资源简介

6.2　立方根
教师备课　素材示例
●情景导入　如图所示的魔方，体积为125 cm3，你能计算出此魔方的棱长是多少吗？
(1)在这个实际问题中，提出了怎样的一个计算问题？
(2)你能找出一个数，使这个数的立方等于125吗？
(3)从这个问题中可以抽象出一个什么数学概念？
【教学与建议】教学：由熟悉的魔方提出问题，引出立方根的概念，能较强烈地提升学生探究问题的欲望．建议：加强与平方根概念的类比学习，让学生体会类比获取新知这一重要方法．
●类比导入　1.平方根的概念是什么？如何用符号表示数a(a≥0)的平方根？
2．正数有几个平方根？它们之间的关系是什么？负数有没有平方根？0的平方根是什么？
3．0.13＝0.001；＝－；03＝0.
4．一个正方体体积为8，棱长为a，可得a3＝8，那么a叫做8的什么呢？
【教学与建议】教学：引导学生采用类比的方法来学习立方根的相关概念及性质，有利于学生快速掌握新知识．建议：复习提问到新课导入由易到难，选取不同层次学生回答．
命题角度1　立方根的性质
根据立方根的性质“正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0”解题．
【例1】下列各数中，立方根一定是负数的是(C)
A．－a B．－a2 C．－a2－1 D．－a2＋1
【例2】立方根等于本身的数有__3__个，分别是__0，1，－1__．
命题角度2　求立方根的值
开立方与立方互为逆运算，解答此类问题时首先应理解式子表示的意义，再进行计算．
【例3】的值是(B)
A． B．－ C． D．－
【例4】下列计算错误的是(B)
A．＝－3 B．＝－2
C．－＝ D．＝－4
命题角度3　立方根与平方根有关的计算
解决此类问题，分别开平方或开立方求值，然后进行计算．
【例5】计算：＋－＝__1__．
【例6】已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算术平方根是4，求b－2a＋1的立方根．
解：∵2a－1的平方根是±3，∴2a－1＝9，解得a＝5.∵3a＋b－1的算术平方根是4，∴3a＋b－1＝16.把a＝5代入，得3×5＋b－1＝16，解得b＝2，∴b－2a＋1＝2－10＋1＝－7，∴b－2a＋1的立方根为.
命题角度4　利用立方根的意义解方程
应用开立方解方程的基本步骤：(1)将方程变形为x3＝a或(mx＋n)3＝c(m≠0)的形式；(2)直接开立方，得x＝或mx＋n＝；(3)解一元一次方程即可求出x的值．
【例7】求下列各式中x的值：(1)x3＋1＝；(2)(x－1)3＝－216.
解：(1)∵x3＋1＝，∴x3＝－，∴x＝－；
(2)∵(x－1)3＝－216，∴x－1＝－6，∴x＝－5.
命题角度5　平方根或立方根与方程的综合
平方根或立方根的逆用方法：(1)如果一个数x是a的平方根，那么a＝x2；(2)如果一个数x是a的立方根，那么a＝x3.
【例8】一个正数a的两个平方根是2x－2和6－3x，则17＋3a的立方根为__5__.
【例9】已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，则x2＋y2的算术平方根是__10__．
高效课堂　教学设计
1．了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根．
2．了解立方与开立方互为逆运算，会用立方运算或计算器求某数的立方根．
3．能用类比平方根的方法学习立方根及开立方运算．
▲重点
立方根的概念及求法．
▲难点
立方根与平方根的区别．
◆活动1　新课导入
1．某化工厂使用棱长1 m的正方体储气罐储藏气体，现在要造一个新的正方体储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的棱长是原来正方体棱长的多少倍？如果储气罐的体积是原来的4倍呢？
2．我们知道：若x2＝a，则x叫做a的平方根，请仿照平方根的定义，给数x的立方根下一个定义．
学生完成并交流展示．
◆活动2　探究新知
1．教材P49　问题．
提出问题：
(1)正方体的体积公式是什么？
(2)正方体的体积为27 m3，它的棱长是多少米？
(3)什么叫做立方根？
(4)什么叫做开立方？开立方与立方有什么关系？
学生完成并交流展示．
2．教材P49　探究．
提出问题：
(1)请完成探究中的填空．
(2)通过填空，你能发现正数、0和负数的立方根各有什么特点吗？
(3)如何表示一个数的立方根？立方根的被开方数可以是任意数吗？
(4)你能说出一个数的平方根与立方根有什么不同吗？
学生完成并交流展示．
3．教材P50　探究．
提出问题：
(1)请完成探究中的填空．
(2)通过填空，你能发现什么规律？
学生完成并交流展示．
4．教材P51　探究．
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的__立方根__或三次方根，即若x3＝a，则x叫做a的__立方根__．
2．正数的立方根是__正数__，负数的立方根是__负数__，0的立方根是__0__．
3．a的立方根记作____，其中a叫被开方数，3叫根指数，不能省略．
4．求一个数立方根的运算叫做__开立方__，开立方与立方互为__逆运算__．
5．任意一个数的相反数的立方根等于这个数的立方根的相反数，即＝__－__.
6．被开方数的小数点向左(右)每移动三位时，它的立方根的小数点相应地向左(右)移动一位．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P50　例．
例2　求下列各式中的x.
(1)27x3－8＝0；(2)(2x＋3)3＝54.
解：(1)∵27x3－8＝0，∴27x3＝8，x3＝，∴x＝，即x＝；
(2)∵(2x＋3)3＝54，∴(2x＋3)3＝216，∴2x＋3＝＝6，即x＝.
例3　已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根．
解：∵x－2的平方根是±2，∴x－2＝4，∴x＝6.∵2x＋y＋7的立方根是3，∴2x＋y＋7＝27.把x＝6代入，解得y＝8，∴x2＋y2＝62＋82＝100.∴x2＋y2的算术平方根为10.
练习
1．教材P51　练习第1，2，3，4题．
2．下列说法中，不正确的是(D)
　A．0.064的立方根是0.4 B．－8的立方根是－2
　C．0的立方根是0 D．216的立方根是±6
3．4的立方根为____，－是__－__的立方根．
4．如果A＝，为a＋3b的算术平方根；B＝，为1－a2的立方根，求A－B的值．
解：根据题意，得a－2b＋3＝2，b＋1＝3，∴b＝2，则a－2×2＋3＝2，a＝3.∴A＝＝＝3，B＝＝＝－2.∴A－B＝3＋2＝5.
◆活动5　课堂小结
1．立方根的概念．
2．立方根的性质及表示．
3．用计算器计算立方根．
1．作业布置
(1)教材P51～52　习题6.2第1，2，3，5题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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