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19.2.3　一次函数与方程、不等式
教师备课　素材示例
●类比导入　问题1
(1)解方程3x－6＝0；
(2)当自变量x为何值时，一次函数y＝3x－6的函数值为0
(3)从上述两个问题中，你能发现一次函数与一元一次方程的关系吗？
(4)画出函数y＝3x－6的图象，并确定它与x轴的交点坐标．
从数的角度看：一元一次方程3x－6＝0的解是一次函数y＝3x－6的函数值为__0__时x的值．
从形的角度看：一元一次方程3x－6＝0的解是一次函数y＝3x－6的图象与__x__轴交点的横坐标．
问题2
(1)解不等式：3x－4>0；
(2)当自变量x为何值时，一次函数y＝3x－6的函数值大于0
(3)观察函数y＝3x－6的图象，回答问题：
当x__＞2__时，y＝3x－6>0，当x__＜2__时，y＝3x－6<0.
从数的角度看：一元一次不等式3x－6>0的解集是一次函数y＝3x－6中函数值__大于__0时x的取值范围．
从形的角度看：解一元一次不等式3x－6>0(或3x－6<0)可以看作是求一次函数y＝3x－6的图象在x轴的__上方__(或__下方__)时点的__横__坐标的取值范围．
从以上过程中可以看出，一次函数与方程、不等式有着密切的关系，这就是我们这节课要学习的内容——一次函数与方程、不等式．
【教学与建议】教学：类比方程、不等式与函数，找到方程、不等式和函数之间的联系．建议：在比较方程、不等式和函数时，要从数与形两个角度去比较，同时可以借助几何画板直观演示函数图象．
●复习导入　(1)按照“列表——描点——连线”的步骤画出一次函数y＝x＋2的图象；
(2)观察一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点，指出当y＝0时，自变量x的取值是多少？它与方程x＋2＝0的解相同吗？它们之间有什么联系？
(3)观察一次函数y＝x＋2的图象在x轴上方的部分，这些点的纵坐标的符号是怎样的？
(4)观察一次函数y＝x＋2的图象在x轴下方的部分，这些点的纵坐标的符号是怎样的？
【教学与建议】教学：复习一次函数的图象和性质，与方程、不等式建立起联系．建议：用描点法画一次函数图象时，可以多列出几组数对，发挥数形结合思想的优势．
◎命题角度1　利用一次函数图象求一元一次方程的解
如果一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点坐标为(m，0)，那么关于x的一元一次方程kx＋b＝0的解为x＝m.
【例1】直线y＝ax＋b(a≠0)过点A(0，－1)，B(－2，0)，则关于x的方程ax＋b＝0的解为(C)
A．x＝0 B．x＝－1 C．x＝－2 D．x＝3
【例2】如图，已知直线y＝ax－b，则关于x的方程ax－b＝1的解是__x＝4__．
　　　　　　
◎命题角度2　利用一次函数图象求一元一次不等式的解集
关于x的一元一次不等式ax＋b>0的解集为直线y＝ax＋b在x轴上方的部分对应的x的取值范围；关于x的一元一次不等式ax＋b<0的解集为直线y＝ax＋b在x轴下方的部分对应的x的取值范围．
【例3】如图是一次函数y＝kx＋b的图象，当y＜2时，x的取值范围是(C)
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜3 D．x＞3
【例4】如图，直线l1：y＝x＋6与直线l2：y＝－x－2交于点P(－2，3)，则不等式x＋6＞－x－2的解集是(A)
A．x＞－2 B．x≥－2 C．x＜－2 D．x≤－2
◎命题角度3　利用两个一次函数图象求二元一次方程组的解
如果两个一次函数图象的交点坐标为(m，n)，那么由交点坐标得到由这两个一次函数解析式组成的方程组的解为
【例5】方程组没有解，由此可知一次函数y＝2－x与y＝－x的图象必定(B)
A．重合 B．平行 C．相交 D．无法判断
【例6】在平面直角坐标系中，直线y＝3x＋6与直线y＝2x－4的交点坐标为(－10，－24)，则方程组的解为____．
◎命题角度4　利用一次函数与方程、不等式的联系解决实际问题
【例7】某电信公司给顾客提供上网费有两种计算方式，方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基本费20元外，再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费．设上网时间为x min，所需费用为y元．用函数方法解答何时两种计费方式费用相等．
解：yA＝0.1x；yB＝0.05x＋20.函数图象如图所示，
∴当每月上网时间为400 min时，两种计费方式费用相等．
【例8】甲、乙两人分别从两地出发相向而行，甲先出发．如图，l1，l2表示两人离A地的距离s(km)与时间t(h)的关系，请结合图象解答下列问题：
(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是__l2__(选填“l1”与“l2”)；甲的速度是__30__km/h，乙的速度是__20__km/h；
(2)甲出发多少小时后，两人恰好相距5 km
解：设甲出发x h后，两人恰好相距5 km.由题意，得30x＋20(x－0.5)＋5＝60或30x＋20(x－0.5)－5＝60，解得x＝1.3或1.5.答：甲出发1.3 h或1.5 h后，两人恰好相距5 km.
