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5.3.2　命题、定理、证明
教师备课　素材示例
●归纳导入　分析下列语句：
(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
(2)两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
(3)对顶角相等；
(4)我是中国人；
(5)等角的余角(或补角)相等．
这些语句有什么共同特点？
【归纳】以上每句话都对一件事情作出了__判断__，判断一件事情的语句，叫做__命题__．
也有的语句没有对一件事情作出任何肯定或否定的判断，例如：
(6)作∠AOB的平分线；
(7)画两条平行线；
(8)a与b的和的2倍．
(6)(7)(8)都没有对一件事情做出判断，都不是命题．
【教学与建议】教学：将作出判断和没有作出判断的两类语句均举若干例子，分开放置，为给出命题概念、理解命题的定义做好准备．建议：两类例子不要混放，以降低学生分析的难度．
●情景导入　2015年10月，屠呦呦因发现青蒿素治疗疟疾的新疗法获诺贝尔生理学或医学奖．屠呦呦是第一位获得诺贝尔科学奖项的中国本土科学家、第一位获得诺贝尔生理医学奖的华人科学家．青蒿素是从植物黄花蒿茎叶中提取的有过氧基因的倍半萜内酯药物．其对鼠疟原虫红内期超微结构的影响，主要是疟原虫膜系结构的改变，该药首先作用于食物泡膜、表膜、线粒体、内质网，此外对核内染色质也有一定的影响．青蒿素的作用方式主要是干扰表膜——线粒体的功能．可能是青蒿素作用于食物泡膜，从而阻断了营养摄取的最早阶段，使疟原虫较快出现氨基酸饥饿，迅速形成自噬泡，并不断排出虫体外，使疟原虫损失大量胞浆而死亡．
要读懂这段报道，你认为要知道哪些名称和术语的含义？
【教学与建议】教学：给学生科普屠呦呦科学家的事迹，导入课题，激发学习热情．建议：可提出问题如为什么屠呦呦能获得诺贝尔奖？青蒿素的作用是什么？让学生初步认识什么是命题．
命题角度1　识别命题
看一句话是不是命题，关键是看它是不是作出了明确的判断，是不是一个完整的句子．
【例1】下列语句不是命题的是(D)
A．两条直线相交只有一个交点 B．对顶角相等
C．不是对顶角不相等 D．作直线AB的垂线
【例2】判断下列语句是不是命题．
(1)延长线段AB；(不是)
(2)两点之间线段最短；(是)
(3)画线段AB＝2 cm；(不是)
(4)若|x|＝3，则x＝3；(是)
(5)同旁内角互补，两直线平行吗？(不是)
命题角度2　确定命题的题设和结论
确定命题的题设和结论时，把命题用“如果……那么……”的形式来表述，在“如果”后面部分是题设，“那么”后面部分是结论．
【例3】分别指出下列各命题的题设和结论：
(1)邻补角是互补的角；
(2)平行于同一直线的两直线平行．
解：(1)如果两个角是邻补角，那么这两个角互补．题设：两个角是邻补角，结论：这两个角互补；
(2)如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．题设：两条直线平行于同一条直线，结论：这两条直线平行．
命题角度3　确定命题的真假
要判断一个命题是真命题，需要利用学过的定义、公理、定理进行说明；题设成立，结论成立的命题是真命题，不能保证结论一定成立的命题是假命题．
【例4】下列说法中，属于真命题的是(B)
A．垂线最短
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．相等的角一定是对顶角
D．两直线相交，邻补角相等
【例5】下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？
(1)如果a>0，b>0，那么a2>b2；
(2)能被8整除的数，一定能被4整除．
解：(1)是假命题；(2)是真命题．
命题角度4　举反例说明原命题是假命题
举反例就是举出“符合命题的题设，但不满足结论”的例子，只要能说明原命题是假命题，案例不需要太多背景铺垫和阐述，直截了当较好．
【例6】举反例说明下列命题是假命题：
(1)若ab＝0，则a＋b＝0；
(2)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．
解：(1)当a＝2，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0；
(2)两条直线平行形成的同位角、内错角，这两个角都不是对顶角，但它们相等．
高效课堂　教学设计
1．了解命题、定理、证明的概念．定理、推论是推理证明的依据．
2．能区分命题的题设和结论，并会判断真假．
3．掌握推理证明的格式，并会证明简单命题的真假．
▲重点
命题的概念和区分命题的题设与结论，学会推理证明．
▲难点
