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第2课时　反比例函数图象和性质的综合运用
教师备课　素材示例
●复习导入　反比例函数y＝的图象是__双曲线__．
(1)当k>0时，图象的两支分别位于__第一、第三__象限，在每一个象限内，y随x增大而__减小__．
(2)当k<0时，图象的两支分别位于__第二、第四__象限，在每一个象限内，y随x增大而__增大__．
【教学与建议】教学：通过对反比例函数的图象与性质的回顾，为本课更深入探讨反比例函数的性质及综合应用奠定基础．建议：提问为什么要强调“在每一个象限内”讨论函数图象的增减．
●类比导入　填表分析正比例函数和反比例函数的区别．
函数 正比例函数 反比例函数
解析式 y＝kx(k≠0) y＝(k≠0)
图象形状 直线 双曲线
k>0 位置 第一、三象限 第一、三象限
增减性 每个象限内，y随x的增大而增大 每个象限内，y随x的增大而减小
k<0 位置 第二、四象限 第二、四象限
增减性 每个象限内，y随x的增大而减小 每个象限内，y随x的增大而增大
　　【教学与建议】教学：类比导入，为本课时探究综合应用反比例的图象和性质奠定基础．建议：分小组讨论后再填表．
*命题角度1　反比例函数解析式、图象性质
反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象上任取一点(x1，y1)，则k＝x1y1.
【例1】已知反比例函数y＝经过点(2，－2)和(m，1)，则m的值是(C)
A．2 B．1 C．－4 D．4
【例2】已知点P(3，－2)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则k＝__－6__；在第四象限内，函数值y随x的增大而__增大__．
*命题角度2　考查反比例函数的比例系数k的几何意义
由双曲线y＝上的任意一点向两坐标轴引垂线，所构成的矩形的面积为定值|k|，这一点与一个垂足及原点所确定的三角形的面积为定值|k|.
【例3】如图，点B在反比例函数y＝(x>0)的图象上，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A，C，则△OAB的面积为(A)
A．1 B．2 C．3 D．4
【例4】如图，根据图象写出反比例函数的解析式为__y＝－__．
*命题角度3　反比例函数与几何图形的综合
反比例函数与几何图形的综合，解题的方法是综合利用函数、方程、几何性质进行解题．
【例5】如图，在反比例函数y＝(x>0)的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1＋S2＋S3＝____．
【例6】如图，点A是反比例函数y＝(x<0)的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B，C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD的面积为6，则k的值为__－6__．
*命题角度4　一次函数与反比例函数的综合应用
反比例函数与一次函数的综合应用，解题的关键是抓住函数图象的交点坐标与线段长度的关系，活用待定系数法求解析式，活用面积公式和图形特点，将不等式、函数、方程(组)、几何图形结合起来解决问题．
【例7】如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝(m为常数且m≠0)的图象都经过点A(－1，2)，B(2，－1)，结合图象，则不等式kx＋b>的解集是(C)
A．x<－1 B．－1C．x<－1或02
【例8】如图，已知直线y1＝k1x＋b与x轴、y轴相交于P，Q两点，与y2＝的图象相交于A(－2，m)，B(1，n)两点，连接OA，OB.给出下列结论：①k1k2<0；②m＋n＝0；③S△AOP＝S△BOQ；④由图象知y1>y2时，x的取值范围是x<－2或0高效课堂　教学设计
1．分析实际问题中变量之间的关系建立反比例函数模型，进而解决实际问题．
2．体会数学与现实生活的紧密性，体会数形结合的数学思想．
3．培养学生运用代数方法解决实际问题的能力．
▲重点
灵活运用反比例函数性质解决问题．
▲难点
反比例函数的图象和性质的综合应用．
◆活动1　新课导入
1．若点A(7，y1)，B(5，y2)在双曲线y＝－上，则y1，y2的大小关系为__y1>y2____．
2．若点(－2，y1)，(－1，y2)，(1，y3)在反比例函数y＝(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__y2>y1>y3____．
3．点A(－2，a)，B(－1，b)，C(3，c)在双曲线y＝(k>0)上，试确定a，b，c的大小关系为__c>a>b__．
◆活动2　探究新知
1．教材P7　例3.
