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第2课时　平行四边形对角线的性质
教师备课　素材示例
●复习导入　1.什么是平行四边形？
两组对边分别__平行__的四边形叫做平行四边形，平行四边形用符号__ __表示．
2．平行四边形的性质有哪些？
平行四边形的对边__平行__且__相等__，对角__相等__，邻角__互补__．
【教学与建议】教学：复习平行四边形的定义和性质，对学习平行四边形对角线性质作铺垫．建议：学生回答后，教师展示平行四边形图形，数形结合加深巩固．
●置疑导入　老人有一块呈平行四边形形状的土地，由于年老体弱，他决定把这块土地平分给他的四个孩子，他是按如图分的.
同学们：老人这样分地合理吗？
这样分地合理不合理，这节课学行四边形对角线的性质就知道答案了．
【教学与建议】教学：用实际问题(置疑)创设情境导入新课，让学生感受到数学知识来源于生活，又服务于生活．建议：教师故事性地提出问题后，再提醒学生平分面积应想到什么知识．
◎命题角度1　利用平行四边形对角线的性质求线段长度
解决此类问题的主要依据是平行四边形的两组对边分别相等、对角线互相平分．
【例1】如图，在 ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为(A)
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
　　　
【例2】如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，若AD＝8，AC＋BD＝20，则△BOC的周长为__18__．
◎命题角度2　利用平行四边形的对角线互相平分证明问题
在求解平行四边形的有关问题时，除可以考虑证明三角形全等以外，还应注意运用平行四边形的性质．
【例3】如图，已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F.求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，OB＝OD，∴∠ADE＝∠CBF.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°，
∴△ADE≌△CBF(AAS)，∴DE＝BF，∴OD－DE＝OB－BF，∴OE＝OF.
◎命题角度3　利用平行四边形的对角线互相平分确定边的取值范围
此类问题考查平行四边形的边及对角线的性质，结合三角形的三边关系，特别是三角形的第三边大于另两边的差，并且小于另两边的和．
【例4】在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是__1＜OA＜4__．
【例5】如图，在 ABCD中，AC＝14，BD＝10，AD＝a，则a的取值范围是__2◎命题角度4　平行四边形性质的综合运用
平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分．当所给条件涉及对角线时，往往利用平行四边形的对角线互相平分这一性质解决问题．
【例6】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE.若 ABCD的周长为28，则△ABE的周长为(D)
A．28 B．24 C．21 D．14
【例7】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作直线EF，交AD，BC于点E，F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)四边形ABFE的面积与四边形FCDE的面积有何关系？
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO.在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF；
(2)S四边形ABFE＝S四边形FCDE.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，∠ABC＝∠CDA，∴△ABC≌△CDA(SAS)，∴S△ABC＝S△CDA.由(1)可知△AOE≌△COF，∴S△AOE＝S△COF.又∵S四边形ABFE＝S△ABC＋S△AOE－S△COF，S四边形FCDE＝S△CDA＋S△COF－S△AOE，∴S四边形ABFE＝S四边形FCDE.
高效课堂　教学设计
1．掌握平行四边形对角线互相平分的性质．
2．能综合运用平行四边形对角线的性质解决有关平行四边形的计算问题和简单的证明题．
▲重点
平行四边形对角线的性质．
▲难点
平行四边形对角线性质的运用．
◆活动1　新课导入
如图，在纸上画 ABCD，将它剪下，再在一张纸上沿 ABCD的边缘画一个与 ABCD相同的 EFGH.在它们的中心(两条对角线的交点)钉一个图钉，将 ABCD绕点O旋转180°后，它能与 EFGH重合吗？从中你能看出上节课得到的 ABCD的边、角关系吗？进一步地，你能发现OA与OC，OB与OD的关系吗？
可以得到： ABCD的对边相等，对角相等．
可以发现：OA与OC，OB与OD可以完全重合，即OA＝OC，OB＝OD，这节课我们来继续学习平行四边形的性质．
◆活动2　探究新知
教材P43　探究．
提出问题：
(1)什么叫做平行四边形的对角线？
(2)如图，在 ABCD中，可以通过证明哪两个三角形全等，从而得到OA＝OC，OB＝OD，请写出证明过程；
(3)平行四边形的对角线具有什么性质？
(4)△ABC，△DBC，△CAD，△BAD的面积与 ABCD的面积有怎样的数量关系？为什么？
(5)△AOD，△ABO，△BCO，△CDO与 ABCD的面积有怎样的数量关系？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．平行四边形对角线的性质：平行四边形的对角线__互相平分__．
2．平行四边形的面积＝底×__高__．
3．平行四边形的两条对角线分成的四个三角形的面积__相等__，每个三角形的面积是平行四边形面积的____．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P44　例2.
例2　如图，已知 ABCD和 EBFD的顶点A，E，F，C在同一条直线上．求证：AE＝CF.
证明：连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD，EBFD是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF.
例3　如图①，在 ABCD中，O为对角线BD，AC的交点．
(1)求证：S△ABO＝S△CBO；
(2)如图②，设P为对角线BD上任意一点(点P与点B，D不重合)，S△ABP与S△CBP仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
　　　　
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.设点B到AC的距离为h，则S△ABO＝AO·h，S△CBO＝CO·h，∴S△ABO＝S△CBO；
(2)S△ABP＝S△CBP.理由如下：在 ABCD中，点A，C到BD的距离相等，设为h′，则S△ABP＝BP·h′，S△CBP＝BP·h′，∴S△ABP＝S△CBP.
练习
1．教材P44　练习第1，2题．
2．如图，在 ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为(　A　)
　A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
　　　　
3．如图，在 ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为(　C　)
　A．3 B．6 C．12 D．24
4．如图，在 ABCD中，AC和BD相交于点O，OE⊥AD，OF⊥BC，垂足分别是E，F.求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AD∥BC，∴∠ODE＝∠OBF.∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠DEO＝∠BFO＝90°.在△DOE和△BOF中，∴△DOE≌△BOF(AAS)，∴OE＝OF.
◆活动5　课堂小结
1．平行四边形对角线的性质．
2．平行四边形对角线性质的运用．
1．作业布置
(1)教材P49～51　习题18.1第3，14，15题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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