资源简介

19.3　课题学习　选择方案
教师备课　素材示例
●悬念激趣　某学校计划在总费用2 300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表．
甲种客车 乙种客车
载客量/(人/辆) 45 30
租金/(元/辆) 400 280
　　班长李亮说：(1)共需租多少辆汽车？
(2)最节省的租车费用是2 160元，你能说出理由吗？
解：(1)∵(234＋6)÷45＝5(辆)……15(人)，只有6名教师，
∴汽车总数不能大于6.即共需租6辆汽车；
(2)设租乙种客车需x辆，则租甲种客车为(6－x)辆．
由题意，得解得≤x≤2.
∵x是整数，∴x＝1或x＝2.
当x＝1时，租车费用为2 280元；当x＝2时，租车费用为2 160元，
∴租甲种客车4辆，乙种客车2辆时费用最低，最低费用为2 160元．
【教学与建议】教学：利用生活中的现实问题引入新课，使学生感受数学的应用价值．建议：引导学生分析、找出解决问题的方法．
●置疑导入　小刚和父亲一起去灯具店买灯具．灯具店老板介绍说：一种节能灯的功率是10瓦(即0.01千瓦)，售价为60元；一种白炽灯的功率是60瓦(即0.06千瓦)，售价为3元．两种灯的照明效果是一样的，使用寿命也相同(3 000小时以上)．父亲说：“买白炽灯可以省钱．”而小刚在心里默算了一下说：“买节能灯省钱．”父子两人争执不下．如果当地电费为0.5元/千瓦·时．
问题1：节省指哪种灯的总费用最少？
问题2：灯的总费用＝__灯的售价＋电费__；电费＝__0.5×灯的功率×照明时间__．
问题3：设照明时间为x h，节能灯费用用y1表示，白炽灯费用用y2表示，则y1＝__60＋0.5×0.01x__，y2＝__3＋0.5×0.06x__．
问题4：若y1＞y2，则__x＜2_280__；若y1＝y2，则__x＝2_280__；若y1＜y2，则__x＞2_280__.因为两种灯的照明效果是一样的，使用寿命也相同(3 000小时以上)，所以买__节能灯__可以省钱．
【教学与建议】教学：教师由问题渗透本节课所学内容．建议：教师引导学生根据省钱原则选择方案，将实际问题转化为数学模型．
◎命题角度1　运用一次函数解决方案问题
先从实际问题中抽象出函数模型，然后再通过讨论函数值的大小关系构造方程或不等式，并求出方程的解或不等式的解集，最后写出答案．
【例1】某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同，以每月用车路程x(km)计算，甲汽车租赁公司每月收取的租赁费为y1(元)，乙汽车租赁公司每月收取的租赁费为y2(元)．若y1，y2与x之间的函数关系如图所示，其中x＝0对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断错误的是(D)
A.当月用车路程为2 000 km时，两家汽车租赁公司租赁费用相同
B．当月用车路程为2 300 km时，租赁乙汽车租赁公司的车比较合算
C．除去月固定租赁费，甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多
D．甲租赁公司平均每公里收取的费用比乙租赁公司少
【例2】某剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影剧院制定了两种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款．
某校有4名老师与若干名(不少于4人)学生听音乐会．
(1)设学生人数为x(人)，付款总金额为y(元)，分别建立两种优惠方案中y与x的函数解析式；
(2)请计算并确定出最节省费用的购票方案．
解：(1)按优惠方案1可得，y1＝20×4＋(x－4)×5＝5x＋60(x≥4).
按优惠方案2可得，y2＝(5x＋20×4)×90%＝4.5x＋72(x≥4)；
(2)y1－y2＝0.5x－12(x≥4).
①当y1－y2＝0时，0.5x－12＝0，解得x＝24，
∴当x＝24时，两种优惠方案付款一样多；
②当y1－y2＜0时，0.5x－12＜0，解得x＜24，
∴当4≤x＜24时，y1＜y2，优惠方案1付款最少；
③当y1－y2＞0时，0.5x－12＞0，解得x＞24，
∴当x＞24时，y1＞y2，优惠方案2付款最少．
◎命题角度2　运用一次函数解决最优化问题
利用一次函数解决最优化问题，根据题意写出对应的函数解析式，再根据比例系数k的符号，结合自变量的取值范围，得到函数的最值．
【例3】一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
会员年卡类型 办卡费用(元) 每次游泳收费(元)
A类 50 25
B类 200 20
C类 400 15
例如：购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50＋25×20＝550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为(C)
A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡
C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡
【例4】某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润(元)如下表．
空调机 电冰箱
甲连锁店 200 170
乙连锁店 160 150
　　设集团调配给甲连锁店x台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y(元)．
(1)求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
(2)为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？
解：(1)根据题意知，调配给甲连锁店电冰箱(70－x)台，调配给乙连锁店空调机(40－x)台，电冰箱(x－10)台，则y＝200x＋170(70－x)＋160(40－x)＋150(x－10)，即y＝20x＋16 800(10≤x≤40)；
(2)由题意知y＝(20－a)x＋16 800.∵200－a＞170，∴a＜30.当0＜a＜20时，x＝40时，总利润最大，即调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调机0台，电冰箱30台；当a＝20时，x的取值在10≤x≤40内的所有方案利润相同；当20＜a＜30时，x＝10时，总利润最大，即调配给甲连锁店空调机10台，电冰箱60台，乙连锁店空调机30台，电冰箱0台．
高效课堂　教学设计
1．利用一次函数知识选择最佳方案解决问题．
2．通过对怎样选择上网收费方式和怎样租车两个问题的探究，体会如何运用一次函数选择最佳方案．
▲重点
在实际问题情境中，应用一次函数知识解题．
▲难点
建立一次函数的模型，解决最佳方案问题．
◆活动1　新课导入
1．回顾一次函数的性质和一次函数与方程、不等式之间的关系．
2．一次函数y＝5x＋435，当x＝1时，y＝__440__，当x＝14时，y＝__505__，y随x的增大而__增大__．
3．y1＝－x＋2，y2＝3x－4，当x＝____时，y1＝y2；当x__＜__时，y1＞y2；当x__＞__时，y1＜y2.
