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26.2　实际问题与反比例函数
第1课时　利用反比例函数解决实际生活中的问题
教师备课　素材示例
●情景导入　1.小明家离学校4 200 m，他骑自行车的速度x(m/min)与时间y(min)之间的函数关系式是什么？若他每分钟骑450 m，需多长时间到校？
2．你还能举出我们在日常生活、生产或学习中遇到的具有反比例函数关系的实际应用的例子吗？
【教学与建议】教学：利用学生熟悉的行程问题中，路程不变的情况下，速度与时间之间的反比例函数关系，引导学生体验创建反比例函数模型解决问题．建议：教师复习路程＝速度×时间，引导学生确定速度与时间的函数关系，构建反比例函数模型解决．
●复习导入　1.什么是反比例函数？它的图象是什么？有哪些性质？
2．圆柱体体积一定，底面积S是深度d的__反比例__函数；装运货物的总量一定，装运速度v是装运时间t的__反比例__函数．
3．若一个三角形面积为常数k，底边长y与该边上的高x的函数关系式为__y＝__，它的图象只分布在第__一__象限，是__双曲线__的一部分．
4．同学们，类比前面一次函数和二次函数的学习过程，我们将继续探究反比例函数在日常生活中的应用．
【教学与建议】教学：通过复习反比例函数的概念、图象和性质，类比学习一次函数与二次函数的过程和方法，为灵活应用反比例函数解决实际问题奠定基础．建议：学生回忆所学，教师做适当补充和辅导．
*命题角度1　根据反比例函数图象解决问题
生活中两个变量的乘积为定值时，构建反比例函数模型．先求出函数解析式，再解决实际问题．
【例1】如图所示是一蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用时间t(h)之间的函数关系图象．若要5 h排完水池中的水，则每小时的排水量应为__9.6__m3.
【例2】一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系t＝，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A(40，1)和B(m，0.5).
(1)求k和m的值；
(2)若行驶速度不得超过60 km/h，则汽车通过该路段最少需要多少时间？
解：(1)∵点A(40，1)在反比例函数t＝上，∴k＝40，∴t＝.
又∵B(m，0.5)在此函数的图象上，∴m＝80；
(2)由t＝，得v＝.∵v≤60，∴t≥，∴汽车通过该路段最少需要 h．
*命题角度2　反比例函数与多种函数结合的问题
函数模型有反比例函数，还有部分图象是一次函数或者其他函数的．解决此类问题的方法是用待定系数法求出各部分图象所对应的函数解析式．
【例3】为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂开始限产进行治污改造，其月利润y(万元)与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项中错误的是(C)
A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
D．9月份该厂利润达到200万元
【例4】制作一种产品，需先将材料加热到达60 ℃后，再进行操作．设该材料温度为y(℃)，从加热开始计算的时间为x(min).据了解，该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系(如图所示)．已知该材料在操作加工前的温度为15 ℃，加热5 min后温度达到60 ℃.
(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；
(2)根据工艺要求，当材料的温度低于15 ℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
解：(1)当0≤x≤5时，设y＝k1x＋b，由得∴y＝9x＋15.当x≥5时，设y＝，由x＝5时，y＝60，知k2＝300.∴y＝；
(2)当y＝15时，由15＝，得x＝20.
答：从开始加热到停止操作，共经历了20 min.
高效课堂　教学设计
1．运用反比例函数的知识解决实际问题．
2．初步掌握建立反比例函数模型解决实际问题的思想和方法．
▲重点
运用反比例函数的意义与性质解决实际问题．
▲难点
构建反比例函数模型．
◆活动1　新课导入
我们知道，确定一个一次函数y＝kx＋b的解析式需要两个独立的条件，而确定一个反比例函数解析式，则只需一个独立条件即可，如点(2，3)是一个反比例函数图象上的点，则此反比例函数的解析式是__y＝__，当x＝4时，y的值为____，而当y＝时，相应x的值为__18__．用反比例函数可以反映很多实际问题中的两个变量之间的关系，你能举出一个反比例函数的实例吗？
◆活动2　探究新知
1．教材P12　例1.
提出问题：
(1)圆柱的体积V、底面积S、高d之间的关系是什么？
(2)请写出V，S，d之间的函数关系式，它是反比例函数吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P13　例2.
提出问题：
(1)货物总量(工作总量)是多少？
(2)工作总量、工作效率(工作速度)与工作时间有怎样的关系？
(3)你能独立完成例2吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3　例题与练习
例1　某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作．已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：
第1天 第2天 第3天 第4天
售价x(元/双) 150 200 250 300
销售量y(双) 40 30 24 20
　　(1)观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数解析式？
(2)若商场计划每天的销售利润为3 000元，则其单价应定为多少元？
解：(1)由表中数据，得xy＝6 000，故所求函数解析式为y＝；
(2)由题意，得(x－120)y＝3 000，把y＝代入，得(x－120)·＝3 000，解得x＝240；经检验x＝240是原方程的根．
答：若商场计划每天的销售利润为3 000元，则其单价应定为240元．
例2　一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系t＝，其图象为如图所示的一段曲线且端点坐标分别为A(40，1)和B(m，0.5).
(1)求k和m的值；
(2)若行驶速度不得超过60 km/h，则汽车通过该路段最少需要多少时间？
解：(1)∵点A(40，1)在反比例函数t＝上，∴k＝40，∴t＝.又∵点B在函数的图象上，∴m＝80；
(2)由(1)得t＝.令v＝60，则t＝＝＝，结合图象可知汽车通过该路段最少需要 h．
练习
1．教材P15　练习第1，2题．
2．一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x＝2时，y＝20.则y与x的函数图象大致是(C)
　　　　　　
3．如图是汽车在某高速公路上匀速行驶时，速度v(km/h)与行驶时间t(h)的函数图象．请根据图象提供的信息回答问题：汽车最慢用__6__h可以到达；如果要在4 h内到达，汽车的速度应不低于__75__km/h.
◆活动4　完成附赠手册
◆活动5　课堂小结
如何建立反比例函数模型解决实际问题．
1．作业布置
(1)教材P16　习题26.2第1，2，5，7题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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