区分命题的题设和结论及学会举反例证明．
◆活动1　新课导入
1．回顾平行线的判定和性质．
2．如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法正确的是(D)
　A．当∠1＝∠2时，一定有a∥b
　B．当a∥b时，一定有∠1＝∠2
　C．当a∥b时，一定有∠2－∠1＝90°
　D．当∠1＋∠2＝180°时，一定有a∥b
◆活动2　探究新知
教材P20～21　部分内容．
提出问题：
(1)什么叫做命题？命题由哪些部分组成？
(2)什么是命题的题设和结论？如何找一个命题的题设和结论？
(3)当一个命题的题设和结论都不明显时，该怎么办？
(4)如何判断一个命题的真假？
(5)什么叫做定理和证明？你是如何理解定理和证明的？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．命题的定义及构成：
(1)表示判断性的语句叫命题，命题由__题设__和__结论__两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项；
(2)命题通常写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是__题设__，“那么”后接的部分是__结论__；
(3)有些命题没有写成“如果……那么……”的形式，题设与结论不明显，这时要分清命题判断了什么事情，有什么已知事项，再改写成“__如果……那么……__”的形式．
2．命题的真假：
命题分为__真命题__和__假命题__，如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做__真命题__．如果题设成立，不能保证结论一定成立的命题叫做__假命题__．
3．定理及证明：
(1)定理是经过推理证实的__真命题__，是在今后推理中经常作为依据的一种真命题．但不是所有经过推理证实的真命题都把它当作定理；
(2)在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程就叫__证明__．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P21　例2.
例2　指出下列命题的题设和结论：①如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为0；②两直线平行，内错角相等；③等式的两边同乘以一个数，结果仍是等式；④绝对值相等的两个数相等；⑤如果AB⊥CD，垂足是O，那么∠AOC＝90°.
解：①题设：两个数互为相反数；结论：这两个数的和为0；②题设：两直线平行；结论：内错角相等；③题设：等式两边同乘以一个数；结论：结果仍是等式；④题设：两个数的绝对值相等；结论：这两个数相等；⑤题设：AB⊥CD，垂足是O；结论：∠AOC＝90°.
例3　判断下列命题是真命题还是假命题．
(1)若a>b，则a2>b2；
(2)如果两个角互补，那么它们是邻补角；
(3)两点之间，线段最短；
(4)任意两个直角都相等．
解：(1)(2)是假命题，(3)(4)是真命题．
思考：1.证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是__已知条件__，也可以是学过的__定义__、__基本事实__、__定理__等．
2．判断一个命题的真假，只要举出一个__反例__，它符合命题的__题设__，但不满足结论就可以了．
练习
1．教材P21　练习第1，2题．
2．下列语句中，是命题的是(A)
①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②同位角相等吗？③画线段AB＝CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等．
A．①④⑤ B．①②④ C．①②⑤ D．②③④⑤
3．下列命题中，是真命题的是(B)
　A．若|x|＝2，则x＝2
　B．平行于同一条直线的两条直线平行
　C．任何一个角都比它的补角小
　D．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角
4．如图，已知AD∥BE，∠1＝∠2.求证：∠A＝∠E.
证明：∵AD∥BE，∴∠A＝∠CBE.∵∠1＝∠2，∴AC∥DE，∴∠E＝∠CBE，∴∠A＝∠E.
◆活动5　课堂小结
1．命题的概念、组成及分类．
2．定理和证明．
1．作业布置
(1)教材P24～25　习题5.3第12，13，14题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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