资源简介

5.1.2　垂线
第1课时　垂线
第2课时　垂线段
教师备课　素材示例
●置疑导入　
学生事先准备两张细长硬纸条，图钉一个．
操作：学生用图钉在中间把两张纸钉在一起，可以把两张纸条看作是两条直线，观察两条直线相交有几个交点？
转动纸条，观察并思考：两条直线相交所构成的四个角能否相等？这两条直线的位置关系是什么？
【教学与建议】教学：操作实践体现垂直在生活中的应用，调动学生学习的积极性．建议：让学生体会“垂直”含义，从而得出垂直的概念及特征．
●复习导入　如图，观察图形并填空：
　　
(1)如图①，直线AB与直线CD相交于点O，其中对顶角分别为__∠AOD和∠BOC，∠AOC和∠BOD__；邻补角分别为__∠AOD和∠AOC，∠AOC和∠BOC，∠BOC和∠BOD，∠BOD和∠AOD__；
(2)图①中，当直线AB绕点O逆时针旋转到∠AOC＝90°时(如图②)，∠BOC＝__90°__，∠BOD＝__90°__，∠AOD＝__90°__，则直线AB，CD__互相垂直__，记作__AB⊥CD__，垂足为点__O__．
【教学与建议】教学：通过对相交线的复习导入两条直线垂直的位置关系，体现由一般到特殊的认识过程．建议：通过学生画图、旋转相交线模型等方式形象直观地展现两直线相交的特殊情况，归纳出垂线的概念及特征．
命题角度1　垂线的画法
用三角尺画垂线：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，沿直线左右移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．用量角器画垂线：让量角器的0刻度线与已知直线重合，点位于90度线上，画出90度线所在的直线即可．
【例1】过点A画线段BC所在直线的垂线，其中正确的是(D)
　　　　　　
【例2】如图，钝角∠AOB中，点D在射线OA上．
(1)画直线DC⊥OB，垂足为C；
(2)画直线DF⊥OA.
解：(1)(2)如图．
命题角度2　垂线的性质
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
【例3】下列说法正确的有__①②__．
①在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
③在同一平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线；
④在同一平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．
【例4】如图，已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，其理由是__在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直__．
命题角度3　点到直线的距离的应用
点到直线的距离指点到直线的垂线段的长度，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段的长度最短．
【例5】如图，307国道a上有一出口M，现想在附近公路b旁建一个加油站，欲使通道长最短，应沿怎样的线段施工？
解：如图，过点M作MN⊥b，垂足为N，欲使通道最短，则应沿线路MN施工．
命题角度4　利用垂线的定义求角的度数
根据垂直的定义可得一个或几个角是90°，结合对顶角、邻补角的性质、角平分线的定义及余角、补角的性质等，求角的度数．
【例6】在直线AB上取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数为(D)
A．60° B．90° C．120° D．60°或120°
【例7】如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC.
(1)若∠EOC＝80°，求∠BOD的度数；
(2)若∠EOC＝∠EOD，求∠BOD的度数．
解：(1)∵OA平分∠EOC，∴∠AOC＝∠EOC＝×80°＝40°，∴∠BOD＝∠AOC＝40°；
(2)∵∠EOC＋∠EOD＝180°，∠EOC＝∠EOD，∴∠EOC＝90°，∴∠AOC＝∠EOC＝×90°＝45°，∴∠BOD＝∠AOC＝45°.
命题角度5　利用垂直的定义判定两直线垂直
由垂直的定义，可知要判定两直线垂直，只要找到两条直线相交时四个夹角中有一个角是直角．
【例8】小红在学习垂线时遇到了这样一个问题，请你帮她解决：如图，线段AB和CD相交于点O，有下列条件：①∠AOC＝90°；②∠BOC＝90°；③∠AOC＝∠BOD；④∠AOC＝∠BOC.其中能说明AB⊥CD的是__①②④__．(填序号)
【例9】如图，已知DO⊥CO，∠1＝36°，∠3＝36°.
