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第2课时　利用勾股定理解决实际问题
教师备课　素材示例
●置疑导入　电视的尺寸是屏幕对角线的长度．小丽的爸爸买了一台47英寸(119.38 cm)的电视机，小丽量电视机的屏幕后，发现屏幕的长为100 cm，宽为40 cm.她觉得一定是售货员搞错了，你同意她的想法吗？
你能利用勾股定理的知识解决上面的问题吗？
【教学与建议】教学：通过生活中的问题引发学生的思考，激发学生的好奇心和求知欲．建议：尝试解决生活中的实际问题，以激发学生学习的兴趣和探究的欲望．
●悬念激趣　如图，某游泳池岸边A处救生员发现池中的B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿池边自A处跑到离B处最近的C处，然后从C处游向B处．若救生员在岸边行进的速度是6 m/s，在水中行进的速度是2 m/s，请你分析救生员的选择是否合理．
【教学与建议】教学：设计实际问题情境，激发学生的学习兴趣，培养学生“用数据说话”的科学态度．建议：引导学生将题目中的实际问题转化到几何图形中，然后分别求得两种不同情况下的数据，进行比较．
◎命题角度1　直接利用勾股定理求边长
在直角三角形中，已知两边，求第三边，可利用勾股定理a2＋b2＝c2直接求解或变形求解．
【例1】如图，一架长为10 m的梯子斜靠在一面墙上，梯子底端离墙6 m，如果梯子的顶端下滑了2 m，那么梯子底部在水平方向滑动了(A)
A．2 m B．2.5 m C．3 m D．3.5 m
　　　　　　
【例2】如图所示(单位：mm)的长方形零件上两孔中心A和B的距离为__100__mm.
◎命题角度2　利用勾股定理建立方程解决实际应用问题
题目中虽然有直角三角形，所求边长不能直接运用勾股定理解决，这时可以设出未知数，通过列方程解答这类计算问题．
【例3】《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一．在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去有三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长．如果设AC＝x，那么可列方程为__32＋x2＝(10－x)2__．
◎命题角度3　利用勾股定理求平面上两点间的距离
平面上两点间的距离可以利用坐标系或方位图特点构造直角三角形求解．
【例4】如图，在平面直角坐标系中，A(4，4)，B(1，0)，C(0，1)，则B，C两点间的距离是____；A，C两点间的距离是__5__；A，B两点间的距离是__5__．
　　　
【例5】如图，一艘轮船以16 n mile/h的速度离开港口，向东南方向航行，另一艘轮船同时以12 n mile/h的速度向西南方向航行，它们离开港口1.5 h后相距__30__n mile.
高效课堂　教学设计
1．能运用勾股定理进行计算，并会解决实际问题．
2．运用勾股定理解决立体图形的最短路径问题，感受数学的“转化”思想．
▲重点
运用勾股定理解决实际问题．
▲难点
利用勾股定理解决最短路径问题．
◆活动1　新课导入
1．回顾勾股定理的概念．
2．在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边为a，b，c，∠C＝90°.
(1)已知a＝3，b＝4，则c＝__5__；
(2)已知c＝25，b＝15，则a＝__20__；
(3)已知c＝19，a＝13，则b＝__8__；(结果保留根号)
(4)已知a∶b＝3∶4，c＝15，则b＝__12__．
3．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的点B200 m，结果他在水中实际游了520 m，则该河流的宽度为__480__m.
◆活动2　探究新知
教材P25　例1.
提出问题：
(1)木板能横着通过门框吗？竖着呢？为什么？
(2)如果木板斜着拿，能否通过门框？
(3)要使木板能通过门框，需要比较哪些数据的大小？你是怎么想的？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
应用勾股定理的前提是在__直角__三角形中．如果三角形不是直角三角形，要先__构造直角三角形__，再利用勾股定理求未知边的长．
注意：①在直角三角形中，已知两边长，利用勾股定理求第三边时，要弄清楚直角边和斜边，没有明确规定时，要__分类讨论__，以免漏解；
②求几何体表面上两点间的最短距离的方法：把立体图形的表面展开成平面图形，根据“两点之间，__线段__最短”确定路径，然后利用勾股定理进行计算；
③用勾股定理解决折叠问题时，能够重合的线段、角和面积__相等__．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P25　例2.
例2　如图，在一棵树的10 m高的B处有两只猴子，其中一只猴子爬下树，走到离树20 m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘A处(假设它经过的路线为直线)，如果两只猴子所经过的路程相等，求这棵树的高．
解：设BD＝x m．由题意知，BC＋AC＝BD＋AD，
∴AD＝(30－x)m.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得(10＋x)2＋202＝(30－x)2，解得x＝5，
∴x＋10＝5＋10＝15.
答：这棵树高15 m．
例3　如图，长方体的长BE＝15 cm，宽AB＝10 cm，高AD＝20 cm，点M在CH上，且CM＝5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？
解：分两种情况比较最短距离：
　　
如答图①所示，蚂蚁爬行的最短路线为AM，AM＝＝5(cm).如答图②所示，蚂蚁爬行的最短路线为AM，AM＝＝25(cm).
∵5>25，∴第二种路线较短，此时最短距离为25 cm.
答：需要爬行的最短距离是25 cm.
练习
1．教材P26　练习第1，2题．
2．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，则图中与格点A的距离是的格点有(　C　)
　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
　　　
3．如图，小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为__17__m.
4．如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A，B处距河岸的距离AC，BD分别为500 m和300 m，且C，D两处的距离为600 m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水，再赶回家，那么牧童最少要走多少米？
解：如图，作点B关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于点P，过点A作B′B的垂线，垂足为E.
在Rt△AB′E中，AE＝600 m，B′E＝800 m，
∴AB′＝＝1 000(m).
答：牧童最少要走1 000 m．
◆活动5　课堂小结
勾股定理的应用．
1．作业布置
(1)教材P28～29　习题17.1第4，5，9，10题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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