前面我们学习了一次函数的图象、性质与一元一次方程，一元一次不等式，二元一次方程组之间的联系，这节课我们一起来学习一次函数在实际生活中的应用，解决方案问题．
◆活动2　探究新知
1．教材P102　问题1.
提出问题：
(1)哪种方式的上网费用会发生变化？哪种不变？
(2)在A，B两种上网方式中，上网费用由哪些部分组成？
(3)影响超时费的变量是什么？
(4)你能计算出不同的收费方式在哪些时间段最省钱吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P103　问题2.
提出问题：
(1)怎样租车？你能得出几种不同的租车方案？
(2)为节省费用，应选择其中哪个方案？请说明理由．
(3)在解决方案选择的问题时，选择的依据是什么？要注意些什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．做一件事情，有时有不同的__实施方案__．比较这些方案，从中选择__最佳方案__作为行动计划是非常必要的．用数学方法选择方案一般可分为三步：一是构建函数模型，找出__变量__；二是确定自变量的__取值范围__或是针对自变量的取值进行讨论；三是由函数的性质(或是经过比较后)直接得出__最佳__方案．
2．解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为__自变量__．然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的__函数__，以此作为解决问题的数学模型．
◆活动4　例题与练习
例1
　某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲、乙两厂的印刷费用 y(千元)与证书数量x(千个)的函数关系图象分别如图所示，下列说法：①甲厂的制版费为1千元；②当印制证书4千个时，选择乙厂印刷节省费用；③当印制证书8千个时，选择乙厂印刷节省费用．其中正确的有(　C　)
A．0个　　　　　B．1个　　　　　C．2个　　　　　D．3个
例2　某灾情发生后，某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100 t到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满．根据表中提供的信息，解答下列问题：
物资种类 食品 药品 生活用品
每辆汽车运载量(t) 6 5 4
每吨所需运费(元/t) 120 160 100
　　(1)设装运食品的车辆数为x辆，装运药品的车辆数为y辆．求y与x的函数关系式；
(2)如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；
(3)在(2)的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？并求出最少总运费.
解：(1)根据题意，装运食品的车辆数为x辆，装运药品的车辆数为y辆，那么装运生活用品的车辆数为(20－x－y)辆，则有6x＋5y＋4(20－x－y)＝100，
整理，得y＝－2x＋20；
(2)由(1)知，装运食品、药品、生活用品三种物资的车辆数分别为x，20－2x，x.由题意，得解得5≤x≤8.
∵x为整数，∴x的值为5，6，7，8，∴安排方案有4种：
方案一：装运食品5辆、药品10辆、生活用品5辆；
方案二：装运食品6辆、药品8辆、生活用品6辆；
方案三：装运食品7辆、药品6辆、生活用品7辆；
方案四：装运食品8辆、药品4辆、生活用品8辆；
(3)设总运费为W元，则W＝6x×120＋5(20－2x)×160＋4x×100＝16 000－480x.
∵k＝－480＜0，
∴W的值随x的增大而减小．要使总运费最少，需x最大，则x＝8.
故选方案四，W最小＝16 000－480×8＝12 160.
答：应采用方案四，最少总运费为12 160元．
练习
1．国际蔬菜科技博览会开幕，学校将组织360名师生乘车参观．某客车出租公司有两种客车可供选择：甲种客车每辆40个座位，租金400元；乙种客车每辆50个座位，租金480元，则租用该公司客车最少需付租金__3_520__元．
2．某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润(元)如下表：
空调机 电冰箱
甲连锁店 200 170
乙连锁店 160 150
　　设集团调配给甲连锁店x台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y(元)．
(1)求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
(2)为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？
解：(1)根据题意知，调配给甲连锁店电冰箱(70－x)台，调配给乙连锁店空调机(40－x)台，电冰箱(x－10)台，则y＝200x＋170(70－x)＋160(40－x)＋150(x－10)，
即y＝20x＋16 800(10≤x≤40)；
(2)由题意知，y＝(20－a)x＋16 800.
∵200－a＞170，∴a＜30.
当0＜a＜20时，x＝40时，总利润最大，即调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调机0台，电冰箱30台；
当a＝20时，x的取值在10≤x≤40内的所有方案利润相同；
当20＜a＜30时，x＝10时，总利润最大，即调配给甲连锁店空调机10台，电冰箱60台，乙连锁店空调机30台，电冰箱0台．
◆活动5　课堂小结
掌握运用一次函数解决方案问题的步骤和方法．
1．作业布置
(1)教材P109　复习题19第13，14，15题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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