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第2课时　函数
教师备课　素材示例
●归纳导入　1.一根弹簧原长8 cm，在弹性限度内，每挂1 kg重物，弹簧伸长0.5 cm，设所挂重物的质量为m kg，弹簧受力后的长度为l cm，根据上述信息完成下表．
m/kg 0 1 2 3 3.5 …
l/cm 8 8.5 9 9.5 9.75 …
　　弹簧受力后的长度l与所挂重物的质量m之间的关系是__l＝8＋0.5m__．
2．某市出租车的收费标准如下：起步里程为3 km，起步价为10元；超过3 km后，每千米2元．有一位乘客坐了x(x>3)km，付费y元，用含x的式子表示y为__y＝2x＋4__．
想一想：问题1、问题2中各有几个变量？同一问题中变量之间有什么联系？
【归纳】都有__两个__变量，一个变量随着另一个变量的变化而变化；当一个变量确定时，另一个变量有__唯一确定__的值与其对应．
3．如图是某地某一天的气温变化图．
观察气温变化图，分析气温与时间之间的关系．
【教学与建议】教学：出示题目，让学生在解决旧知的基础上提出问题，提高学生对新知识的求知欲．建议：让学生交流讨论问题，并且归纳问题的共同规律，导入新课.
●情景导入　意大利伟大的科学家伽利略证明了两个铁球同时落地．他站在比萨斜塔顶部，让10磅和1磅的两个铁球自由下落，在铁球下落的过程中，铁球下落的速度v随下落的时间t的变化而变化．最后两个铁球同时着地．这就是我们今天要继续学习的内容．
【教学与建议】教学：结合学生熟悉的情景导入新课，激发学生的学习兴趣．建议：让学生举例数学问题中两个变量之间的关系，认识变化过程中量之间的联系，初步体会变量间存在的特定关系．
◎命题角度1　识别变量间的函数关系
判定变量之间是函数关系的几个要素：①在一个变化过程中；②有两个变量；③一个变量的值确定后，另一个变量有唯一确定的值与它对应．
【例1】下列各关系式中，y不是x的函数的是(D)
A．y＝3－2x B．y＝x2－5 C．y＝9x D．y2＝x＋6
【例2】下列变量之间的关系中，具有函数关系的有__②③④__．(填序号)
①三角形的面积与底边长；②多边形的内角和与边数；③圆的面积与半径；④y＝2 021x＋365中的y与x.
◎命题角度2　确定自变量的取值范围
自变量的取值范围有以下几种情况：①整式和奇次根式中，自变量的取值范围是全体实数；②偶次根式中，自变量的取值范围应使被开方数大于或等于零；③分式中，自变量的取值范围应使分母不为零；④零指数幂、负整数指数幂中，自变量的取值范围应使底数不为零；⑤实际问题中，自变量除了使解析式有意义外，还要使实际问题有意义．
【例3】函数y＝＋(x－1)-2中，自变量x的取值范围是__x＜4且x≠1__．
【例4】求下列函数中自变量x的取值范围：
(1)y＝2x＋4；(2)y＝2x2；(3)y＝；(4)y＝.
解：(1)x为全体实数；(2)x为全体实数；(3)x≠2；(4)x≥3.
◎命题角度3　函数概念在实际生活中的应用
实际生活中的数量关系问题有些可以利用函数来解决，一般先根据实际问题中的叙述列出函数解析式，然后再代入自变量的取值或函数值求解．
【例5】据测定，海底扩张的速度是很缓慢的，在太平洋海底，某海沟的某处宽度为100 m，两侧的地壳向外扩张的速度是每年6 cm.假设海沟扩张速度恒定，扩张时间为x年，海沟的宽度为y m.
(1)写出海沟的宽度y(m)与海沟扩张时间x(年)之间的函数关系式；
(2)你能计算出当海沟宽度y扩张到400 m时需要多少年吗？
解：(1)根据题意，得y＝0.06x＋100；
(2)当y＝400时，0.06x＋100＝400，解得x＝5 000.
