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第4课时　一次函数的应用
教师备课　素材示例
●情景导入　某通信公司手机话费的收取有A套餐(月租费12元，通话费为0.1元/min)和B套餐(月租费0元，通话费为0.20元/min)两种．设A套餐每月话费为y1(元)，B套餐每月话费为y2(元)，月通话时间为x(min).
(1)分别表示出y1，y2与x之间的函数解析式；
(2)月通话时间为多长时，A，B两种套餐收费一样？
(3)什么情况下A套餐更省钱？
解：(1)y1＝0.1x＋12；y2＝0.20x；
(2)y1＝y2，即0.1x＋12＝0.20x，解得x＝120；
(3)y1＜y2，即0.1x＋12＜0.20x，解得x＞120.
【教学与建议】教学：通过现实问题引发学生对数学问题的思考，让学生感受生活中的数学无处不在．建议：用函数的方式表示话费，可以用多种形式表示函数，这样方便学生比较话费的多少．
●置疑导入　某航运公司年初用140万元购进一艘运输船，在投入运输后，每一年的总收入为62万元，需要支出的各种费用为30万元．
(1)设运输x年后，盈利为y万元，y与x之间的函数解析式是__y＝32x－140__；(不必写出自变量的取值范围)
(2)该船运输__5__年后开始盈利．
【教学与建议】教学：设置现实情境，启发学生利用所学知识解决实际问题．建议：首先弄清楚数量之间的关系，以及关键词的含义，根据数量关系列出函数解析式，进一步转化为不等式进行解答，最后根据实际意义确定结果．
◎命题角度1　分配方案问题(一次函数的实际应用)
分配方案问题经常和二元一次方程组、费用最低的问题结合在一起，解题的方法是构造有关费用的函数，然后根据函数的增减性求得费用最低时对应的自变量的值．
【例1】A城有肥料200 t，B城有肥料300 t，现要把这些肥料全部运往C，D两乡，从A城往C，D两乡运肥料费用分别为每吨20元和25元；从B城往C，D两乡运肥料费用分别为每吨15元和24元．已知C乡需要肥料240 t，D乡需要肥料260 t，怎样调运总运费最少？
解：设从A城运往C乡x t肥料，那么A城运往D乡(200－x)t，B城运往C乡(240－x)t，B城运往D乡[260－(200－x)]t.根据题意，得y费用 ＝20x＋25(200－x)＋15(240－x)＋24[260－(200－x)]＝4x＋10 040(0≤x≤200).∵k＝4＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝0时，y最小＝10 040.答：从A城运往C乡0 t，运往D乡200 t，从B城运往C乡240 t，运往D乡60 t，此时总费用最少，为10 040元．
◎命题角度2　销售问题(一次函数的实际应用)
销售问题通常的解题方法是构造销售类的函数，并结合自变量的取值范围和函数的增减性解决问题，销售问题中的相等关系是总价＝单价×数量(质量)．
【例2】小明在暑期社会实践活动中，从批发市场购进若干荔枝到市场上去销售，在销售了40 kg之后，余下的荔枝降价全部售完，销售金额y(元)与售出荔枝的重量x(kg)之间的关系如图所示．请根据图象提供的信息完成以下问题：
(1)①降价前售出荔枝的单价为__16__元/kg；
②降价前销售金额y(元)关于售出荔枝的重量x(kg)的函数解析式为__y＝16x__；
(2)降价后的价格是多少？降价多少元？
(3)小明销售了46 kg，销售金额是多少元？
解：(2)(760－640)÷(50－40)＝12(元/kg)，16－12＝4(元).
答：降价后的价格为12元/kg，降价4元；
(3)设降价后的函数解析式为y＝kx＋b.把(40，640)，(50，760)代入函数解析式，得解得
∴函数解析式为y＝12x＋160.把x＝46代入上式，得y＝712.
