资源简介

18.2　特殊的平行四边形
18．2.1　矩形
第1课时　矩形的性质
教师备课　素材示例
●情景导入　
1．展示生活图片(推拉门、活动衣架、篱笆、井架等)，想一想：它们应用了平行四边形的什么性质？
2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，它还是一个平行四边形吗？为什么？
3．再次演示平行四边形的拉动过程，当拉动到一个角是直角时停止(如图)，让学生观察这是什么图形？引出本节课题及矩形的定义．
【教学与建议】教学：通过平行四边形教具，操作探究矩形与平行四边形之间的关系，体会矩形与平行四边形的区别和联系．建议：在展示平行四边形教具由平行四边形变为矩形的过程后让学生说出矩形的性质．
●归纳导入　已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质．
同样对于平行四边形来说也有一些特殊情况，今天我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形．利用多媒体展示一组生活中的图片(如图)，观察图中有哪些图形是矩形？矩形有哪些性质呢？
【归纳】有一个角是__直角__的平行四边形叫做矩形，也就是长方形．矩形的对边__平行且相等__，四个角都是__直角__，对角线__互相平分且相等__．
【教学与建议】教学：复习平行四边形性质，并利用生活中的矩形图片导入新课，归纳矩形的定义和性质．建议：类比平行四边形的定义和性质，猜测矩形的性质，确定矩形的定义．
◎命题角度1　利用矩形的性质计算线段的长度或角的度数
由矩形的对角线相等且互相平分，得到四个等腰三角形，再由矩形提供的直角及相等的线段容易求出角的度数及有关线段的长度．
【例1】如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E.若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是(C)
A．18° B．36° C．45° D．72°
　　　
【例2】如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝4，则AC的长为__16__．
◎命题角度2　利用矩形的性质解决证明问题
由矩形的性质提供相等的线段或角，构造全等三角形来解决问题．
【例3】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，OE＝OF.求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(SAS)，
∴AE＝CF.
【例4】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，
∴∠BEF＋∠BFE＝90°.
∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°，
∴∠BFE＝∠CED，∴∠BEF＝∠EDC.
在△EBF和△DCE中，
∴△EBF≌△DCE(ASA)，∴BE＝CD，∴BE＝AB，
∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∴∠EAD＝45°，
∴∠BAE＝∠EAD，∴AE平分∠BAD.
◎命题角度3　矩形的对称性
矩形具有对称性，利用矩形的对称性作出辅助线构造相等的线段，可以解决几条线段和的最值问题．
【例5】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E，F分别是AB，DC上的动点，EF∥BC，则AF＋CE的最小值是__10__．
◎命题角度4　利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解决问题
直角三角形的这一性质与两锐角互余、勾股定理、30°角所对的直角边等于斜边的一半都是直角三角形的重要性质．利用这些性质解决线段的倍分关系问题．
【例6】如图，在△ABC中，D为AB的中点，BE⊥AC，垂足为E.若DE＝4，AE＝6，则BE的长度是(D)
A．10 B．2 C．8 D．2
　　　
【例7】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC＝2，则EF的长度为__1__．
高效课堂　教学设计
1．掌握矩形的概念和性质，了解矩形与平行四边形的关系．
2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
▲重点
矩形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
▲难点
矩形性质的证明及灵活应用．
◆活动1　新课导入
1．回顾平行四边形的概念和性质．
2．观察思考，如图①，将两长两短的四根木条用小钉铰合在一起，使等长的木条成为对边，这样就得到一个平行四边形，即 ABCD，转动这个四边形使A′B′⊥B′C′，就得到一个特殊的平行四边形，如图②，你能说出平行四边形A′B′C′D′是什么图形吗？
　　　
今天我们来学习特殊的平行四边形——矩形的有关知识．
◆活动2　探究新知
1．教材P52　思考以上的内容．
提出问题：
(1)拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，它还是平行四边形吗？
(2)拉动到有一个角是直角，然后观察这个教具，你有什么发现？
(3)由此你能得出矩形的概念吗？你能举出一些关于矩形的例子吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P52　思考．
提出问题：
(1)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.由于矩形是特殊的平行四边形，请说出其具有哪些性质？
(2)如图，在矩形ABCD中，AC，BD是其对角线．试证明：①AC＝BD；②∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝∠ADC＝90°；
(3)由此你还能列举出矩形具有而平行四边形不具有的性质吗？
学生完成并交流展示．
3．教材P53　思考．
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．矩形的定义：有一个角是__直角__的平行四边形叫做矩形，也就是长方形.
2．矩形的性质：矩形的对边__平行且相等__，四个角都是__直角__，对角线__互相平分且相等__．
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的__一半__．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P53　例1.
例2　如图，在矩形ABCD中，以顶点B为圆心，边BC长为半径作弧，交AD边于点E，连接BE，CE，过点C作CF⊥BE于点F.求证：BF＝AE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠AEB＝∠FBC.
∵CF⊥BE，∴∠BFC＝∠A＝90°.
由作图可知BC＝EB.在△BFC和△EAB中，
∴△BFC≌△EAB(AAS)，∴BF＝AE.
例3　如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
(2)求证：EF垂直平分AD.
解：(1)∵AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点，
∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，
∴四边形AEDF的周长为AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；
(2)∵DE＝AE，DF＝AF，∴E，F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AD.
练习
1．教材P53　练习第1，2，3题．
2．在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24 cm，则AB的长为(　D　)
　A．1 cm　　　　　B．2 cm　　　　　C．2.5 cm　　　　　D．4 cm
3．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠BEF＋∠BFE＝90°.
∵EF⊥ED，∴∠FED＝90°.
∴∠BEF＋∠CED＝90°，
∴∠BFE＝∠CED.
在△EBF和△DCE中，
∴△EBF≌△DCE(AAS)，∴BE＝CD，
∴BE＝AB，∴∠BAE＝∠BEA.
∵AD∥BC，∴∠BEA＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠EAD，∴AE平分∠BAD.
◆活动5　课堂小结
1．矩形的概念和性质．
2．运用矩形的概念和性质解决问题．
3．直角三角形斜边上的中线的性质．
1．作业布置
(1)教材P60～62　习题18.2第4，9，12(1)题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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