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18.1.2　平行四边形的判定
第1课时　平行四边形的判定(1)
教师备课　素材示例
●情景导入　小华家准备安装一块平行四边形的装饰玻璃ABCD，但他不小心碰碎了一部分，他只好拿着剩下的玻璃去玻璃店，聪明的师傅很快将原来的平行四边形画了出来，你知道他用的是什么方法吗？
【教学与建议】教学：情景问题从日常生活入手，激发了学生的学习兴趣．建议：对于情景题目，教师引导学生讨论回答，然后教师总结点评，明确定义可以当性质用，也可以当判定用．
●类比导入　问题1：平行四边形的性质有哪些？(1)平行四边形的对边相等；(2)平行四边形的对角相等；(3)平行四边形的对角线互相平分．
问题2：怎样判定一个四边形是平行四边形呢？
问题3：类比前面平行线、垂直平分线等图形的性质和判定定理之间的关系，你能否给出关于平行四边形判定定理的猜想呢？
【教学与建议】教学：复习旧知，类比利用几何图形的性质，找出命题的逆命题，探索平行四边形的判定定理．建议：把平行四边形的性质按照边、角、对角线三个方面进行分类，尝试证明平行四边形．
◎命题角度1　利用平行四边形的定义判定四边形是平行四边形
已知一组对边平行，可以通过证明另一组对边也平行，来证明这个四边形是平行四边形．
【例1】在四边形ABCD中，AD∥BC，要判定四边形ABCD是平行四边形，那么还需满足(A)
A．∠B＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180°
C．∠A＋∠B＝180° D．∠A＋∠C＝180°
【例2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE＝DC，∠C＝80°，则∠A＝__100°__．
◎命题角度2　利用对边的数量关系判定四边形是平行四边形
已知一组对边相等，可以通过证明另一组对边也相等来判定四边形是平行四边形．
【例3】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD.若∠B＝110°，则∠A的度数为(C)
A．110° B．80° C．70° D．90°
【例4】如图，在4×4的方格图中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)画出 ABEC，其中E是格点；
(2)请用平行四边形的判定方法说明画图的合理性．
解：(1)如图；
(2)设每个小方格边长为1，则AC＝BE＝，AB＝CE＝，
∴四边形ABEC是平行四边形(平行四边形判定定理1).
◎命题角度3　利用对角线的平分关系判定四边形是平行四边形
利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一定理判定四边形是平行四边形，先找出四边形的对角线，再证明相等．
【例5】四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是(B)
A．AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AC⊥BD D．AD∥BC，AD＝DC
【例6】如图，在 ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF.求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：连接AC与BD交于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BE＝DF，∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
◎命题角度4　利用对角的数量关系判定四边形是平行四边形
若已知四边形的一组对角相等，则可以通过证明另一组对角也相等证明四边形是平行四边形，或证明两组对角相等判定四边形是平行四边形．
【例7】下面给出四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是(B)
A．1∶2∶3∶4 B．2∶3∶2∶3
C．2∶2∶3∶3 D．1∶2∶2∶3
【例8】如图，在 ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB.求证：四边形AFCE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°，
∴∠ADE＝∠CBF＝60°.
∵AE＝AD，CF＝CB，∴△AED，△CFB是等边三角形，
∴∠AEC＝∠BFC＝60°，∠EAF＝∠ECF＝120°，∴四边形AFCE是平行四边形．
高效课堂　教学设计
1．掌握平行四边形的判定定理1，2，3.
2．能熟练运用平行四边形的三种判定定理．
▲重点
平行四边形判定定理的证明．
▲难点
平行四边形判定定理的综合运用．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
◆活动1　新课导入
1．回顾平行四边形的性质．
2．平行四边形不一定具有的性质是(　B　)
A．对角相等 B．对角互补
C．邻角互补 D．内角和是360°
◆活动2　探究新知
教材P45　内容．
提出问题：
(1)如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，AD＝BC，你能证明四边形ABCD是平行四边形吗？你证明的根据是什么？
(2)如图，在四边形ABCD中，已知∠A＝∠C，∠B＝∠D，你能证明四边形是平行四边形吗？你证明的根据是什么？
(3)结合图18.1 10掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的证明方法，你还有其他的证明方法吗？
(4)由此你能得出哪些判定平行四边形的方法？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
定理1：两组__对边__分别相等的四边形是平行四边形．
定理2：两组__对角__分别相等的四边形是平行四边形．
定理3：对角线__互相平分__的四边形是平行四边形．
◆活动4　例题与练习
例1　如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
解：(1)∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°；
(2)∵AB∥DC，∴∠CAB＝∠2＝40°，∠DCB＋∠B＝180°，
∴∠DAB＝∠1＋∠CAB＝125°，∠DCB＝180°－∠B＝125°，∴∠DAB＝∠DCB.
又∵∠D＝∠B＝55°，∴四边形ABCD是平行四边形．
例2　教材P46　例3.
例3　
如图，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形ACE，等边三角形BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．
解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF，∴AC＝DF＝AE.同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
练习
1．教材P47　练习第1，2题．
2．
如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD.若∠B＝110°，则∠A的度数为(　C　)
　A．110°　　　 B．80°　　　 C．70°　　　 D．90°
3．在四边形ABCD中下面给出的∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　B　)
　A．1∶2∶3∶4 B．2∶3∶2∶3
　C．2∶2∶3∶3 D．1∶2∶2∶3
4．如图，在 ABCD中，AF＝CH，DE＝BG.
求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AD＝BC，AB＝DC.又∵AF＝CH，DE＝BG，∴AE＝CG，FB＝DH.在△AEF和△CGH中，∴△AEF≌△CGH(SAS)，∴EF＝GH.同理，可证EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
◆活动5　课堂小结
1．平行四边形的判定定理．
2．平行四边形判定定理的综合运用．
1．作业布置
(1)教材P50　习题18.1第9，10题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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