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第十六章
二次根式
16.1　二次根式
第1课时　二次根式的概念
●归纳导入　如图是天安门广场前的大型音乐喷泉的图片，非常美丽壮观．仔细观察图片可以发现：水域部分是正方形，外围是圆．
(1)若该正方形的面积为30 m2，则该正方形的边长是___m__；
(2)若该正方形的面积为S m2，则该正方形的边长是___m__；
(3)若该圆的面积为S m2，则用含S的式子表示圆的半径是___m__．
观察式子，，有什么共同特点？
【归纳】这些式子都含有“”(根号)，都表示__正数__的__算术__平方根．
【教学与建议】教学：从学生熟悉的情景入手，引导学生理解所给的式子的实际意义，归纳出二次根式的概念．建议：让学生相互讨论，培养学生合作交流的学习习惯．
●复习导入　
1．填空：
(1)9的平方根是__±3__；0的平方根是__0__；－4__没有__平方根；
(2)6的平方根是__±__；6的算术平方根是____．
2．想一想：
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1)面积为5的正方形的边长为____；
(2)一个长方形的围栏，长是宽的3倍，面积为150 m2，则它的宽为____m；
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为____.
学生思考后回答，教师补充得出答案．
【教学与建议】教学：以回顾旧知的形式引导学生，巩固所学知识，并导入新课．建议：及时回顾算术平方根的概念，再由算术平方根迁移到二次根式．
◎命题角度1　识别二次根式
判定一个式子为二次根式，需满足两个条件：第一，形式上为“”的形式；第二，被开方数必须是非负数．
【例1】下列式子不是二次根式的是(B)
A． B． C． D．
【例2】在式子，，，，(y>0)，(x<0)，和a2－1中，是二次根式的有(B)
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
◎命题角度2　确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
根据二次根式有意义的条件要从两个方面来思考，一是求字母所在的式子有意义时字母必须满足的条件，二是求字母所在的实际问题有意义时字母必须满足的条件．
【例3】式子有意义时，x应满足的条件为(B)
A．x≠2 023 B．x≥2 023 C．x<2 023 D．x≤2 023
【例4】要使二次根式有意义，则x的最大值是____．
◎命题角度3　利用二次根式有意义的条件求值
若两个二次根式的被开方数互为相反数，则只有它们同时为0时，这两个式子才能都有意义．
【例5】若＋＋1在实数范围内有意义，则x满足的条件是(C)
A．x≥ B．x≤ C．x＝ D．x≠
【例6】若y＝－2，则(x＋y)y＝____．
◎命题角度4　二次根式非负性的应用
二次根式具有双重非负性：①被开方数a≥0；②它的值≥0.此外，常见的非负数还有|a|，a2(或a的偶次幂)．
【例7】若|1 001－a|＋＝a，则a－1 0012＝__1_002__．
【例8】若a，b满足实数a2－6a＋2＝－9，则的值为__3__．
高效课堂　教学设计
1．理解二次根式的概念，弄清被开方数是非负数这一要求．
2．理解二次根式的非负性，会求使二次根式有意义的条件．
3．能初步运用二次根式的概念和基本性质解决简单实际问题．
▲重点
二次根式的概念．
▲难点
利用“(a≥0)”解决具体问题．
◆活动1　新课导入
1．回顾平方根和算术平方根的概念．
2．若x2＝9，则x＝__±3__；若y2＝3，则y＝__±__．
3．若正方形的面积为S，则正方形的边长为____．
◆活动2　探究新知
1．教材P2　第1个思考．
提出问题：
(1)你能完成思考中的填空吗？
(2)所填的式子分别表示什么意义？
(3)这些式子有什么特点？
(4)什么叫二次根式？成立的条件是什么？
学生完成并交流展示．
2．教材P2　第2个思考．
提出问题：
(1)x2≥0成立吗？为什么？
(2)式子一定成立吗？
(3)举例说明x3≥0是否一定成立？
(4)若有意义，则x的取值范围是什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．一般地，我们把形如__(a≥0)__的式子叫做二次根式，“”称为__二次根号__．
2．(a≥0)既是一个二次根式，又表示非负数a的__算术平方根__，所以具有“双重非负性”，即：a__≥0__，__≥0__．
3．判断一个式子是否为二次根式，应该从两个方面进行考虑：①是否带有“”；②被开方数是否为非负数．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P2　例1.
例2　下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
(1)；(2)；(3)(x≤3)；(4)(x>0)；(5).
解：(1)(3)(5)是二次根式，(2)(4)不是二次根式．
例3　求使下列式子有意义的x的取值范围．
(1)；(2)；(3).
解：(1)由题意，得4－3x>0，解得x<.∴当x<时，有意义；
(2)由题意，得解得x≤3且x≠2.∴当x≤3且x≠2时，有意义；
(3)由题意，得解得x≥－5且x≠0.∴当x≥－5且x≠0时，有意义.
例4　先观察下列等式，再回答问题．
＝2，＝3，＝4，…
(1)类比上述式子，再写出几个同类型的式子；
(2)你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律．
解：(1)＝5，＝6；(2)＝n.
练习
1．教材P3　练习第1，2题．
2．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是二次根式的有(　B　)
　 　　A．1个　　　　　B．3个　　　　　C．4个　　　　　D．5个
3．要使式子＋有意义，则x应该满足__x≥2且x≠3__．
4．△ABC的三边长为a，b，c，其中a和b满足b2－4b＋4＋＝0，求c的取值范围．
解：依题意，得(b－2)2＋＝0，∴b＝2，a＝5.
又∵a，b，c为三角形的三边长，∴3◆活动5　课堂小结
1．二次根式的概念．
2．二次根式的非负性及运用．
1．作业布置
(1)教材P5　习题16.1第1，3，5，7题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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