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6.3　实数
第1课时　实数的概念
教师备课　素材示例
●置疑导入　学生以前学过有理数，可以请学生简单地说一说有理数的基本概念、分类．
问题：1.把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
5，－，，，，.
发现：这些分数都可以写成有限小数或无限循环小数．
问题：2.追问：任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数吗？
阅读下列材料：设x＝0.＝0.333…①，
则10x＝3.＝3.333…②，
②－①，得9x＝3，因此x＝，即0.＝0.333…＝.
根据上面提供的方法，你能把0.，0.化成分数吗？是不是任何无限循环小数都可以化成分数？发现任何一个无限循环小数都能化成分数．
【教学与建议】教学：通过问题导入，理解有理数的性质，循序渐进，逐步深入教学．建议：让学生动手计算，讨论交流，学生之间互相补充，教师适时点拨．
●复习导入　问题1：什么是有理数？有理数怎样分类？
问题2：什么是无限不循环小数？你知道的无限不循环小数都有哪些形式？
问题3：倒数、绝对值、相反数等概念是如何规定的？
问题4：有理数都有哪些运算法则及运算性质？
【教学与建议】教学：通过有理数相关知识的复习类比无理数的相关知识，提高学生类比学习的能力．建议：课前让学生提前复习相关知识，理解有理数的分类、运算法则及运算性质．
命题角度1　无理数的识别
常见无理数有三种形式：第一类是开方开不尽的数，第二类是化简后含π的数，第三类是无限不循环的数．
【例1】下列实数是无理数的是(C)
A．3.14 B． C． D．
【例2】下列各数3.141 592 6，，1.212 212 221…，，2－π，－2 022，中，无理数有__1.212_212_221…，2－π，__．
命题角度2　实数的分类
实数分为有理数和无理数两类，也可以分为正实数，0，负实数三类，而有理数分为整数和分数．
【例3】下列选项中错误的是(C)
A．是无理数 B．π＋1是无理数
C．是分数 D．是无限不循环小数
【例4】把下列各数的序号填入相应的集合内．
①10，②－π，③，④－3.14，⑤，⑥0，⑦，⑧－1，⑨，⑩1.010 010 001.
整数集合{__①⑥⑧__…}；
负分数集合{__④__…}；
正有理数集合{__①③⑦⑩__…}；
无理数集合{__②⑤⑨__…}．
命题角度3　实数与数轴的关系
实数与数轴上的点是“一一对应”关系．解决此类问题要先在数轴上表示出各数，进而求解．
【例5】如图，正方形的边长为1，点P是半圆与数轴的交点，
则点P对应的实数为(B)
A． B．＋1
C．2.4 D．2.5
【例6】如图，M，N，P，Q是数轴上的四个点，在这四个点中最适合表示的点是__Q__.
高效课堂　教学设计
1．了解无理数和实数的概念，会将实数按一定的标准进行分类．
2．知道实数与数轴上的点一一对应．
▲重点
正确理解实数的概念．
▲难点
对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解．
◆活动1　新课导入
交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速(单位：km/h)，d表示刹车后车轮滑过的距离(单位：m)，f表示摩擦因数．在一次交通事故调查中，测得d＝20 m，f＝1.2.肇事汽车v＝16×＝16.
对数提出如下问题：
(1)可能是整数吗？
(2)可能是分数吗？
(3)如果既不是整数又不是分数，那么究竟是什么数呢？
这节课我们将来学习并解决这个问题．
◆活动2　探究新知
1．教材P53　内容．
提出问题：
(1)什么是无限不循环小数？
(2)什么样的数叫无理数？
(3)无理数有几种表现形式？
(4)实数包括哪些数？如何对实数进行分类？
学生完成并交流展示．
2．教材P54　探究及其以下部分内容．
提出问题：
(1)你能在图6.3 1中表示出－π所对应的点吗？
(2)任意一个无理数是否可以用数轴上的一个点来表示？
(3)实数与数轴上的点具有一种什么样的关系？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，反过来，任何有限小数或无限循环小数都是__有理数__．
2．无限不循环的小数叫__无理数__．
3．有理数和无理数统称__实数__．
4．实数的两种分类：
5．当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个__点__来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个__实数__．与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数__大__．
◆活动4　例题与练习
例1　 把下列各数填在相应的大括号内：
0，，－，，－，－2，，，，0.616 616 661….
自然数集合{　0，，　…}；
有理数集合；
无理数集合；
正数集合；
整数集合{　0，，－2，　…}；
非负整数集合{　0，，　…}；
分数集合.
例2　如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示－1的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是(D)
A．π－1 B．－π－1 C．－π＋1 D．π－1或－π－1
例3　如图，数轴上点A和点B分别表示－1和，点B关于点A的对称点为C.求点C所表示的实数．
解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为－1和，∴点B到点A的距离为1＋，则点C到点A的距离也为1＋.设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为－1－x，∴－1－x＝1＋，∴x＝－2－.∴点C所表示的实数为－2－.
练习
1．教材P56　练习第1题．
2．如图，表示的点在数轴上哪两个字母之间(A)
　A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C
3．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，再爬向点C停止，已知点A所表示的数为－，点C所表示的数为2，设点B所表示的数为m.
(1)求m的值；
(2)求BC的长．
解：(1)m－(－)＝2，∴m＝2－；
(2)BC＝|2－(2－)|＝.
◆活动5　课堂小结
1．无理数和实数的概念．
2．实数的分类．
3．实数与数轴的关系．
1．作业布置
(1)教材P57　习题6.3第1，2题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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