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19.2.2　一次函数
第1课时　一次函数
教师备课　素材示例
●归纳导入　1.实践操作：呈现出事先准备好的弹簧和物体，弹簧的自然长度是10 cm，然后分别测量出悬挂1 kg，2 kg，3 kg，4 kg，5 kg的物体时弹簧的长度y，并完成下表，写出弹簧的长度y(cm)与悬挂物体的质量x(kg)之间的函数解析式是__y＝10＋2x__．
x/kg 1 2 3 4 5
y/cm 12 14 16 18 20
　　2.已知小明爸爸的汽车油箱有汽油60 L，根据汽车内的仪表显示，汽车每行驶50 km消耗汽油4 L，则油箱中剩余油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的函数解析式是__y＝60－0.08x(0＜x＜750)__．
汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 300
油箱中剩余油量y/L 60 56 52 48 36
　　以上两个解析式有何共同特点？这两个解析式都是y＝kx＋b形式．
【归纳】一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数．
【教学与建议】教学：让学生再次感知实际问题中蕴涵的函数关系，体会并运用函数建模思想．建议：让学生讨论实际问题中的函数解析式，并归纳一次函数的概念．
●置疑导入　身边的数学：你会选择哪种收费方式呢？
某出租车公司推出两种收费标准：
A类收费标准：不管租期多长，每辆出租车每月缴月租费1 000元，另外，每次租车按10元/h收费．
B类收费标准：没有月租费，但租车费按50元/h计算．
(1)写出每月租车费用y(元)与租车时间x(h)之间的解析式；
(2)如果公司平均每月租车需600 h，你会选择哪类收费标准？
解：(1)A类收费：y＝10x＋1 000；B类收费：y＝50x；
(2)A类．
【教学与建议】教学：采用了学生熟悉的情景，既复习了旧知识，又为学习新知识做好铺垫．建议：写出A，B两类收费标准下应缴费用与租车时间之间的解析式．导入A类收费是一次函数不是正比例函数．
◎命题角度1　识别一次函数
一次函数必须满足以下三点：①函数解析式是整式；②自变量的最高次数是1；③自变量的系数不等于0，一次函数包括正比例函数．
【例1】下列函数中，y是x的一次函数而不是正比例函数的是(B)
A．y＝－x B．y＝2x－1 C．y＝＋1 D．y＝3x2＋1
【例2】下列函数关系式：①y＝－x；②y＝－；③y＝－x2；④y＝；⑤y＝2x－1.其中是一次函数的有__①④⑤__．
◎命题角度2　正比例函数与一次函数的关系
形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数是一次函数，当b＝0时，y＝kx是正比例函数．
【例3】已知y＝(m＋1)x2-|m|＋n＋4.
(1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？
(2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？
解：(1)根据一次函数的定义，有m＋1≠0且2－|m|＝1，解得m＝1，∴m＝1，n为任意实数时，这个函数是一次函数；
(2)根据正比例函数的定义，有m＋1≠0且2－|m|＝1，n＋4＝0，解得m＝1，n＝－4，∴当m＝1，n＝－4时，这个函数是正比例函数．
◎命题角度3　从生活中建立一次函数模型
根据数量关系找到相等关系，列函数解析式是求函数解析式的一种重要题型，具体问题中需考虑自变量的取值范围．
【例4】下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是(B)
A．路程一定时，时间y和速度x的关系
B．长10 m的铁丝折成长为y m，宽为x m的长方形
C．圆的面积y与它的半径x
D．斜边长为5的直角三角形的直角边y和x
【例5】据调查，某地铁自行车存放在某星期天的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.30元，普通自行车存车费是每辆一次0.20元．若普通自行车存车数为x辆，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式为(D)
A．y＝0.10x＋800(0≤x≤4 000) 　　B．y＝0.10x＋1 200(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.10x＋800(0≤x＜4 000) 　　D．y＝－0.10x＋1 200(0≤x≤4 000)
高效课堂　教学设计
1．理解一次函数的概念，会求实际问题中的一次函数的解析式．
2．通过分析、探索现实生活中大量的具体一次函数实例，建立一次函数模型．
▲重点
一次函数的概念．
▲难点
正确理解一次函数与正比例函数的关系．
◆活动1　新课导入
某电信公司的一种通话收费标准是：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费10元；另外，每通话1 min缴费0.10元．
(1)写出每月应缴费用y(元)与通话时间x(min)之间的关系式；
(2)某用户本月通话120 min，他的费用是多少元；
(3)若某用户本月预交了200元，则该用户本月可以通话多长时间？
解：(1)y＝0.1x＋10(x≥0)；
(2)当x＝120时，y＝22；
(3)当y＝200时，x＝1 900.
