可以得解．
【详解】解：∵
=
=，
∴B、C、D正确，A错误，
故选A．
【点睛】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的各种方法并灵活运用是解题关键．
26．C
【分析】先用a、b的代数式表示出甲图和乙图的面积，然后利用分式的约分可得k的值，由即可确定k的取值范围，进而可得答案．
【详解】解：甲图中阴影部分的面积=，乙图中阴影部分的面积=，
∴，
∵，∴，
∴，
观察4个选项，k的值可以为．
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解、分式的约分化简以及用代数式表示图形的面积，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述相关知识是解题的关键．
27． ; 22020．
【分析】先分组利用完全平方公式，再利用平方差公式因式分解．先提公因式22020得22020（22-2-1）计算括号内的即可．
【详解】解： 2xy+9﹣x2﹣y2=，
，
，
，
故答案为；
（﹣2）2022+（﹣2）2021﹣22020，
＝22022-22021-22020，
=22020（22-2-1），
=22020．
故答案为22020．
【点睛】本题考查分组法因式分解，以及因式分解应用计算，掌握分组法因式分解方法，会利用因式分解应用计算是解题关键．
28．-900
【分析】先对原式运用平方差公式进行因式分解，然后再整体代入求值即可.
【详解】原式=
∵，
∴原式=
【点睛】本题主要考查了应用平方差公式进行因式分解和整体代入法，能够正确的进行因式分解是解题的关键.
29．-3
【分析】先根据，，求出a-c=-1，再将多项式分解因式代入求值即可.
【详解】∵，，
∴a-c=-1，
∴
=
=
=
=-3，
故答案为：-3.
【点睛】此题考查多项式的化简求值，掌握多项式的因式分解的方法：分组分解法和提公因式法是解题的关键.
30．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）直接提公因式即可；
（2）先提公因式，然后根据平方差公式多次进行因式分解即可；
（3）先分组，利用完全平方公式分解，然后利用平方差公式分解即可；
（4）先提公因式，然后再利用平方差公式分解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
；
【点睛】本题考查了因式分解．正确进行因式分解是解题的关键．
31．（1）①；②；（2）是等腰三角形．
【分析】（1）①将原式进行分组，然后再利用提取公因式法进行因式分解；
②将原式进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（2）将原式进行分组，然后利用平方差公式和提公因式法进行因式分解，然后结合三角形三边关系和多项式乘法的计算法则分析判断．
【详解】解：（1）①
；
②
；
（2），
，
，
，
，，是的三边，
，
，
，
，
即是等腰三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握提取公因式的技巧和完全平方公式：，平方差公式是解题关键．
32．（1）（x-n）（x+n+1）；（2）（a+1）（a+3）
【分析】（1）将前两项利用平方差公式分解因式，进而利用提取公因式法分解因式得出答案；
（2）直接利用拆项法分解因式得出答案．
【详解】解：（1）原式=（x+n）（x-n）+（x-n）
=（x-n）（x+n+1）；
（2）原式=a2+4a+4-1
=a2-1+4a+4
=（a+1）（a-1）+4（a+1）
=（a+1）（a-1+4）
=（a+1）（a+3）
【点睛】此题主要考查了拆项法以及分组分解法分解因式，读懂材料并理解所给做法是解题的关键．
33．（1）-；（2）△ABC的周长为16或17.
【分析】（1）先利用分组法分解因式，再求出x，y的值即可；
（2）先利用分组法分解因式，求得ab的值，再根据等腰三角形确定边长，最后求出周长即可．
【详解】（1）∵x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0，
∴x2－4xy＋4y2 ＋y2＋2y＋1＝0．
即：（x-2y）2＋（y+1）2＝0，
∴x-2y＝0，y+1＝0，
∴x＝－2，y＝-1，
∴xy=(-2)-1=-；
（2）∵a2－10a＋b2－12b＋61＝0，
∴a2－10a＋25＋b2－12b＋36＝0，
即：（a-5）2＋（b-6）2＝0，
∴a-5＝0，b-6＝0，
∴a＝5，b＝6，
∵a、b、c是等腰△ABC的三边长，
∴当a=c=5时，△ABC的周长为5+5+6=16，
当b=c=6时，△ABC的周长为5+6+6=17，
故△ABC的周长为16或17．
【点睛】本题考查了分组法分解因式以及等腰三角形的周长，注意拆项是分组法分解因式的关键．
34．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）首先把第3项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得x和y，代入求得数值；
（2）首先把第2项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得a和b；
（3）先把代入，得到关于n和t的式子，再仿照（1）（2）题求解．
【详解】（1）解： ，
，
，
，，
，，
，
；
（2）解：，
，
，
，，
，，
，；
（3）解：，
，
，
，
，，
，，
，
．
【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、非负数的性质、零指数幂等，对于项数较多的多项式因式分解，掌握分组分解法是解题的关键．
35．
【分析】先分组，然后根据公式法因式分解．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分组分解法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．
36．3
【分析】根据正方形的面积结合因式分解进行拼图即可解决问题．
【详解】解：如图所示：
共有3种不同的正方形．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，关键是根据题意得出甲、乙、丙的面积，然后结合正方形的面积进行拼图即可．
37．
【分析】先用十字相乘法分解因式得到，再设，比较系数得到，解方程组即可求解．
【详解】解：∵，
设 ，
比较系数得，，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查分组分解法分解因式，十字相乘法分解因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
38．（1）（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；（2）
【分析】（1）将﹣7x拆分为﹣x﹣6x，分组后分别提公因式，可得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．
【详解】（1）x3﹣7x+6
＝x3﹣x﹣6x+6
＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）
＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1）
＝（x﹣1）（x2+x﹣6）
＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；
（2）x4﹣5x2+6
＝（x2﹣2）（x2﹣3）
＝（x+）（x﹣）（x+）（x﹣）．
【点睛】本题主要考查学生因式分解的知识及学以致用的能力，掌握因式分解结合题意并灵活运用是解题的关键．
39．（1）．（2）；（3）见解析.
