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第2课时　矩形的判定
教师备课　素材示例
●置疑导入　为了防蚊虫，数学老师为自己的宿舍门定制了一扇矩形形状的纱门．安装师傅上门安装时，数学老师只利用卷尺巧妙地测量一番后，就指出该纱门是正规的．同学们知道数学老师是如何判断纱门是否是矩形吗？
【教学与建议】教学：导入材料不仅指出了研究矩形判定的必要，更是结合实际需求让学生体会到数学的应用价值．建议：可用两对长短不一的木条制作一个简易矩形框架，要求学生借助测量工具判断所制作的框架是矩形．
●类比导入　请填写下表，说一说平行四边形和矩形的联系与区别．
平行四边形 矩形
边 对边平行且相等 对边平行且相等
角 对角相等，邻角互补 每个角都是90°
对角线 互相平分 互相平分且相等
　　如何进行平行四边形的判定呢？我们是如何获取这个探究思路的？我们已经知道，根据矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可判断一个四边形是不是矩形．除此之外，我们能否找到其他判定矩形的方法呢？
【教学与建议】教学：在类比平行四边形和矩形的过程中回顾两者的性质，促使学生类比平行四边形的判定方法来思考矩形的判定方法．建议：让学生边观察边填表，复习归纳平行四边形的判定定理，类比出矩形的判定定理．
◎命题角度1　考查判定矩形的条件
若图形中不存在对角线，则利用定义或三个直角来判定矩形；若图形中有两条对角线，则利用“对角线相等的平行四边形是矩形”加以判定．
【例1】在 ABCD中，增加一个条件，四边形ABCD就成为矩形，这个条件是(B)
A．AB＝CD B．∠A＋∠C＝180°
C．BD＝2AB D．AC⊥BD
【例2】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是(D)
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AC＝BD
◎命题角度2　根据矩形的判定定理进行相关的证明
矩形的判定有两种基本思路：1.由角入手直接证明；2.在平行四边形的基础上根据角或对角线的性质进行证明．
【例3】如图，在 ABCD中，E是DC边的中点，且EA＝EB.求证： ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°.∵E是DC边的中点，∴DE＝EC.在△ADE和△BCE中，∴△ADE≌△BCE(SSS)，∴∠D＝∠C.∵∠D＋∠C＝180°，∴∠D＝∠C＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形．
【例4】如图，E为 ABCD外一点，AE⊥EC，BE⊥ED，对角线AC，BD交于点O.试说明： ABCD是矩形．
解：连接OE.∵AE⊥EC，∴∠AEC＝90°.又∵O为AC的中点，∴OE＝AC，同理OE＝BD，∴AC＝BD，∴ ABCD为矩形．
◎命题角度3　矩形的判定定理在实际生活中的应用
检验四边形的两组对边是否相等以及其对角线是否相等，结合矩形的定义和判定定理去解决问题．
【例5】用一把刻度尺来判定一个四边形零件是矩形的方法是先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是__对角线相等的平行四边形是矩形__．
◎命题角度4　矩形的性质与判定的综合
根据矩形的性质得到相等的线段和角，再利用线段和角之间的关系判断另一个图形是矩形．
【例6】如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB.当AB，BC满足条件__BC＝2AB__时，四边形PEMF为矩形．
【例7】如图，AC，BD是矩形ABCD的两条对角线，AE＝CG＝BF＝DH.求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝BO＝CO＝DO.∵AE＝CG＝BF＝DH，∴OE＝OG＝OF＝OH.∵OE＋OG＝OF＋OH，∴EG＝FH，∴四边形EFGH是矩形．
高效课堂　教学设计
1．会证明矩形的两个判定定理．
2．会用矩形定义及判定定理判定一个四边形是否为矩形，并能进行有关计算与论证．
▲重点
矩形的判定定理及应用．
▲难点
矩形的判定与性质的综合运用．
◆活动1　新课导入
1．回顾矩形的概念和性质．
2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝AO，求∠ABD的度数．
3．矩形有什么性质？你能写出这些性质的逆命题吗？逆命题都是真命题吗？
今天我们来学习矩形的判定．
◆活动2　探究新知
1．教材P54　第1个思考．
提出问题：
(1)如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，已知AC＝BD，求证四边形ABCD是矩形；
(2)请完成(1)中的证明过程，并说明该证明的依据是什么？
(3)工人师傅在做门窗时，为什么要量两组对边的长度和两条对角线的长度？你能解释其中的道理吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P54　第2个思考．
提出问题：
(1)如图，在四边形ABCD中，已知∠A＝∠B＝∠C＝90°，求证四边形ABCD是矩形；
(2)请写出(1)中的证明过程，并说明该证明的依据是什么？
(3)由此可以得到哪些判定矩形的方法？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
矩形的判定定理：
1．对角线__相等__的平行四边形是矩形．
2．有三个角是__直角__的四边形是矩形．
3．有一个角是直角的平行四边形是矩形．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P54　例2.
例2　如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长OA到点N，使ON＝OB，再延长OC到点M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OD＝OB.∵AN＝CM，ON＝OB，∴ON＝OM＝OB＝OD，∴MN＝BD，∴四边形NDMB为矩形．
例3　如图， ABCD各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∵AH，BH分别平分∠DAB，∠ABC，∴∠HAB＝∠DAB，∠HBA＝∠ABC，∴∠HAB＋∠HBA＝(∠DAB＋∠ABC)＝90°，∴∠H＝90°.同理，∠HEF＝∠F＝90°，∴四边形EFGH是矩形．
练习
1．教材P55　练习第1，2题．
2．下列结论正确的是(　D　)
　A．对角线相等的四边形是矩形
　B．对角线互相平分的四边形是矩形
　C．对角线相互垂直且平分的四边形是矩形
　D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
3．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.能判定四边形ABCD是矩形的有__①②③(或①②④或③⑤⑥或④⑤⑥)__．(填序号)
4．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形．
◆活动5　课堂小结
1．矩形的判定定理．
2．运用矩形的性质和判定定理解决问题．
1．作业布置
(1)教材P60～61　习题18.2第3，8题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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