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第2课时　菱形的判定
教师备课　素材示例
●情景导入　如图，将两张等宽的纸条交叉，重合部分是四边形ABCD，量一量并说明它是什么特殊的平行四边形．
【教学与建议】教学：通过动手操作及量一量活动，激发学生的想象、思维和发现．建议：引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验．
●置疑导入　
如图，用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？
继续转动木条，当两根木条互相垂直时，橡皮筋围成的四边形有什么特征？你能证明你的猜想吗？
【教学与建议】教学：通过图形的变化，感受对角线互相垂直的平行四边形是菱形，自然地得出菱形的判定方法．建议：在得到菱形判定方法的时候强调对角线应满足：互相垂直平分．
◎命题角度1　灵活选择方法判定四边形是菱形
菱形的判定思路：①若已知一组邻边相等，则需要证该四边形是平行四边形或四条边都相等；②若对角线互相垂直，则需要证明该四边形是平行四边形；③若已知四边形是平行四边形，则需要证明一组邻边相等或对角线互相垂直．
【例1】如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O.已知AB＝AC＝4，∠ABC＝60°.
(1)求证： ABCD是菱形；
(2)求BD的长．
解：(1)∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∴ ABCD是菱形；(2)在菱形ABCD中，AC⊥BD，OB＝OD.∵AB＝AC＝4，△ABC是等边三角形，∴AO＝AC＝2，∴BO＝2，∴BD＝2OB＝4.
【例2】如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF.连接DE，DF，BE，BF.求证：四边形BEDF是菱形．
证明：连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC.∵AE＝CF，∴OA＋AE＝OC＋CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形．又∵BD⊥AC，∴四边形BEDF是菱形．
◎命题角度2　补充条件证明四边形是菱形
根据题意灵活选择菱形的判定方法，合理添加条件，考查学生倒序推理的能力．
【例3】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件可以是(A)
A．AD＝CD B．AB＝AC C．∠ABC＝90° D．AC＝BD
　　　
【例4】如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件__OB＝OD__，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)
◎命题角度3　利用折纸等动手操作获取菱形
利用折纸或者叠合纸片可以得到菱形，根据题意，选择菱形的定义或判定定理进行判断．
【例5】如图，将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD是__菱形__，若AD＝6，∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积是__18__．
【例6】如图，在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处．当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形.
证明：∵AB∥DM，∴∠BAM＝∠AMD.由折叠性质，得∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，BM＝DM，∴∠DAM＝∠AMD，∴DA＝DM＝AB＝BM，∴四边形ABMD是菱形．
高效课堂　教学设计
1．理解并掌握菱形的定义及其他两个判定方法．
2．会用这些判定方法进行有关的论证和计算．
▲重点
菱形的判定方法．
▲难点
菱形判定定理的证明及运用．
◆活动1　新课导入
我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形，除此之外，还能找到其他的判定方法吗？
菱形是一个轴对称图形，具有如下的性质：(1)两条对角线互相垂直平分；(2)四条边都相等；(3)每条对角线平分一组对角．这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？
今天我们来学习菱形的判定方法．
◆活动2　探究新知
教材P57　练习下面的内容．
提出问题：
(1)除了菱形的定义外，你还有其他判定菱形的方法吗？
(2)如图，在 ABCD中，AC⊥BD，垂足为点O，求证：四边形ABCD是菱形；
(3)四条边相等的四边形是菱形吗？
(4)请归纳一下菱形的判定方法．
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
菱形的判定定理：
(1)有一组邻边__相等__的平行四边形是菱形；
(2)对角线__互相垂直__的平行四边形是菱形；
(3)四条边相等的__四边形__是菱形．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P57　例4.
例2　如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由．
解：四边形AEDF是菱形．理由如下：
∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．
∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE.
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，
∴四边形AEDF是菱形．
例3　如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)求证：AF＝DC；
(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
解：(1)∵E是AD的中点，∴AE＝ED.∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE，∴△AFE≌△DBE(AAS)，∴AF＝DB.∵AD是BC边上的中线，∴DB＝DC，∴AF＝DC；
(2)四边形ADCF是菱形．证明如下：由(1)知，AF＝DC.∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．又∵AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形．∵AD是BC边上的中线，∴AD＝BC＝DC，∴四边形ADCF是菱形．
练习
1．教材P58　练习第1，2，3题．
2．用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是(　C　)
　　　　　　
3．如图，在 ABCD中，AF，CE分别是∠BAD和∠BCD的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是__AC⊥EF(答案不唯一)__．(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)
4．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E，F分别在AC，BC上，且EF∥AB.求证：四边形EFCD是菱形．
证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，∴ED＝CD，∠A＝∠DCE＝∠BCA＝∠DEC＝60°，∴AB∥CD，DE∥CF.又∵EF∥AB，∴EF∥CD，∴四边形EFCD是平行四边形．∵ED＝CD，∴四边形EFCD是菱形．
◆活动5　课堂小结
1．菱形的判定定理．
2．运用菱形的判定定理解决问题．
1．作业布置
(1)教材P60～61　习题18.2第6，10题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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