提出问题：
(1)点A(2，6)在第几象限？因为反比例函数的图象经过点A(2，6)，所以这个函数图象的两支分别位于第几象限？在每一个象限内，y随x的增大而怎样变化？
(2)对于第(1)问，还有其他的解答方法吗？要判断函数的性质，我们首先可以求反比例函数的解析式？求反比例函数的解析式一般用什么方法？请同学们试着用待定系数法求出这个函数的解析式，并根据该函数的图象和性质解答第(1)问；
(3)我们如何判断点在不在函数的图象上？
学生完成并交流展示．
2．教材P7　例4.
提出问题：
(1)反比例函数图象的分布有哪几种可能？由图可知这个函数的图象的一支位于第几象限？所以另一支必位于第几象限？怎么求常数m的取值范围？
(2)要比较y1和y2的大小，可以根据反比例函数的什么来解答？因为m－5>0，所以这个函数的性质是什么？因此当x1>x2时，y1和y2有怎样的大小关系？
(3)第(2)问除了课本上的解答方法，还有其他方法吗？请同学们试着用图象法或数形结合法比较y1和y2的大小．
学生完成并交流展示．
3．(1)如图①，点P是反比例函数图象上的一点，PA⊥x轴于点A，连接PO.若S△PAO＝8，则这个反比例函数的解析式是__y＝－__；
(2)如图②，点P是反比例函数图象上的一点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，四边形PAOB的面积为12，则这个反比例函数的解析式是__y＝－__．
(3)由(1)(2)你有什么发现？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
已知反比例函数的图象经过点A(a，b)(其中a≠0，b≠0)，可求出这个反比例函数的解析式．解题步骤如下：
(1)设这个反比例函数的解析式为__y＝__；(2)把x＝__a__，y＝__b__代入这个反比例函数的解析式，解出__k＝ab__；(3)所求的反比例函数为__y＝__；(4)过点A作x轴，y轴的垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形面积S＝__|k|__．
◆活动4　例题与练习
例1　如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点．
(1)根据图象，写出点A，B的坐标；
(2)求出两函数的解析式；
(3)根据图象回答：当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值．
解：(1)A(－6，－2)，B(4，3)；
(2)把B(4，3)代入y＝，得3＝，∴m＝12，∴y＝.把A(－6，－2)，B(4，3)代入y＝kx＋b，得解得∴一次函数解析式为y＝x＋1；
(3)由图象可知，当－64时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值．
例2　如图，已知反比例函数y＝(k>0)的图象经过点A(1，m)，过点A作AB⊥y轴于点B，且△AOB的面积为1.
(1)求m，k的值；
(2)若一次函数y＝nx＋2(n≠0)的图象与反比例函数y＝的图象有两个不同的公共点，求实数n的取值范围．
解：(1)由已知，得S△AOB＝×1×m＝1，解得m＝2，把A(1，2)代入y＝，得k＝2；
(2)由(1)知反比例函数解析式是y＝，则＝nx＋2有两个不同的解，方程去分母，得nx2＋2x－2＝0，则Δ＝4＋8n>0，解得n>－且n≠0.
练习
1．教材P8　练习第1，2题．
2．反比例函数y＝与正比例函数y＝2kx在同一个坐标系中的图象不可能是下列选项中的(D)
　　　　　　
3．如图，双曲线y＝与直线y＝－x交于A，B两点，且点A(－2，m)，则点B的坐标是(A)
A．(2，－1) B．(1，－2)
C． D．
4．如图，已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限．
(1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；
(2)O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值．
解：(1)根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且m－7>0，则m>7；
(2)设线段AB交x轴于点C.∵点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6, 则△OAC的面积为3，∴(m－7)＝3，∴m＝13.
◆活动5　课堂小结
1．反比例函数图象上点的坐标特征．
2．反比例函数与一次函数的交点问题．
3．反比例函数中系数k的几何意义．
1．作业布置
(1)教材P9　习题26.1第6，7，8题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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