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17.2　勾股定理的逆定理
教师备课　素材示例
●类比导入　问题1：你能说出勾股定理吗？指出定理的题设和结论．
题设：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，结论：a2＋b2＝c2.
问题2：你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗？
师生共同得出新的命题，教师指出其为勾股定理的逆命题．
追问：能否把勾股定理的逆命题作为判定直角三角形的依据呢？本节课我们一起来研究这个问题．
【教学与建议】教学：通过复习勾股定理，交换题设和结论，自然合理地引出勾股定理的逆定理．建议：教学时，应该多让学生交流讨论前面学习逆定理的经验．
●悬念激趣　同学们，你们是如何画直角的？想知道古埃及人是如何画直角的吗？
古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形．你认为这个三角形是直角三角形吗？
操作：以小组为单位动手操作，观察，做出合理的推断．
【教学与建议】教学：介绍前人经验，启发思考，动手操作，锻炼了学生动手实践、观察探究的能力．建议：小组为单位动手操作，讨论交流判断结果．
◎命题角度1　利用勾股定理的逆定理判定直角三角形
用勾股定理的逆定理判定直角三角形，只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方即可．
【例1】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(A)
A．7，24，25 B．1，2，3 C．5，6，7 D．4，8，13
【例2】已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(B)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
◎命题角度2　利用勾股定理及其逆定理解决实际问题
建立数学模型，灵活运用勾股定理的逆定理构造直角三角形，然后在直角三角形中运用勾股定理或逆定理求出要求的线段长．
【例3】如图，AD＝8，CD＝6，∠ADC＝90°，AB＝26，BC＝24，求该图形的面积．
解：连接AC.在Rt△ACD中，AD＝8，CD＝6，∴AC＝＝10.在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝262＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∴图形面积为S△ABC－S△ACD＝×10×24－×6×8＝96.
◎命题角度3　判断勾股数
勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．必须满足两个条件：①满足a2＋b2＝c2；②都是正整数，两者缺一不可．
【例4】有下列4组数：①7，24，25；②8，15，19；③0.6，0.8，1.0；④3n，4n，5n(n>1且n为自然数)．其中，勾股数有__①④__．
【例5】将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数：__5，12，13；7，24，25(答案不唯一)__．
◎命题角度4　勾股定理逆定理与配方法、因式分解法的综合问题
某些等式可以通过配方法或者因式分解法变形得出a，b，c的值，然后再根据勾股定理的逆定理判断以a，b，c为边长的三角形的形状．
【例6】如果三角形的三边a，b，c满足(a＋2b－60)2＋|b－18|＋＝0，则此三角形的形状是__直角三角形__．
【例7】已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，试判断△ABC的形状．
解：∵a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，
∴a2－6a＋b2－8b＋c2－10c＋50＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0，
∴a－3＝0，b－4＝0，c－5＝0，解得a＝3，b＝4，c＝5.
∵a2＋b2＝32＋42＝52＝c2，∴△ABC是直角三角形．
◎命题角度5　勾股定理逆定理的综合应用
解决此类问题一般将条件集中在一个直角三角形中，构造全等．利用勾股定理的逆定理使问题得到解决．
【例8】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是__PA2＋PB2＝2PC2__．
【例9】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6.
(1)求证：BA⊥AD；
(2)求BC的长．
解：(1)延长AD到点E，使DE＝AD.连接CE.
∵点D是BC的中点，∴BD＝CD.
在△ABD和△ECD中，BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴CE＝AB＝5，∠BAE＝∠E，AE＝2AD＝2×6＝12.
又∵AC＝13，∴AE2＋CE2＝122＋52＝169＝132＝AC2，
∴△AEC是直角三角形，∠E＝90°＝∠BAE，∴BA⊥AD；
(2)在Rt△ECD中，CD2＝DE2＋CE2＝62＋52＝61，
∴CD＝，∴BC＝2CD＝2.
高效课堂　教学设计
1．理解勾股定理的逆定理的证明方法，并会证明．
2．会用勾股定理判别已知三角形是否为直角三角形．
3．了解原命题、逆命题、逆定理等概念及其关系．
▲重点
勾股定理的逆定理、互逆命题、互逆定理．
▲难点
勾股定理的逆定理的证明．
◆活动1　新课导入
1．回顾勾股定理和命题的概念．
2．如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，求CE的长．
3．以3，4，5为三边的三角形的形状是怎样的？
今天我们来学习勾股定理的逆定理．
◆活动2　探究新知
教材P31～32　内容．
提出问题：
(1)如果一个三角形的三条边长分别是3 cm，4 cm，5 cm，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？
(2)类似地，如果三角形的三边长分别为2.5 cm，6 cm，6.5 cm，有下面的关系：2.52＋62＝6.52，这个三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试．由此你能得出什么结论？
(3)什么叫做互逆命题、原命题和逆命题？它们之间有什么联系？
(4)命题1、命题2的题设和结论分别是什么？
(5)你能证明命题2正确吗？如何证明？
(6)若一个命题成立，则它的逆命题也成立吗？
(7)什么叫做勾股数？一组勾股数同时放大相同的倍数后还是勾股数吗？
学生完成并交流展示.
◆活动3　知识归纳
1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足__a2＋b2＝c2__，那么这个三角形是直角三角形．
2．满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为__勾股数__．勾股数扩大相同倍数后，仍为__勾股数__．
3．如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做__互逆命题__．如果把其中一个命题叫做__原命题__，那么另一个命题叫做__逆命题__．
4．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为__逆定理__．
◆活动4　例题与练习
例1　满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是(　D　)
A．b2－c2＝a2 B．a∶b∶c＝3∶4∶5
C．∠C＝∠A－∠B D．∠A∶∠B∶∠C＝9∶12∶15
例2　教材P32　例1.
例3　教材P33　例2.
例4　如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海．上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇以13 n mile/h的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13 n mile，A，B两艇的距离是5 n mile，反走私艇B测得距离走私艇C12 n mile，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？
解：设MN与AC相交于点E，则∠BEC＝90°.∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.∵MN⊥CE，E为MN与AC的交点，∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE.由S△ABC＝AB·BC＝AC·BE，得BE＝＝＝(n mile).由CE2＋BE2＝BC2，得CE＝＝＝(n mile)，∴÷13＝≈0.85(h)≈51(min)，∴9时50分＋51分＝10时41分．答：走私艇C最早会在10时41分进入我国领海．
练习
1．教材P33　练习第1，2，3题．
2．下列各组数是勾股数的是(　A　)
　A．3，4，5 B．1.5，2，2.5 C．32，42，52 D．，，
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，已知A(3，2)，B(－2，3)，则∠OAB＝__45°__．
4．一种机器零件的形状如图所示，按规定，这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸在图中已标出，这个零件符合要求吗？请说明理由．
解：这个零件符合要求．理由如下：∵AD＝12，AB＝9，BC＝8，BD＝15，CD＝17，∴AB2＋AD2＝BD2，BD2＋BC2＝DC2，∴△ABD，△BDC是直角三角形，且∠A＝90°，∠DBC＝90°.故这个零件符合要求．
◆活动5　课堂小结
1．勾股定理的逆定理的概念及应用．
2．原命题、逆命题、互逆命题的概念和它们之间的联系．
3．勾股数的概念．
1．作业布置
(1)教材P34　习题17.2第1，2，3，4，5，6题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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