答：当海沟宽度y扩张到400 m时需要5 000年．
高效课堂　教学设计
1．理解函数的概念，会确定简单函数的关系式以及自变量的取值范围．
2．通过对实际问题的分析、对比，归纳函数的概念，在此基础上理解函数的概念．
▲重点
会确定简单函数的关系式以及自变量的取值范围．
▲难点
函数的概念．
◆活动1　新课导入
1．圆柱的体积公式V＝πr2h，V表示体积，r表示底面的半径，h表示圆柱的高，其中常量是__π__，变量是__V，r，h__．
2．
如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．
在上述例子中，每个变化过程中的两个变量，当其中一个变量变化时，另一个变量也随之发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随之确定．从今天开始，我们就开始研究和此有关的问题——函数．
◆活动2　探究新知
1．教材P73　内容．
提出问题：
(1)什么叫做自变量？如何求式子中自变量的取值范围？
(2)什么叫做函数？什么叫做函数值？
学生完成并交流展示．
2．教材P74　内容．
提出问题：
求函数自变量的取值范围应注意些什么？什么叫做函数的解析式？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有__唯一__确定的值与其对应，那么我们就说x是__自变量__，y是x的__函数__．如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的__函数值__．
2．确定函数的自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式__有意义__，而且还要注意问题的__实际意义__．
3．用关于自变量的__数学式子__表示函数与自变量之间的关系的式子叫做函数的解析式．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P73　例1.
例2　下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．
(1)一个弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体，它的原长为10 cm，挂上重物后弹簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1 kg物体，弹簧伸长0.5 cm；
(2)设一长方体盒子的高为30 cm，底面是正方形，底面边长a(cm)改变时，这个长方体的体积V(cm3)也随之改变．
解：(1)y＝10＋x，其中x是自变量，y是自变量的函数；
(2)V＝30a2，其中a是自变量，V是自变量的函数．
例3　求下列自变量的取值范围．
(1)y＝x－5；
解：x为全体实数；
(2)y＝；
解：
解得x≥1；　　(3)y＝.
解：2x－1＞0，
解得x＞.
例4　水箱内原有水200 L，7：30打开水龙头，以2 L/min的速度放水，设经t min时，水箱内存水y L.
(1)求y与t的函数关系式和自变量的取值范围；
(2)7：55时，水箱内还有多少水？
(3)几点几分水箱内的水恰好放完？
解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y＝200－2t.∵y≥0，∴200－2t≥0，解得t≤100.∴0≤t≤100；(2)∵7：55－7：30＝25(min)，∴当t＝25时，y＝200－2t＝200－50＝150.∴当7：55时，水箱内还有水150 L；(3)当y＝0时，200－2t＝0，解得t＝100，而100分＝1小时40分，7点30分＋1小时40分＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．
练习
1．教材P74～75　练习第1，2题．
2．下列各关系式中，y不是x的函数的是(　D　)
A．y＝3－2x　　B．y＝x2－5　　C．y＝9x　　D．y2＝x＋6
3．如图，当输入x＝－1时，输出y＝__－5__．
4．已知水池中有800 m3的水，每小时抽50 m3.
(1)写出剩余水的体积Q(m3)与时间t(h)之间的函数解析式；
(2)写出自变量t的取值范围；
(3)10 h后，池中还有多少水？
解：(1)Q＝800－50t；(2)∵Q≥0，∴800－50t≥0，∴0≤t≤16；(3)当t＝10时，Q＝800－50×10＝300.答：10 h后，池中还有300 m3水．
◆活动5　课堂小结
1．理解变量和常量的概念，会求问题中的变量和常量．
2．掌握函数的相关概念，会判断一个式子是不是函数．
3．会求函数的解析式及函数中自变量的取值范围；当给定函数自变量的具体数值时，会求函数的值．
1．作业布置
(1)教材P81～82　习题19.1第1，2，3，4，5题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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