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第十七章
勾股定理
17．1　勾股定理
第1课时　勾股定理
教师备课　素材示例
●置疑导入　詹姆斯·加菲尔德是美国第20任总统，1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了对勾股定理的证法，人们为了纪念他就把这一证法称为“总统证法”．
问题：你了解勾股定理吗？你想探索一下詹姆斯·加菲尔德是怎样利用图形验证勾股定理的吗？
分析：S梯形＝____＝__S△ABC__＋__S△BDE__＋__S△ABE__，用字母公式表示为：____＝____＋____＋____，即__a2＋b2__＝__c2__.
【教学与建议】教学：巧妙引用“总统证法”引出如何验证勾股定理这一问题，激起学生的好奇心，点燃学生的求知欲．建议：分析例题，激发学生的学习积极性，激发探究欲望．
●悬念激趣　相传2 500多年前，古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，毕达哥拉斯看着朋友家的地砖发呆．原来，他发现了地砖上的直角三角形三边的某种数学关系．那么他发现了什么呢？今天我们就来研究这个问题．
【教学与建议】教学：从毕达哥拉斯在朋友家作客的偶然发现这一故事入手，引出本节课的课题——勾股定理，激发了学生的学习兴趣．建议：教师给出历史小故事，设置悬念，引发学生思考．
◎命题角度1　利用勾股定理求图形面积
勾股图形中同一层上所有的小正方形的面积之和相等，都等于下层的最大正方形的面积．
【例1】如图，字母B所代表的正方形的面积是(C)
A．12 B．13 C．144 D．194
　　　
【例2】如图是由四个直角边分别为3和4的全等直角三角形拼成的“赵爽弦图”，那么阴影部分面积为__1__．
◎命题角度2　勾股定理的验证
勾股定理的验证主要是通过拼图法完成的，这种方法是以数形转换为指导，图形拼补为手段，以各部分面积和等于整体面积的思想为依据而达到目的．
【例3】我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么(a－b)2的值是__1__．
【例4】4个全等的直角三角形的直角边分别为a，b，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．
解：图形的总面积可以表示为c2＋2×ab＝c2＋ab，也可以表示为a2＋b2＋2×ab＝a2＋b2＋ab，
∴c2＋ab＝a2＋b2＋ab，∴a2＋b2＝c2.
◎命题角度3　利用勾股定理求边长
利用勾股定理求直角三角形的边长可分三步：(1)分：分清哪条边是斜边，哪些边是直角边；(2)代：代入a2＋b2＝c2；(3)化简．
【例5】已知直角三角形中30°角所对的直角边的长是2 cm，则另一条直角边的长是(C)
A．4 cm B．4 cm C．6 cm D．6 cm
【例6】直角三角形的两条边长分别为5和12，则第三条边长为__13或__．
【例7】在△ABC中，AB＝10，AC＝2.若BC边上的高AD等于6，则BC边的长为__6或10__．
高效课堂　教学设计
1．了解勾股定理的发现过程．
2．掌握勾股定理的内容．
3．体验勾股定理的探索过程．
▲重点
探索和验证勾股定理．
▲难点
在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理．
◆活动1　新课导入
1．回顾直角三角形的相关概念．
2．在直角三角形中，__30°角__所对的直角边等于斜边的一半．
3．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”．这就是本届大会会徽的图案(教师出示图片或照片)．
提出问题：
(1)你见过这个图案吗？
(2)你听说过“勾股定理”吗？
本节课我们来学习勾股定理的有关知识．
◆活动2　探究新知
1．教材P22　内容．
提出问题：
(1)观察图17.1 1，你能从中发现什么数量关系？
(2)图17.1 2中，三个正方形的面积有什么关系？
(3)什么样的三角形是等腰直角三角形？等腰直角三角形的三边之间有什么关系？
学生完成并交流展示．
2．教材P23　探究及命题1.
提出问题：
(1)等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，其他的直角三角形也具有这个性质吗？
(2)你能计算图17.1 3中各个正方形的面积吗？
(3)探究SA＋SB与SC，SA′＋SB′与SC′的关系，看看能得出什么结论？
(4)你能用不同的方式证明命题1吗？由此你能得出什么定理？
学生完成并交流展示．
3．教材P23～24　图17.1 5及其下面内容．
提出问题：
(1)请认识赵爽弦图；
(2)你能看懂赵爽证明勾股定理的思路和过程吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的__平方和__．
2．如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么__a2＋b2＝c2__．直角三角形的这种关系称为勾股定理．
◆活动4　例题与练习
例1　在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
(1)若a＝，c＝4，求b；
(2)若c＝8，∠A＝30°，求b；
(3)若a∶b＝3∶4，c＝15，求S△ABC.
解：(1)b＝3；(2)b＝4；(3)S△ABC＝54.
例2　如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC的长．
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，AD＝＝＝，
∴在Rt△ADC中，AC＝＝＝.
例3　如图，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长．
解：由折叠的性质，得△ACD≌△ACD′，
∴∠D′＝∠D＝90°，CD′＝CD＝AB＝3.
∵∠AEB＝∠CED′，∠B＝∠D′＝90°，
∴△ABE≌△CD′E(AAS)，∴AE＝CE.
设BE＝x，则AE＝CE＝4－x.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2＝AB2＋BE2，
即(4－x)2＝32＋x2，解得x＝，∴BE＝.
练习
1．教材P24　练习第1，2题．
2．
如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(　C　)
　A．48 B．60
C．76 D．80
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a＋b＝2，c＝3，求△ABC的面积．
解：∵a＋b＝2，∴a2＋b2＋2ab＝12.
由题知，a2＋b2＝c2＝9，∴ab＝，∴S△ABC＝ab＝.
◆活动5　课堂小结
1．勾股定理的概念和证明方法．
2．利用勾股定理解决问题．
1．作业布置
(1)教材P28　习题17.1第1，2，3，7题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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