(1)求∠2的度数；
(2)AO与BO垂直吗？说明理由．
解：(1)∵DO⊥CO，∴∠DOC＝90°.∵∠1＝36°，∴∠2＝90°－36°＝54°；
(2)AO⊥BO.理由如下：∵∠3＝36°，∠2＝54°，∴∠3＋∠2＝90°，即∠AOB＝90°，∴AO⊥BO.
高效课堂　教学设计
1．能结合具体图形理解垂直的概念，能经过一点画已知直线的垂线．
2．通过画图，理解垂直公理及“垂线段最短”这个公理．
3．理解点到直线的距离这一重要概念．
▲重点
垂直定义、垂直公理的理解与运用．
▲难点
点到直线的距离与垂线段的区别与联系．
◆活动1　新课导入
展示图片，回答问题：
　　　
大家都看到过跳水比赛，上面几幅图片中是几种不同的入水方式，你知道哪个图片中运动员获得的分数最高吗？在获得分数最高的图片中，你知道运动员的身体和水面之间的关系吗？
◆活动2　探究新知
1．教材P3～4　部分内容．
提出问题：
(1)在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b，当a，b所成的∠α＝90°时，a，b有什么关系？
(2)在图5.1 5中，当∠AOD＝90°时，∠AOC等于多少度？∠BOC等于多少度？∠BOD等于多少度？
(3)在图5.1 5中，如果直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝90°，那么AB⊥CD.反过来，如果AB⊥CD，那么∠AOC等于多少度？
(4)垂直与相交有什么关系？什么叫垂线？什么叫垂足？
学生完成并交流展示．
2．教材P4　探究．
提出问题：
(1)如何利用三角板过一点作已知直线的垂线？
(教师可根据口诀“一靠、二动、三画”引导学生完成)
(2)通过画图，你认为过一点作已知直线的垂线，能作几条？
学生完成并交流展示．
3．教材P5　探究．
提出问题：
(1)观察图5.1 9，你能用哪些方法说明线段PO最短？
(2)你从中能得出什么结论？
(3)垂线段和点到直线的距离有哪些区别和联系？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．如图，直线a，b相交于点O，当夹角为__90°__时，称a与b互相垂直，记作__a⊥b__，其中的一条直线叫做另一条直线的__垂线__，它们的交点O叫做__垂足__．
2．垂线的性质：
(1)在同一平面内，过一点有且只有__一__条直线与已知直线垂直；
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，__垂线段__最短．简单说成：__垂线段最短__．
3．直线外一点到这条直线的__垂线段的长度__，叫做点到直线的距离．
◆活动4　例题与练习
例1　(1)如图①，过点P画AB的垂线；
(2)如图②，过点P分别画OA，OB的垂线；
(3)如图③，过点A画BC的垂线．
　　
解：(1)(2)(3)如图所示．
例2　如图，AB是一条直线，OC是一条射线，OF，OE分别平分∠AOC，∠BOC，则OE与OF的位置有什么关系？
解：∵OF，OE分别平分∠AOC，∠BOC，∴∠FOC＝∠AOC，∠EOC＝∠BOC.又∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴∠FOC＋∠EOC＝∠AOC＋∠BOC＝(∠AOC＋∠BOC)＝×180°＝90°，即∠EOF＝90°，∴OE⊥OF.
练习
1．教材P5　练习第1，2题．
2．教材P6　练习．
3．下列选项中，过点P画AB的垂线，三角尺放法正确的是(C)
4．如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝∠BOC，OC是∠AOD的平分线．
(1)求∠COD的度数；
(2)判断OD与AB的位置关系，并说明理由．
解：(1)∵∠AOC＝∠BOC，∴设∠AOC＝x，则∠BOC＝3x.∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴x＋3x＝180°，解得x＝45°，∴∠AOC＝45°.∵OC平分∠AOD，∴∠COD＝∠AOC＝45°；
(2)OD⊥AB.理由如下：由(1)知，∠AOC＝∠COD＝45°，∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝45°＋45°＝90°，∴OD⊥AB.
◆活动5　课堂小结
1．垂线的相关概念．
2．垂线的画法．
3．垂线的性质．
4．点到直线的距离．
1．作业布置
(1)教材P8　习题5.1第3，4，5，6题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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