答：小明销售了46 kg，销售金额是712元．
◎命题角度3　行程问题(一次函数的实际应用)
行程问题中的相等关系是路程＝速度×时间，解题的方法是：根据相等关系建立函数模型，结合函数图象，分析题意．
【例3】“五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家170 km的某地，如图是他们离家的距离y(km)与汽车行驶时间x(h)之间的函数图象．当他们离目的地还有20 km时，汽车一共行驶的时间是(C)
A．2 h B．2.2 h C．2.25 h D．2.4 h
　　　
【例4】钓鱼岛自古就是中国领土，中国政府已对钓鱼岛开展常态化巡逻．某天，为按计划准点到达指定海域，某巡逻艇凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，该艇加快速度仍匀速前进，结果恰好准点到达．如图是该艇行驶的路程y(n mile)与所用时间t(h)的函数图象，则该巡逻艇原计划准点到达的时刻是__7：00__．
高效课堂　教学设计
1．能通过函数图象获取信息，发挥形象思维．
2．利用一次函数的图象与性质解决实际问题．
▲重点
正确建立一次函数模型，利用图象和性质解决简单的实际问题．
▲难点
正确建立一次函数模型，正确表示分段函数．
◆活动1　新课导入
1．回顾一次函数的图象和性质．
2．若一次函数y＝(m－3)x＋5的函数值y随x的增大而增大，则(　C　)
A．m＞0　　　B．m＜0　　　C．m＞3　　　D．m＜3
前面我们学习了一次函数的概念、图象、性质及一次函数解析式的求法，今天我们将学习用一次函数解决实际问题．
◆活动2　探究新知
教材P94　例5.
提出问题：
(1)请完成表19 11；
(2)第(2)问中求函数解析式时，为何要分情况讨论？
(3)请分别求出当0≤x≤2及x＞2时的函数解析式，y与x的函数解析式能否合起来表示？合起来表示要注意什么？
(4)所画出的函数图象是一条直线吗？由几部分构成？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．在实际问题中经常抽象出函数的__解析式__和__图象__，我们要利用函数的__解析式__和__图象__性质来解决实际问题．
2．在某一变化过程中，随着自变量在不同范围内的取值，函数值有不同的变化规律，这类函数称为__分段函数__．
3．在解决分段函数问题时，要特别注意相应的自变量__取值范围__的划分，要准确而又符合实际．
◆活动4　例题与练习
例1　一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4 min内只进水不出水，在随后的8 min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y(L)与时间x(min)之间的关系如图所示．
(1)当4≤x≤12时，求y关于x的函数解析式；
(2)直接写出每分钟进水、出水各多少升．
解：(1)y＝x＋15(4≤x≤12)；
(2)每分钟进水5 L，每分钟出水3.75 L．
例2　某社区活动中心准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x≥2)个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A，B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：
A超市：所有商品均打九折(按标价的90%)销售；
B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA(元)，在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB(元).请解答下列问题：
(1)分别写出yA，yB与x之间的关系式；
(2)若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
(3)若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．
解：(1)由题意，得yA＝(10×30＋3×10x)×0.9＝27x＋270，yB＝10×30＋3(10x－2×10)＝30x＋240；(2)当yA＝yB时，27x＋270＝30x＋240，解得x＝10；当yA＞yB时，27x＋270＞30x＋240，解得x＜10，∵x≥2，∴2≤x＜10；当yA＜yB时，27x＋270＜30x＋240，解得x＞10.综上所述，当2≤x＜10时，到B超市购买更划算；当x＝10时，两家超市费用相同；当x＞10时，在A超市购买更划算；(3)由题意知，x＝15.∵15＞10，∴只在一家超市购买时，选择A超市划算，yA＝27×15＋270＝675(元).在两家超市购买时，先选择B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，然后在A超市购买剩下的羽毛球：(10×15－20)×3×0.9＝351(元)，共需要费用10×30＋351＝651(元).∵651元＜675元，∴最佳方案是先选择B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球．
练习
1．教材P95　练习第2题．
2．
“五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家170 km的某地，如图是他们离家的距离y(km)与汽车行驶时间x(h)之间的函数图象．当他们离目的地还有20 km时，汽车一共行驶的时间是(　C　)
　A．2 h　　　B．2.2 h　　　C．2.25 h　　　D．2.4 h
3．某水库的水位在5 h内持续上涨，初始的水位高度为6 m，水位以每小时0.3 m的速度匀速上升，则水库的水位高度y m与时间x h(0≤x≤5)的函数关系式为__y＝6＋0.3x__．
4．
如图，在长方形ABCD中，AB＝4 cm，AD＝10 cm，动点P由点A(起点)沿折线ABCD向点D(终点)移动，设点P移动的路程为x(cm)，△DAP的面积为S(cm2)，试写出S与x之间的函数关系式，并画出其函数图象．
解：①当点P在AB上由点A向点B移动时，S＝5x(0＜x＜4)；②当点P在BC上由点B向点C移动时，S＝20(4≤x＜14)；③当点P在CD上由点C向点D移动时，S＝90－5x(14≤x＜18).综上所述，S＝其图象如图．
◆活动5　课堂小结
1．一次函数的实际应用．
2．利用一次函数解决分段函数问题．
1．作业布置
(1)教材P99　习题19.2第9，11题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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