【分析】（1）把（x-y）看作一个整体，直接利用十字相乘法因式分解即可；
（2）把a+b看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解；
（3）将原式转化为，进一步整理为（n2+3n+1）2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．
【详解】（1）；
（2）；
（3）原式
．
∵为正整数，
∴为正整数．
∴代数的值一定是某个整数的平方．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
40．（1）见解析；（2）所有符合条件的两位正整数k有：15，26，37，48，59，19
【分析】（1）设任意两个连续偶数为2n和2n+2（n≥0，且为整数），根据P是任意两个连续偶数的平方差得出p的值，利用因式分解变形即可得出答案；
（2）由题意得：m=10y+x，则m-k=10y+x-(10x+y)=4n（n≥0，且n为整数），用含n的式子表示出y-x，再根据x，y的范围及“四季数”的定义可得答案．
【详解】解：（1）证明：设任意两个连续偶数为2n和2n+2（n≥0，且为整数）
则p=(2n+2)2-(2n)2
=[(2n+2)+2n][(2n+2)-2n]
=(4n+2)×2
=4(2n+1)，
∵n≥0，且为整数，
∴2n+1必为正整数，
∴4(2n+1)一定是4的倍数，
∴P是“四季数”；
（2）由题意得：m=10y+x，
则m-k=10y+x-(10x+y)=4n(n≥0，且n为整数)，
∴9(y-x)=4n，
y-x=，
∵1≤x＜y≤9，其中x，y为自然数，
∴1≤y-x≤8，
当n=9时，y-x=4，
∴，，，，；
当n=18时，y-x=8，
∴．
∴所有符合条件的两位正整数k有：15，26，37，48，59，19．
【点睛】本题考查了因式分解在新定义习题中的证明及其计算，读懂定义，是解题的关键．
41．(1)2；0
(2)①②③④
(3)7
【分析】（1）已知等式利用完全平方公式化简后，再利用非负数的性质求出a与b的值即可；
（2）已知等式变形并利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出，进行判断即可；
（3）已知等式变形并利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出a，b的值，进而确定出三角形周长．
【详解】（1）解：将等式整理得：
∴，，
解得：，；
故答案为2；0．
（2）解：∵，
，
，
，，
，
①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形，都正确；
故答案为：①②③④；
（3）解：∵
∴
∴
则，，解得：，，
三角形的三边为正整数，且由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
则的周长为．
【点睛】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断，关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．
42．（1）（2m+n）（m+2n）；（2）①66cm；②41
【分析】（1）根据图中的面积关系，两个大正方形、两个小正方形和5个长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此可解；
（2）①根据题意可得mn，2m2+2n2，从而可得从而m2+n2，进而可求得m+n，结合图形可得答案．
②根据m2+n2以及mn的值，结合完全平方公式计算即可．
【详解】解：（1）观察图形，发现代数式：
2m2+5mn+2n2表示大长方形的面积，
则2m2+5mn+2n2=（2m+n）（m+2n）；
故答案为：（2m+n）（m+2n）；
（2）①若每块小矩形的面积为20cm2，四个正方形的面积和为162cm2，
则mn=20cm2，2m2+2n2=162cm2，
∴m2+n2=81，
∴（m+n）2=81+20×2=121，
∴m+n=11，
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6m+6n=6（m+n）=66（cm）；
②（m-n）2= m2+n2-2mn=81-2×20=41．
【点睛】本题考查了因式分解在几何图形问题中的应用，数形结合，并熟练掌握相关计算法则，是解题的关键．
43．（1）；（2）
【分析】（1）（2）根据题干所给方法进行添项，构成乘法公式进行因式分解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）原式
．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用乘法公式进行因式分解是解题的关键．
44．（1）；；（2）61或-82．
【分析】（1）结合题意画出图形，即可得出结论；
（2）用十字相乘法把能分解的几种情况全部列出求出m的值即可．
【详解】解：（1）①如下图，其中，
所以，；
②如下图，其中，
而，
所以，；
（2）如下图，其中，
而
或，
∴若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，的值为61或-82．
【点睛】本题考查的知识点是因式分解-十字相乘法，读懂题意，掌握十字相乘法分解因式的步骤是解此题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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