资源简介

第3课时　三角形的中位线
教师备课　素材示例
●情景导入　
如图，观察思考：
问题1：图中的所有三角形有什么共同特征？
问题2：这个图是怎样画出来的呢？
【教学与建议】教学：让学生初步认识三角形的中位线，建立与实际问题的联系．建议：问题1由学生口答完成，问题2观察得出：连接三角形两边的中点得到，形成三角形的中位线的形象．从而教师导入课题．
●置疑导入　将任意一个三角形形状的蛋糕平均分给四个小朋友，要求平均分，该如何切割？
画一个三角形，并尝试找到切割线，交流自己的方法．今天我们将用中位线的方法切割三角形．
【教学与建议】教学：通过置疑操作实践导入新课，为学习三角形的中位线做好铺垫．建议：让学生动手操作，画出三角形的中位线，猜想并验证中位线定理．
◎命题角度1　利用三角形中位线定理解决有关计算问题
利用“三角形的中位线与第三边的位置关系——平行，三角形的中位线与第三边的数量关系——等于第三边的一半”进行有关计算．
【例1】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为(C)
A．50° B．60° C．70° D．80°
　　　
【例2】如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是__12__．
◎命题角度2　利用三角形的中位线定理解决有关证明问题
三角形中如果出现两条边的中点，那么可以利用三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系证明有关问题．
【例3】如图，在△ABC中，CF平分∠ACB，CA＝CD，AE＝EB.求证：EF＝BD.
证明：∵CA＝CD，CF平分∠ACB，∴CF为AD边上的中线，∴F为AD的中点．∵AE＝EB，∴E为AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF＝BD.
【例4】我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.
(1)这个中点四边形EFGH的形状是__平行四边形__；
(2)请证明你的结论．
证明：连接AC.∵点E，F分别是AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF＝AC.同理可证：HG∥AC，HG＝AC，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形．
◎命题角度3　适当添加辅助线利用三角形的中位线定理解决有关问题
当题目中涉及中点时，通过添加辅助线构造出三角形中位线，进而利用三角形的中位线定理解决有关问题．
【例5】如图，在△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D.若AB＝10，AC＝14，则DM等于(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
【例6】如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形CAN，点D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连接DE，EF.求证：DE＝EF.
证明：连接BN，CM.在等边三角形ABM和等边三角形CAN中，AM＝AB，AC＝AN，∠MAB＝∠CAN＝60°，∴∠MAB＋∠CAB＝∠CAN＋∠CAB，即∠MAC＝∠BAN，∴△MAC≌△BAN(SAS)，∴MC＝BN.又∵D，E，F分别为MB，BC，CN的中点，∴DE＝MC，EF＝BN，∴DE＝EF.
高效课堂　教学设计
1．了解三角形的中位线的定义，注意与三角形的中线的区别．
2．掌握三角形的中位线定理，并能灵活地运用．
▲重点
识记三角形的中位线定义、定理．
▲难点
三角形中位线定理的灵活运用．
◆活动1　新课导入
1．回顾平行四边形的概念和性质．
2．回顾三角形的中线的概念．
3．如图，在测量池塘的长AB时，由于绳长不够，于是在平地上取一点O，找出OA，OB的中点M，N，小刚说只要量出了MN的长，就能求出AB的长，你知道这是什么原理吗？
今天我们来学习中位线的有关知识．
◆活动2　探究新知
1．教材P47　练习下面的内容．
提出问题：
(1)什么叫做三角形的中位线？
(2)一个三角形有几条中位线？
(3)三角形的中位线和中线一样吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P48　探究．
提出问题：
(1)阅读教材P48中位线定理的证明过程，掌握其辅助线作法，指出证明思路是什么？
(2)“綊”表示什么？
(3)你还有其他的证明中位线定理的方法吗？如果有，请写出证明过程．
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．三角形中位线的定义：连接三角形__两边中点__的线段叫做三角形的中位线．
2．三角形的中位线定理：三角形的中位线__平行__于三角形的第三边，并且等于第三边的__一半__．
◆活动4　例题与练习
例1　如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长是__10__cm.
例2　如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：连接AC.∵点E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AC，EF∥AC.
同理可得GH＝AC，GH∥AC，∴EF＝GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH是平行四边形.
例3　如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，AM⊥CM，垂足为M，延长CM交AB于点D，求MN的长．
解：∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，∴∠DAM＝∠CAM，∠AMD＝∠AMC.在△AMD和△AMC中，∴△AMD≌△AMC(ASA)，∴AD＝AC＝3，DM＝CM.又∵点N为BC的中点，∴BN＝CN，∴MN为△BCD的中位线，∴MN＝BD＝(AB－AD)＝×(5－3)＝1.
练习
1．教材P49　练习第1，2题．
2．如图，在△ABC中，D，E分别为AC，BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为(　C　)
　A． B．3 C．6 D．9
　　　　
3．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出AC和BC的中点M，N.如果测得MN＝20 m，那么A，B两点的距离是__40__m，理由是__三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半__．
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E，F分别为边BC，AC的中点．求证：DF＝BE.
证明：∵E，F分别为BC，AC的中点，∴EF∥AB且EF＝AB，∴∠EFC＝∠BAC＝90°.又∵AD＝AB，∴EF＝AD.又∵∠EFC＝∠DAF＝90°，FC＝AF，∴△CFE≌△FAD，∴EC＝DF.又∵EC＝BE，∴DF＝BE.
◆活动5　课堂小结
1．三角形中位线的概念和定理．
2．运用三角形的中位线定理解决问题．
1．作业布置
(1)教材P51　习题18.1第11，12，13题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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