◎命题角度5　利用一次函数与方程、不等式的联系解决与几何知识有关的综合应用问题
求两直线与坐标轴围成的三角形的面积是一次函数与方程、不等式中常常设置的问题，求一次函数与x轴的交点坐标时令y＝0，求与y轴的交点坐标时令x＝0，再利用坐标的几何意义求解．
【例9】直角坐标系中有两条直线：y＝x＋，y＝－x＋6，它们的交点为P，第一条直线交x轴于点A，第二条直线交x轴于点B.
(1)求A，B两点的坐标；
(2)用图象法解方程组
(3)求△PAB的面积．
解：(1)令y＝0，则x＋＝0，解得x＝－3，所以点A的坐标为(－3，0).令－x＋6＝0，解得x＝4，所以点B的坐标为(4，0)；
(2)如图，方程组的解是
(3)AB＝4－(－3)＝7，S△PAB＝×7×3＝.
高效课堂　教学设计
1．掌握一次函数与方程、不等式之间的关系．
2．综合运用一次函数与方程、不等式之间的关系解决问题．
▲重点
用一次函数解一元一次方程、一元一次不等式．
▲难点
理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系．
◆活动1　新课导入
1．已知函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与y轴交点的纵坐标为－2，且当x＝2时，y＝1，那么此函数的解析式为__y＝x－2__．
2．一次函数y＝x－2与x轴交点的坐标是__(2，0)__，一元一次方程x－2＝0的解是__x＝2__，想一想，这二者之间有什么联系．
◆活动2　探究新知
1．教材P96　第1个思考．
提出问题：
(1)从形态上看，y＝2x＋1和2x＋1＝0有什么差别？
(2)直线y＝2x＋1与x轴的交点的横坐标是方程2x＋1＝0的解吗？为什么？
(3)一次函数和一元一次方程有什么联系？
学生完成并交流展示．
2．教材P96　第2个思考．
提出问题：
(1)你能解思考中的三个不等式吗？
(2)画出直线y＝3x＋2的图象，请在图象上找出当y大于2、小于0、小于－1时，x分别在哪个范围内？
(3)比较(1)和(2)的结果，你有什么发现？
学生完成并交流展示．
3．教材P97　问题3.
提出问题：
(1)两个气球所在的海拔高度与上升时间有什么关系？你能用函数表示吗？
(2)两个气球在某个时刻能否处于同一高度？为什么？
(3)由此你能发现什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．一次函数与一元一次方程的关系：
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为__ax＋b＝0__(a≠0)的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为__0__时，求自变量x的值．
2．一次函数与一元一次不等式的关系：
因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为__ax＋b＞0__或__ax＋b＜0__(a≠0)的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数__y＝ax＋b__的值大于__0__或小于__0__时，求自变量x的__取值范围__．
3．一次函数与二元一次方程(组)的关系：
(1)一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写成y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个__一次函数__，也对应一条__直线__，这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解；
(2)由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个__一次函数__，也对应两条直线，从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线的__交点__坐标．
◆活动4　例题与练习
例1　已知一次函数y＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)中，x与y的部分对应值如下表，那么关于x的方程ax＋b＝0的解是多少？
x －1 0 1 2 3 …
y 6 4 2 0 －2 …
　　解：x＝2.
例2　
对照图象，请回答下列问题：
(1)当x取何值时，2x－5＝－x＋1
(2)当x取何值时，2x－5＞－x＋1
(3)当x取何值时，2x－5＜－x＋1
解：(1)由图象可知，直线y＝2x－5与直线y＝－x＋1的交点的横坐标是2，∴当x＝2时，2x－5＝－x＋1；(2)由图象可知，当x＞2时，2x－5＞－x＋1.(3)由图象可知，当x＜2时，2x－5＜－x＋1.
例3　直角坐标系中有两条直线：y＝x＋，y＝－x＋6，它们的交点为P，第一条直线交x轴于点A，第二条直线交x轴于点B.
(1)求A，B两点的坐标；
(2)用图象法解方程组
(3)求△PAB的面积．
解：(1)令y＝0，则x＋＝0，解得x＝－3，∴点A的坐标为(－3，0)，令y＝0，则－x＋6＝0，解得x＝4，∴点B的坐标为(4，0)；(2)结合图象，得方程组的解是(3)AB＝4－(－3)＝7，∴S△PAB＝×7×3＝.
练习
1．教材P98　练习．
2．已知函数y＝kx＋b，当x＞5时，y＜0；当x＜5时，y＞0，则y＝kx＋b的图象必经过点(　B　)
　A．(0，5)　　　B．(5，0)　　　C．(－5，0)　　　D．(0，－5)
3．若直线y＝3x－1与y＝x－k的交点在第四象限，则k的取值范围为__＜k＜1__．
4．一次函数l1：y1＝－x－和l2：y2＝2x＋1的图象如图所示．
(1)求交点坐标；
(2)求方程组的解；
(3)当y1＞y2时，求x的取值范围；
(4)求不等式－x－≤2x＋1的解集．
解：(1)(－1，－1)；(2)(3)x＜－1；(4)x≥－1.
◆活动5　课堂小结
1．一次函数与方程、不等式之间的关系．
2．综合运用一次函数与方程、不等式之间的关系解决问题．
1．作业布置
(1)教材P99　习题19.2第8，13题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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