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第八章 二元一次方程组
8.1　二元一次方程组
教师备课　素材示例
●类比导入　如图．
问题1：假设老牛驮了x个包裹，则小马驮了(x－2)个包裹，可得到方程为__x＋1＝(x－2－1)×2__，则老牛驮了__7个__包裹，小马驮了__5个__包裹．
问题2：如果假设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹，你能得到怎样的方程？能列几个？
　　【教学与建议】教学：通过现实情景再现，类比一元一次方程到列二元一次方程，培养学生良好的数学应用意识．建议：指出二元一次方程与一元一次方程的联系与区别.
●归纳导入　播放多媒体：姚明和刘翔的合影照片．姚明说：“我比刘翔高37 cm.”刘翔说：“我身高的2倍比姚明高152 cm.”他们两人的身高分别是多少？
如果假设姚明的身高为x cm，刘翔的身高为y cm，你能得到怎样的方程？能列几个？
可得方程为：
含有__两个__未知数并且含有未知数的项数都是__1__，像这样的方程叫做二元一次方程．
【教学与建议】教学：利用姚明和刘翔的身高，为新课的引入做准备，引出方程问题，让学生再次经历建模的体验．建议：引导学生回答问题，小组合作完成题目．
命题角度1　识别二元一次方程
判断一个方程是不是二元一次方程．首先要看元，即未知数是否有两个；其次要看次，即未知数的次数，含有未知数的项的次数必须都是1.
【例1】下列方程中，是二元一次方程的是(D)
A．x－2y＝4z B．3xy＋5＝0 C．＋5y＝10 D．3x＝
【例2】若方程3xm+1－2yn+2＝4是二元一次方程，则m＝__0__，n＝__－1__．
命题角度2　识别二元一次方程组
判断一个方程是不是二元一次方程组，首先要看方程中是不是共含有两个未知数；其次要看含有未知数的项的次数是否都为1.
【例3】下列方程组中，是二元一次方程组的是(D)
A． B． C． D．
【例4】下列是二元一次方程组的是__(1)、(3)__．
(1)　(2)　(3)　(4)
命题角度3　判断二元一次方程的解
要判断一对未知数的值是不是二元一次方程的解，应根据二元一次方程的解的概念进行判断，能使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值是二元一次方程的解．
【例5】二元一次方程5x－y＝2的一个解为(C)
A． B． C． D．
【例6】解为的方程组是(D)
A． B． C． D．
命题角度4　由二元一次方程(组)的解确定字母系数或式子的值
根据方程(组)的解求方程(组)中字母系数或相关式子的值的方法：将方程组的解代入方程(组)，得到关于字母系数的新方程(组)，从而求解．
【例7】已知是方程ax＋y＝3的解，则式子a2＋5的值为__6__.
【例8】若关于x，y的二元一次方程组的解是则m＋n的值为(D)
A．2 B．4 C．6 D．8
命题角度5　求二元一次方程的特殊解
在二元一次方程的所有解中找出具有特殊意义的解，如正整数解、自然数解等．
【例9】端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A，B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A，B两种食品盒中(两种食品盒均要使用并且装满)，则不同的分装方式有(C)
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
命题角度6　建立二元一次方程组模型
由实际问题抽象出二元一次方程组的步骤：(1)审清题意；(2)找出题目中的两个相等关系；(3)设出合适的未知数；(4)根据相等关系列出两个方程，组成方程组．
【例10】我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组(C)
A． B．
C． D．
高效课堂　教学设计
1．理解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义．
2．会检验一组数是不是某个二元一次方程组的解．
3．能根据问题情境列二元一次方程组．
▲重点
二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念．
▲难点
会列二元一次方程组，并判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．
◆活动1　新课导入
1．下列方程中，是一元一次方程的是(　B　)
　A．x＋y＝2　　B．x＋2＝3　　C．x＋2y＋z＝0　　D．4x2＝0
2．若x＝1是方程ax＋2x＝3的解，则a＝__1__．
3．篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队在14场比赛中得到26分，那么这个队胜、负场数分别是多少？
学生回答或展示．
◆活动2　探究新知
1．教材P88　思考．
提出问题：
(1)引言中的问题包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？
(2)列出的方程有什么特点？与一元一次方程有什么不同？
(3)什么样的方程叫做二元一次方程？
(4)什么叫做二元一次方程组？
学生完成并交流展示．
2．教材P89　探究及其以下内容．
提出问题：
(1)请完成探究中的填空；
(2)什么叫二元一次方程的解？怎样检验一组数是否为某个二元一次方程的解？
(3)什么叫二元一次方程组的解？怎样检验一组数是否为某个二元一次方程组的解？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．含有__两__个未知数(x和y)，并且含有未知数的项的次数都是__1__，像这样的方程叫做二元一次方程．
2．方程组中有__两__个未知数，且含有每个未知数的项的次数都是__1__，并且一共有__两__个方程，这样的方程组叫做二元一次方程组．
3．一般地，使二元一次方程两边的值__相等__的两个未知数的值，叫做二元一次方程的__解__．
4．一般地，二元一次方程组的两个方程的__公共解__，叫做二元一次方程组的解．
◆活动4　例题与练习
例1　已知|m－1|x|m|＋y2n-1＝3是二元一次方程，则m＋n的值是多少？
解：由题意，得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，∴m＋n＝－1＋1＝0.
例2　若是二元一次方程4x－3y＝10的一个解，求m的值．
解：将代入方程4x－3y＝10，得4(3m＋1)－3(2m－2)＝10，解得m＝0.
例3　甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试计算a2 019＋的值．
解：将代入方程②，得－12＋b＝－2，解得b＝10.将代入方程①，得5a＋20＝15，解得a＝－1.∴a2 019＋＝(－1)2 019＋＝－1＋1＝0.
练习
1．教材P89　练习．
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是(　A　)
A． B．
C． D．
3．已知关于x，y的方程(m2－4)x2＋(m＋2)x＋(m＋1)y＝m＋5.
(1)当m为何值时，它是一元一次方程？
(2)当m为何值时，它是二元一次方程？
解：由题意，得m2－4＝0，解得m＝2或m＝－2.
(1)当m＝－2时，m＋2＝0，此时方程为一元一次方程；
(2)当m＝2时，原方程可化为4x＋3y＝7，此时方程为二元一次方程．
◆活动5　课堂小结
1．二元一次方程(组)的概念．
2．二元一次方程(组)的解的概念．
1．作业布置
(1)教材P90　习题8.1第1，2，3，4题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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