资源简介

18.2.3　正方形
教师备课　素材示例
●类比导入　1.问题：矩形的性质有哪些？菱形呢？
2．操作：你能将一个矩形折叠成一个正方形吗？给一个菱形框架，你能将它改成正方形吗？
【教学与建议】教学：通过折叠裁剪得出正方形，使学生明白，有一组邻边相等的矩形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形．建议：从正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形入手，分别从边、角、对角线三个方面进行归纳总结．
●情景导入　相框、信封、明信片、田字格，还有在中国流传了数百年的神奇玩具——华容道、七巧板，都有矩形和正方形的影子，同时正方形也是最完美的图形之一．你能指出生活中的正方形吗？你能将一张长方形的纸折成一个正方形吗？正方形有哪些性质呢？
【教学与建议】教学：举例折叠正方形，明白正方形的概念，对正方形产生感性认识．建议：可以引导学生借助图形的特征从边、角、对角线、对称性上分别进行探索．
◎命题角度1　利用正方形的性质计算或证明
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，它隐含了图形中有许多相等的线段与角、互相垂直的线段、垂直平分的线段等条件．
【例1】如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ABE，则∠BED为(C)
A．15° B．35° C．45° D．55°
　　　
【例2】如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是(B)
A．30 B．34 C．35 D．40
◎命题角度2　正方形的判定方法
【例3】小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形，现有下列四种选法，你认为其中错误的是(B)
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【例4】如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形．又∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∴∠E＝90°，且BE＝CE，∴平行四边形BECF是正方形．
◎命题角度3　多个正方形综合的问题
当多个正方形有公共顶点结合在一起的时候，存在直角三角形，全等三角形，可以通过勾股定理或证明全等三角形找到相等线段来证明相关结论或解决线段长度问题．
【例5】如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接MN.若AB＝7，BE＝5，则MN＝__6.5__．
【例6】如图，E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于点H.
(1)试判断四边形AFHE的形状，并说明理由；
(2)已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
解：(1)四边形AFHE是正方形．理由如下：∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∠DAF＝∠EAB，AE＝AF，∴∠AFH＝90°.∵∠DAB＝90°＝∠DAF＋∠FAB，∴∠EAB＋∠FAB＝90°，即∠FAE＝90°.在四边形AEHF中，∠FAE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°，AF＝AE，∴四边形AFHE是正方形；
(2)设AE＝x，在Rt△AEB中，AB2＝AE2＋EB2，即132＝x2＋(x＋7)2，解得x＝5，∴BE＝BH＋EH＝7＋5＝12，∴DF＝BE＝12.∵DH＝DF＋FH，∴DH＝12＋5＝17.
高效课堂　教学设计
1．掌握正方形的概念、性质，并会灵活运用．
2．理解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的关系．
3．掌握正方形的判定方法，能灵活运用正方形的性质与判定进行推理或计算．
▲重点
正方形的定义、性质和判定及运用方法．
▲难点
对正方形与其他平行四边形之间关系的理解．
◆活动1　新课导入
1．回顾矩形、菱形的性质和判定定理．
2．用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．
今天我们来学习正方形的有关知识．
◆活动2　探究新知
教材P58　部分内容．
提出问题：
(1)什么样的矩形是正方形？什么样的菱形是正方形？什么样的平行四边形是正方形？
(2)正方形有哪些性质？
(3)正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？它的对称轴是什么？
(4)如何判定一个四边形是正方形？你能写出相应的证明过程吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．正方形的概念：
(1)有一组邻边__相等__的矩形是正方形；
(2)有一个角是__直角__的菱形是正方形．
2．正方形的性质：既有矩形的性质，又有菱形的性质．
(1)正方形的四条边都__相等__；
(2)正方形的四个角都是__直角__；
(3)正方形的两条对角线互相__垂直平分__且__相等__，每条对角线__平分__一组对角，它的对角线与每条边的夹角都是__45°__．
3．正方形是轴对称图形，它有__4__条对称轴，对称轴是两条对角线所在直线和两组对边的垂直平分线．
4．正方形的判定定理：
(1)有一组__邻边相等__的矩形是正方形；
(2)有一个角是__直角__的菱形是正方形；
(3)对角线__互相垂直__的矩形是正方形；
(4)对角线相等的__菱形__是正方形．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P58　例5.
例2　如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.
(1)求证：∠ADB＝∠CDB；
(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．
证明：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB；
(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°.又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，∴PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN，∴四边形MPND是正方形．
练习
1．教材P59～60　练习第1，2，3题．
2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(　C　)
　A．14 B．15 C．16 D．17
　　　
3．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED的度数是__45°__．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为边AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形．并说明理由．
解：(1)∵点O为AB的中点，∴BO＝AO.又∵OE＝OD，∴四边形AEBD是平行四边形．∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形；
(2)当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．理由如下：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝BC＝AD.由(1)，得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．(答案不唯一，言之有理即可)
◆活动5　课堂小结
1．正方形的概念、性质和判定定理．
2．平行四边形、矩形、菱形和正方形的区别与联系．
3．运用正方形的性质和判定定理解决问题．
1．作业布置
(1)教材P61～62　习题18.2第7，12(3)题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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