◆活动2　探究新知
1．教材P89　问题2.
提出问题：
(1)海拔每升高1 km气温下降6 ℃，若升高x km，则气温下降多少摄氏度？
(2)你能用函数的解析式表示y与x的关系吗？
(3)所列函数的解析式跟正比例函数有什么不同？不同点在哪里？
学生完成并交流展示．
2．教材P90　思考．
提出问题：
(1)你能列出思考中相关函数的解析式吗？
(2)这些解析式有什么共同特征？
(3)什么样的函数叫做一次函数？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．一般地，形如__y＝kx＋b__(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数．
2．当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，所以说__正比例函数__是一种特殊的一次函数.
◆活动4　例题与练习
例1　下列函数是一次函数的是(　A　)
①y＝－3x；②y＝2x2；③y＝－2；④y＝；⑤y＝3x－1.
A．①⑤　　　　B．①④⑤　　　　C．②③　　　　D．②④⑤
例2　已知y＝(m－1)x2-|m|＋n＋3.
(1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？
(2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？
解：(1)根据一次函数的定义，得2－|m|＝1，解得m＝±1.
又∵m－1≠0，即m≠1，∴当m＝－1，n为任意实数时，y是x的一次函数；
(2)根据正比例函数的定义，得2－|m|＝1，n＋3＝0，解得m＝±1，n＝－3.
又∵m－1≠0，即m≠1，∴当m＝－1，n＝－3时，y是x的正比例函数．
例3　某手机专卖店营业员的工资标准规定如下：
　
(1)写出每月工资总额y(元)与销售手机部数x(部)之间的关系式；
(2)营业员小芳本月销售手机30部，她本月的工资总额是多少元？
(3)若小芳的月工资总额要达到1 500元以上(含1 500元)，问她至少要销售手机多少部？
解：(1)y＝15x＋600；
(2)她本月的工资总额是1 050元；
(3)至少要销售手机60部．
练习
1．教材P90～91　练习第1，2，3题．
2．下列关系中，y是x的一次函数的是(　B　)
A．在匀速运动过程中，路程一定时，时间y和速度x的关系
B．长10 m的铁丝折成长为y，宽为x的长方形
C．圆的面积y与它的半径x
D．斜边长为5的直角三角形的直角边y和x
3．已知y＝(m＋1)x2-|m|＋4，当m＝__1__时，y是x的一次函数．
4．写出下列各题中y与x的函数关系式，并判断y是否是x的一次函数？
(1)某村耕地面积为106 m2，该村人均占有耕地面积y(m2/人)与人数x(人)之间的函数关系；
(2)地面气温为28 ℃，如果高度升高1 km，气温下降5 ℃，气温x(℃)与高度y(km)之间的函数关系．
解：(1)根据题意，得y＝，不是一次函数；
(2)根据题意，得28－5y＝x，则y＝－x＋，是一次函数．
◆活动5　课堂小结
1．一次函数的概念．
2．正比例函数和一次函数的关系．
3．根据实际问题列一次函数的解析式．
1．作业布置
(1)教材P99　习题19.2第3题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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