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第3课时　勾股定理的作图与计算
教师备课　素材示例
●置疑导入　如图，有一个圆柱，它的高是12 cm，底面圆的周长是10 cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
(1)尝试在圆柱侧面上画出几条从点A到点B的路线，你觉得哪条路线最短呢？
(2)将圆柱侧面剪开并展开成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？
(3)蚂蚁从点A出发，想去点B处吃食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【教学与建议】教学：设置层层递进问题，利用勾股定理求解实际问题引入新课，使学生在活动中体验数学建模思想．建议：学生分小组合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后汇总各小组的方案．
●复习导入　
操作与探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示，，，，的点吗？
1．看图填空：
x＝____；y＝____；z＝__2__；m＝____．
2．按照图中的规律一直作下去，你能说出第n个小直角三角形的各边长吗？
【教学与建议】教学：利用一个目的明确的操作探究问题引入新课，培养学生的动手操作能力和抽象概括能力．建议：教学中要充分调动学生的学习主动性，要让学生自己动手去画图操作．
◎命题角度1　在数轴上表示无理数
在数轴上画表示无理数的点的步骤(如图所示)：(1)把c转化为两个正整数a，b的平方和，即＝；(2)以原点O为圆心，在数轴上截取OA＝a；(3)过点A作数轴的垂线AM，在AM上截取AB＝b；(4)连接OB，根据勾股定理，得OB＝；(5)以原点O为圆心，OB的长为半径画弧，交数轴正半轴于点C，则点C表示的数就是无理数.
【例1】如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是(B)
A．＋1 B．－1 C．－＋1 D．－－1
【例2】如图，在数轴上画出表示的点(不写作法，但要保留画图痕迹)．
解：所画图形如图所示，其中点A即为所求．
◎命题角度2　网格图中的无理数
在由小正方形构成的网格图中，利用格点构造几何图形．
【例3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，点B(3，－1)，则线段AB的长度为(C)
A． B． C． D．3
　　　
【例4】如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为(D)
A． B． C． D．2－
◎命题角度3　利用勾股定理求立体图形表面上两点之间的最短路程
确定立体图形表面上的最短路程问题，其解题思路是将立体图形的表面展开，转化为平面图形，并借助勾股定理解决．
【例5】如图，圆柱的底面周长为6 cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6 cm，点P是BC上一点，且PC＝BC，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是(B)
A．(4＋)cm B．5 cm C．3 cm D．7 cm
【例6】如图，有一个棱长为2的正方体，现有一绳子从A出发，沿正方体表面到达C处，问最短绳长的平方为多少？
解：如图，将该正方体的右表面翻折至与前表面同平面，使得A，C两点共面，连接AC，此时线段AC的长度即为最短绳长．所以AC2＝22＋(2＋2)2＝20，即最短绳长的平方为20.
◎命题角度4　利用勾股定理解决几何变换问题
在折叠、旋转等问题中常常将条件集中于一个直角三角形，然后利用勾股定理构造方程，求线段的长．
【例7】如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为(C)
A． B． C． D．5
　　　　　
【例8】如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点A与C重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4，则折痕EF的长度为__2__．
高效课堂　教学设计
1．利用勾股定理作长度为无理数的线段．
2．在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想，体会数学的应用价值．
▲重点
利用勾股定理作长度为无理数的线段．
▲难点
勾股定理的灵活应用．
◆活动1　新课导入
1．在等腰直角三角形中，直角边为1，斜边为多少？
2．若直角三角形的两直角边分别为，1，斜边为多少？
3．同学们，你们会在数轴上作出吗？
◆活动2　探究新知
教材P26～27　内容．
提出问题：
(1)你能利用勾股定理证明斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等吗？
(2)我们知道实数都可以在数轴上表示出来，你能在数轴上画出表示的点吗？
(3)你还能在数轴上表示其他无理数吗？表示的依据是什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．用数轴上的点表示无理数：如图，过数轴上表示数a的点A作直线l与数轴垂直，在直线l上截取AB＝b，连接OB(点O为原点)，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点P.当点P在正半轴上时，它表示数____；当点P在负半轴上时，它表示数__－__．
2．实数与数轴上的点是一一对应的，要在数轴上直接标出无理数对应的点比较难，我们可以借助__勾股定理__作出长为(n为大于1的正整数)的线段，进而在数轴上找到表示无理数的点．
◆活动4　例题与练习
例1　在数轴上作出表示－的点．
解：∵＝＝，∴是以4，1为直角边的直角三角形斜边的长，如图，即点C表示－.
例2　利用如图4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数和－.
解：如图．
例3　如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点．
(1)在图①中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
(2)如图②，A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
　　
解：(1)如图①所示；(2)如图②，连接AC，并设点D，E，则BC＝AC＝，且易证△ACD≌△BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD＋∠DCB＝∠BCE＋∠DCB，
即∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ABC＝45°.
练习
1．教材P27　练习第1，2题．
2．小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点O，数轴上的2处表示点A，然后过点A作AB⊥OA，且AB＝3.以点O为圆心，OB为半径作弧，设与数轴右侧交点为P，则点P的位置在数轴上(　C　)
　A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
　　　
3．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点F处，则DE的长是__5__．
4．在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3 dm，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6 dm，问这里的水深是多少？
解：根据题意，作图(如图).其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹过水草的位置，则CD＝3 dm，CB＝6 dm，AD＝AB，BC⊥AD.
在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，即(AC＋3)2＝AC2＋62，解得AC＝4.5.
答：这里的水深是4.5 dm.
◆活动5　课堂小结
1．在数轴上表示无理数．
2．应用勾股定理解决实际问题．
1．作业布置
(1)教材P28～29　习题17.1第6，8，11，12题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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